數(shù)學(xué)建模：從經(jīng)驗(yàn)理解到核心素養(yǎng)培育

朱祖煌

[摘? 要] 從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性作用應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在其促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展上. 如果仔細(xì)研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的各個(gè)要素，可以發(fā)現(xiàn)他們既是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的目標(biāo)，同時(shí)也是核心素養(yǎng)達(dá)成的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)教師有一個(gè)重要的定位，就是站在學(xué)生的角度去看數(shù)學(xué)建模，只有這樣才能體會(huì)到學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中遇到的困難. 在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)之上，高中數(shù)學(xué)建模的策略可以歸納為：在數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí);在數(shù)學(xué)知識(shí)及其體系建構(gòu)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力;在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，有一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)，那就是“數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科”. 很多時(shí)候，一線教師對(duì)這個(gè)“基礎(chǔ)學(xué)科”的理解可能都有一些狹隘，因?yàn)樵诤芏嗳丝磥?lái)，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中，“基礎(chǔ)”更多體現(xiàn)在為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)提供知識(shí)與方法. 這樣的理解不能算錯(cuò)，但可以肯定的是并不全面，尤其是從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性作用應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在其促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展之上. 在今天的教育環(huán)境里，數(shù)學(xué)學(xué)科促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)是用數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)來(lái)描述的. 如果仔細(xì)研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的各個(gè)要素，可以發(fā)現(xiàn)它們既是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的目標(biāo)，同時(shí)也是核心素養(yǎng)達(dá)成的基礎(chǔ). 本文嘗試以數(shù)學(xué)建模為例，談?wù)勔恍\顯觀點(diǎn).

[?]傳統(tǒng)教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模理解與現(xiàn)狀

應(yīng)當(dāng)說(shuō)，在核心素養(yǎng)提出之前，數(shù)學(xué)建模就一直受到數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家與一線教師的高度重視. 數(shù)學(xué)建模是建模的下位概念，建模的通俗理解就是建立模型. 建立模型說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，但是過(guò)程卻異常復(fù)雜——從專(zhuān)家與新手的角度來(lái)看數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，數(shù)學(xué)教師有一個(gè)重要的定位，就是站在學(xué)生的角度去看數(shù)學(xué)建模，只有這樣才能體會(huì)到學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中遇到的困難（新手的困難往往是專(zhuān)家難以體會(huì)的）. 在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程以及建立起來(lái)的模型，實(shí)際上是無(wú)處不在的，比如說(shuō)函數(shù)是一種模型，數(shù)列也是一種模型，概率更是一種模型……如果考慮得精細(xì)一點(diǎn)，其實(shí)任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的建立過(guò)程，都有著數(shù)學(xué)建模的成分.

或許正是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模無(wú)處不在，使得實(shí)際教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視反而有些不夠，正如有研究者所指出的那樣：實(shí)踐表明，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果并不令人滿(mǎn)意，其重要原因之一在于，缺乏基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)理論指導(dǎo). 在筆者看來(lái)，這一數(shù)學(xué)建模教學(xué)理論的缺乏，首先體現(xiàn)在教師的教學(xué)當(dāng)中，教師如何理解自己所教的學(xué)科？數(shù)學(xué)是不是只是數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的堆砌？數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值是不是只在于解題？這些問(wèn)題的答案原本是多元的，但在應(yīng)試之下漸漸趨向一元，因此教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)理解也就被局限在一個(gè)狹隘的范圍之內(nèi)，這是當(dāng)前教學(xué)中需要高度重視的.

對(duì)于當(dāng)前高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的現(xiàn)狀，筆者認(rèn)同這樣一個(gè)判斷，就是在數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過(guò)程中要明確將數(shù)學(xué)建模的思想融入數(shù)學(xué)類(lèi)主干課程，而不是用“數(shù)學(xué)模型”或“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的內(nèi)容搶占各個(gè)數(shù)學(xué)類(lèi)主干課程的陣地. 這里所說(shuō)的主干課程，筆者理解為重要的數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律，特別需要強(qiáng)調(diào)的是，基于知識(shí)邏輯的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，有可能幫學(xué)生形成一個(gè)大的數(shù)學(xué)模型，因此有一些數(shù)學(xué)知識(shí)可能相對(duì)邊緣化，但是同樣可以對(duì)數(shù)學(xué)建模發(fā)揮促進(jìn)作用.

[?]核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐

對(duì)數(shù)學(xué)建模有了一定的理論理解之后，一個(gè)重要的任務(wù)就是在具體的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，需要遵循一定的策略，根據(jù)趙建昕等人的研究成果來(lái)判斷，要提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，需遵循六點(diǎn)策略：一是系統(tǒng)滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)初步的建模思維意識(shí);二是精選和解剖優(yōu)秀的賽題與參賽作品，培養(yǎng)雙向翻譯能力;三是講授建模的具體思維方法，培養(yǎng)解模能力;四是類(lèi)比引導(dǎo)，培養(yǎng)觀察和猜想能力;五是立足教與學(xué)，培養(yǎng)邏輯思維能力;六是加強(qiáng)訓(xùn)練，培養(yǎng)評(píng)價(jià)能力. 筆者在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)之上，將上述六點(diǎn)策略歸納為：在數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí);在數(shù)學(xué)知識(shí)及其體系建構(gòu)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力;在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的能力.

以“直線的方程”為例，從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來(lái)看，學(xué)生要學(xué)的是描述“直線”的“方程”;從方法的角度來(lái)看，學(xué)生要學(xué)習(xí)的是數(shù)形結(jié)合的思想;那么從數(shù)學(xué)建模的角度來(lái)看，學(xué)生要學(xué)的是什么呢？筆者以為應(yīng)當(dāng)包括這樣幾點(diǎn)內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng);二是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng);三是數(shù)學(xué)模型運(yùn)用能力的培養(yǎng). 那么怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才能達(dá)到這樣的目標(biāo)呢？筆者是這樣設(shè)計(jì)的：

首先，通過(guò)邏輯推理讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“直線的確定”既可以由兩點(diǎn)來(lái)確定（兩點(diǎn)確定一條直線），同時(shí)也可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向來(lái)確定. 前者是學(xué)生比較熟悉的內(nèi)容，復(fù)習(xí)這一內(nèi)容可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“直線固然只是一條線”，但是“確定一條直線”卻必須是一種模型化的認(rèn)識(shí)（無(wú)論什么時(shí)候，學(xué)生所熟悉的“兩點(diǎn)確定一條直線”其實(shí)都是一種模型化的認(rèn)識(shí)）;那么到了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)境里，面對(duì)“直線的確定”這一問(wèn)題，還可以形成哪些模型化的認(rèn)識(shí)呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度，來(lái)認(rèn)識(shí)到直線在平面直角坐標(biāo)系中可以理解為滿(mǎn)足某些條件的點(diǎn)的集合. 有了這樣的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)建模也就有了一個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ).

其次，在直線的“點(diǎn)斜式”方程教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 具體可以給出一個(gè)問(wèn)題，如：若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，3），且直線的斜率為-2. 若有一點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿(mǎn)足什么樣的條件？在這樣一個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷的一個(gè)過(guò)程是比較綜合的：既有基于題目給出條件的邏輯推理，也有得出結(jié)論之后形成的一種模型認(rèn)知.

這里分析后者. 從數(shù)學(xué)建模的角度來(lái)看，學(xué)生在推理過(guò)程中，根據(jù)點(diǎn)P與定點(diǎn)A所確定的直線的斜率是一個(gè)定值，推導(dǎo)得出直線的點(diǎn)斜式方程：y-y=k（x-x）. 實(shí)際上當(dāng)這一方程得出之后，該方程在學(xué)生的大腦當(dāng)中就不止以方程的形式存在，而是以描述直線的一種模型存在. 學(xué)生在看到點(diǎn)斜式方程之后，往往就能反映出這是可以體現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系上的一條直線，正是這種進(jìn)步與直覺(jué)的反應(yīng)，印證學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.

最后，通過(guò)問(wèn)題解決鞏固學(xué)生的模型認(rèn)知. 根據(jù)循序漸進(jìn)的規(guī)律，此處可以給學(xué)生提供兩個(gè)層次的問(wèn)題：一是點(diǎn)斜式方程的直接運(yùn)用;二是給出一個(gè)點(diǎn)斜式方程，讓學(xué)生去判斷可能的圖像. 這個(gè)環(huán)節(jié)與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中的設(shè)計(jì)重合度較高，此處不再贅述.

在上述教學(xué)過(guò)程中，無(wú)論是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，還是建模能力，都得到了充分的培養(yǎng). 而且這樣的一個(gè)過(guò)程與知識(shí)建構(gòu)并不是割裂的，而是高度重合的. 從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)（兩點(diǎn)確定一條直線）出發(fā)，到尋找確定直線的方法，到點(diǎn)斜式直線方程的成功探究，學(xué)生對(duì)直線以及確定直線方法的理解不斷豐富，形成的認(rèn)識(shí)也越來(lái)越模型化，所以豐富這樣一個(gè)教學(xué)過(guò)程，實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力乃至于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的過(guò)程.

[?]核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模的反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史時(shí)空中來(lái)看數(shù)學(xué)建模，可以發(fā)現(xiàn)其強(qiáng)大的生命力. 而且特別需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)建模本身就是一門(mén)十分注重理論聯(lián)系實(shí)際的課程，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的想象力和洞察力;有助于培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維和發(fā)散思維;有助于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和自我評(píng)價(jià)能力. 由此可見(jiàn)，雖然數(shù)學(xué)建模只是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個(gè)要素中的一個(gè)要素，但是數(shù)學(xué)建模本身就是一門(mén)重要的、能夠培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的過(guò)程.

東北師范大學(xué)教授、課標(biāo)修訂組組長(zhǎng)史寧中教授在概括數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的時(shí)候，曾經(jīng)將數(shù)學(xué)建模描述為“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物”，這一句看似簡(jiǎn)單的判斷當(dāng)中蘊(yùn)含著豐富的道理：學(xué)生要能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，其首先必須掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言！掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力從哪里來(lái)呢？筆者以為，綜合性最強(qiáng)的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)以及具體的教學(xué)實(shí)踐中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，不僅僅可以提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育也有著重要的促進(jìn)作用.

高中階段是學(xué)生素養(yǎng)形成的重要階段，數(shù)學(xué)學(xué)科要想發(fā)揮其基礎(chǔ)性作用，就可以以數(shù)學(xué)建模作為教學(xué)主線，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，以真正掌握描述事物的數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 而在這樣一個(gè)過(guò)程中，既需要堅(jiān)持高中數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)中的數(shù)學(xué)建模理解，也需要在核心素養(yǎng)的背景下更多地關(guān)注學(xué)生的成長(zhǎng)需要，這樣就可以實(shí)現(xiàn)從傳統(tǒng)向現(xiàn)代的跨越，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的真正落地.