基于核心素養的解析幾何復習課的教學設計與反思

歐陽曉萍

摘 要：數學核心素養既有獨立性又互相交融，形成一個有機整體。在高中解析幾何復習課中，通過設計合理的數學問題，讓學生在數學活動過程中掌握基礎知識、技能以及感悟數學基本思想的能力，激發他們的數學思維，積累實踐的經驗，促使學生發展和形成數學核心素養。

關鍵詞：核心素養;解析幾何;教學設計

高中數學教師在解析幾何復習課中落實數學核心素養，首先要對數學內容的本質進行把握，通過提出合理的問題，啟發學生進行獨立的思考和探索，鼓勵學生和其他學生進行交流和討論，在數學活動的過程中讓學生掌握基礎知識，在這個基礎上促進學生發展和形成數學核心思想，實際上也是幫助學生養成一種習慣和思維方式。本文以高中解析幾何的復習課為例，基于核心素養讓學生進行數學學習。

一、學情分析

解析幾何在高考中是重難點問題，學生比較難掌握。他們缺少計算能力，在解題時產生了一定的影響，除此之外還缺少解題的方法，缺乏數形結合解決問題的意識，因此在平時的課堂教學中，教師要引導學生多對數學原題目進行反思、改造，改變問題的條件或結論，改變其形式或內容而構造出充滿生機的“新題”，這樣可以促使學生隨時根據變化的條件積極思考，尋找解決方法，從而培養思維的廣闊性。我們每解答一道數學題后，若能將其中的條件、結論做一些改變，或問題的呈現方式做一些改變，會有什么結果產生呢？常這樣去反思是非常有益的。

二、教學設計

如圖，點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀。與2.2例3比較，你有什么發現？（人教A版，選修2-1，第59頁，探究）

設計意圖：本題條件比較簡單，讓學生從簡單的直接法入手回顧解析幾何求軌跡的知識，增加學生的學習信心。

變式1：已知點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）（a>0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是k（k≠0），求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀。

解，∵kAM·kBM=k，即·=k（x≠±a），∴-=1（x≠±a）.

①當k>0時，點M的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線（去掉A、B兩點）;

②當-1

③當k=-1時，點M的軌跡是以AB為直徑的圓（去掉A、B兩點）;

④當k<-1時，點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓（去掉A、B兩點）.

設計意圖：通過變式1進一步復習解析幾何求軌跡的知識，并強調在求解軌跡時必須要檢驗特殊點是否成立。

變式2：若AB是橢圓?=1（a>b>0）的任一條直徑（過原點O的弦），點M是橢圓上的動點，且直線AM，BM的斜率都存在，則直線AM，BM的斜率之積為-.

設計意圖：變式2是逆向探求和一般化探求的結果，通過逆向探求和培養學生的邏輯思維，同時讓學生進一步理解相關知識。

變式3：若AB是雙曲線?=1（a>0，b>0）的任一條直徑（過原點O的弦），點M是雙曲線上的動點，且直線AM，BM的斜率都存在，則直線AM，BM的斜率之積為。

設計意圖：變式3是變式2類比推理的產物，通過類比推理讓學生從本質上理解和掌握相關知識，并在以后解題中能融會貫通。

上述結論對學生來說是新的發現，是數學合情推理與演繹推理相結合的結晶。

三、教學反思

本文從例題，通過層層變式，循序漸進，螺旋上升，有利于培養學生從特殊到一般、從具體到抽象分析問題、解決問題的能力，有利于培養學生的探究精神和探究能力，有利于數學思維品質的優化，有利于培養學生的化歸能力。

其中變式1是采用歸納推理的方法得出命題，變式2是逆向探求和一般化探求的結果，變式3是變式2類比推理的產物。通過變式讓學生能夠深刻理解其中的內涵，達到運用自如、靈活切換的效果。同時教師還要引導學生做好課堂小結，學會動手演練。

數學是一門十分嚴謹的學科，因此想要更好地落實解析幾何教學，就應該建立在扎實的基礎知識上。同時為了體現直觀性，教師還可以使用多媒體技術進行輔助教學，提高課堂教學效率，幫助學生建立圖形的形象意識和抽象數學問題之間的聯系。之所以只是將多媒體作為輔助技術，是因為信息化的快節奏，課堂會對學生自身直觀想象能力的培養帶來一定的限制，無法有效培養數學的抽象思維等。

面對一些學習數學困難的學生，教師首先應該從簡單基本問題出發，通過層層變式，循序漸進，讓學生慢慢掌握相關知識。因此基于核心素養，在講授這一節解析幾何復習課時，首先就要復習相關概念以及公式。只有深刻了解課本上的基礎知識，才能夠幫助學生更好地運用并拓展，同時對相關知識網絡進行系統性的梳理，建立框架，激發學生的思維。除此之外，教師還應該重視學生進行思維探索的過程，給學生留出更多的時間和空間，幫助學生形成數學素養。最后還要讓學生進行自我整理和完善，根據自身的學習習慣，對知識進行總結和歸類，加深對解析幾何知識的理解，減少遺忘。

總而言之，在高中數學解析幾何題的復習中，教師要研究近五年的真題。通過對解析幾何內容的具體問題進行分析，然后提煉出其中的本質，基于核心素養對學生進行系統的訓練，幫助學生對解析幾何的難題和難關進行攻克。

參考文獻：

[1]陳亞菲，曹賢鳴.基于核心素養的解析幾何復習課的教學設計與反思[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019.

[2]董林偉，李善良.基于核心素養的教學設計（高中數學）[M].北京：北京師范大學出版社，2020.