歸納推理要合“理”

管景強

【摘要】在小學階段，適當應用科學歸納推理有利于學生理解數學問題的實質、發展邏輯思維能力、培養良好的思維品質。本文結合實例談一談如何在小學數學教學中應用科學歸納推理，讓數學歸納推理做到合“理”。

【關鍵詞】歸納 推理 數學教學 應用

一、什么是科學歸納推理

歸納推理是從一類對象中部分對象具有的某種屬性而推出這類對象全部都具有該屬性的推理方法。歸納推理分完全歸納推理和不完全歸納推理。不完全歸納推理分為枚舉歸納推理和科學歸納推理。枚舉歸納推理借助于事物外部的、表面的聯系做出的一般性結論，不揭示部分對象與其屬性之間的因果聯系;而科學歸納推理則是根據一類對象中部分對象與其屬性之間的因果聯系，推出這類對象全部都具有該屬性的推理方法。科學歸納推理的特點在于揭示了考察對象和屬性之間的因果聯系，并以此作為依據而得出結論。

例如：在教學同分母分數加減法時，通過圖形驗證使學生得到“5/8+2/8=7/8”“3/5-2/5=1/5”，再通過圖形驗證計算這類同分母分數加減法的算式，然后歸納得到同分母分數加減法的計算法則：同分母分數相加減，分母不變，分子相加減。由有限的例子推出一般的結論，這一過程用到了枚舉歸納推理。但如果結合圖形講清“5/8+2/8=7/8”是因為“5個1/8加上2個1/8是（5+2）個1/8，也就是7/8”“3/5-2/5=1/5是因為“3個言減去2個1/5是（3-2）個1/5，也就是1/5”，由此來揭示所考察的對象“兩個同分母分數相加或相減”，所具有的屬性“分母不變，分子相加減”之間的因果聯系，則運用了科學歸納推理。

二、為何要應用科學歸納推理

一是應用枚舉歸納推理教學時，結論的可靠性與所研究對象的數量和代表性有關，需要通過大量的交流活動，讓對象的數量和覆蓋面變得更廣大，這樣才能提高結論的可靠性。理論上，不論有多少特例支持結論都不能認為這個結論正確，所以枚舉歸納推理的結論是或然的。波利亞就曾指出：“不論多少試驗性的檢驗都不足以證明它一定可靠。”

二是科學歸納推理則力求做到“一葉知秋”，通過研究某些例子，揭示對象與其屬性之間的因果聯系，甚至考察的對象哪怕只有一個時，也可以得到較為可靠的結論。在運用科學歸納推理時，對于每一個例證都要理解對象與屬性間的因果聯系，這就要求我們必須深入問題，弄清問題的實質。如在比較詈和7/11這兩個分數的大小時，有學生是這樣比較的：將這兩個分數的分子和分母交叉相乘，5×11=55，7×8=56，55<56，所以5/8<7/11。這名同學還例舉了其他很多的例子來證明這種方法是可行的。那么，這樣比較的依據是什么？實質在哪里？這就有必要讓學生弄清楚。可以讓學生先將這兩個分數用通分的辦法比較一下：5/8=55/88，7/11=56/88，55/88<56/88，所以5/8<7/11。再讓學生比較兩種方法的應用過程，不難發現交叉相乘后的55其實指的是55個1/88，56其實指的是56個1/88，我們只是把這里相同的分數單位1/88省略了，原來交叉相乘的比較方法實質上就是通分！相信學生此時對于交叉相乘比較法和通分比較法之間的聯系會有更深刻的認識。所以說在小學階段應用科學歸納推理，是有利于學生理解數學問題的實質的。

科學歸納推理客觀上為學生提供了思維訓練的“舞臺”，其在推理證明時所涉及的材料多是具體和形象的，推理過程中的一些思考方法和推理能力，也會被遷移到較為抽象的邏輯推理證明中。在上面交叉相乘比較分數大小的例子中，具體的推理過程還可以逐步進行抽象。比如，可以用b/a和d/c表示相比較的兩個分數，通分后分別是b×c/a×c和d×a/a×c，接下來就可以比較b×c和d×a的大小。這樣可以更好地促進學生向抽象邏輯思維過渡，使學生的邏輯思維能力得到主動的發展。

基于數學推理嚴密的邏輯性，通過科學歸納推理活動，有利于培養學生良好的思維品質，而數學學習所培養的嚴謹精神將會讓學生受用終生。

三、如何在小學數學教學中應用科學歸納推理

科學歸納推理在推理時需要關注每一個判斷的理由和依據，通過分析對象與屬性之間的因果聯系，對結論的合理性做出有說服力的說明。小學階段，絕大多數的數學命題都可以使用科學歸納推理得出結論的。

1.通過現實情境來明“理”

在教學“加法結合律”時，學生結合情境列出了不同的算式（28+17）+23和28+（17+23）（如圖1）。除通過計算讓學生得出結果相等外，還要讓學生結合情境思考：第一道算式先求跳繩人數，第二道算式先求女生人數，但最后都是求跳繩和踢毽子的總人數，本質上都是求三個加數的和。學生再尋找現實情境中的例子，利用具體情境進行解釋，理解加法結合律的意義，進行科學歸納推理：“三個數相加時，無論先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，最后求的都是這三個數的和。”這樣通過現實情境來明“理”遠比列舉單調的數學算式要深刻許多。此時，再進行符號化抽象出加法結合律的字母表達式（a+b）+c=a+（b+c）就水到渠成了。

2.借助幾何圖形來明“理”

同樣是運算律，乘法分配律教學則可借助幾何圖形進行科學歸納推理（如圖2）。

先讓學生來求大長方形面積，如果合起來算，大長方形長是（2+5），寬是4，面積是（2+5）×4;如果分開算，左、右兩個長方形的面積分別是2×4和5×4，則大長方形的面積就是2×4+5×4。很明顯這道算式求得的都是大長方形的面積，所以（2+5）×4=2×4+5×4，反之也成立。借助圖形，學生容易想到乘法分配律中，相同乘數可看作兩個長方形相同邊的長度，而相加的另兩個數則是兩個長方形不相等邊的長度。此時，抽象出乘法分配律的字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c后，再結合上圖，讓學生說說a、b、c在圖中各表示什么，加深理解。

3.建立知識聯系來明“理”

教學“分數的基本性質”時，先通過兩道例題得出1/3=2/6=3/9與1/2=2/4=4/8=8/16，接著引導學生觀察1/3=2/6=3/9與2/4=4/8=8/16，接著引導學生觀察和計算例子中分數的分子和分母是怎樣變化的，在充分交流的基礎上得出分數的基本性質是“分數的分子和分母同時乘以或除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變”。教材提出要求：“根據分數和除法的關系，你能用除法中商不變的規律來說明分數的基本性質嗎？”此時不用再糾纏于枚舉驗證，可以啟發學生將這些特例轉化成除法算式，如：1÷3=2÷6=3÷9，1÷2=2÷4=4÷8=8÷16，建立起兩類式子間的因果聯系，使學生明確再換成其他的分數結論也是一樣的，這樣通過科學歸納推理論證了分數基本性質的合理性。

4.動手實踐操作來明“理”

教學“三角形的三邊關系”時，筆者設計了操作活動：用長10cm、6cm、5cm、4cm小棒各一根，從中任意選三根小棒，看看能否圍成一個三角形？

通過操作，學生得出10cm、5cm、4cm和10cm、6cm、4cm這兩種情況下是不能圍成三角形，原因是5+4<10而6+4=10。那么，怎么讓學生明白只要兩個小棒長度的和小于或等于第三根小棒的長度時，一定圍不成三角形呢？當然不能通過枚舉來驗證，這時可以通過學生再次動手操作來明“理”。

5.回歸本質屬性來明“理”

教學“2和5的倍數特征”時，通過觀察百數表中2和5的倍數，得到2和5的倍數的特征，最終得出判斷一個數是不是2或5的倍數，只要看個位上的數是不是2和5的倍數就可以了。然而，對于為什么只要看個位就可以判斷？超過100的數是否也可以這樣判斷？有沒有反例？在學生心中還有大大的問號。此時，如果能回歸數的組成這一本質屬性來探明原因，進行科學歸納推理，定能為學生解惑，同時也為后面探究3的倍數的特征背后的原理做好鋪墊。我們利用位值原理將一個多位數如2487展開成：2487=2×1000+4×100+8×10+7，引導學生觀察展開式，由于1000、100、10這樣的計數單位一定是2和5的倍數，所以劃線部分必定是2和5的倍數。在此基礎上，啟發學生思考，任何一個多位數都可以寫成類似的展開式，最后一個加數前面部分的和必定是2和5的倍數，所以一個數是不是2或5的倍數，只要看個位上的數即可。