“生態課堂”視角下的高中數學概念課的教學思考

蘇永強

[摘? 要] 21世紀以來，基礎教育改革的浪潮席卷全國. 新課程改革背景下的課堂教學不再是學生被動接受知識的活動. 華東師范大學葉瀾教授提出了“從生命的高度用動態的觀點看待課堂教學，課堂應呈現生命態，是發展生成的，具有創生性”的要求. 將生態理念引入課堂教學實踐，把課堂還給學生，可以讓課堂煥發出生命的活力. 本文以筆者一堂“送培送教”課《拋物線及其標準方程》為例，談談“生態課堂”視角下的高中數學概念課如何進行有效的教學設計.

[關鍵詞] 生態課堂;概念課設計;有效教學

[?]生態課堂的基本內涵

特級教師詹明道在《走向數學生態課堂》中說道：“數學生態課堂是以生命教育與教育生態觀為基礎，以實現生命發展為價值追求，讓師生在本真、自然、和諧的環境里富有個性地、自主地實現課程、師生、知識、社會多元多向多層次的互動，不斷地開發潛能，開啟智慧，創造自我，改善和發展生命，取得數學素養和生命質量整體提升的課堂. ”

[?]數學生態概念課的初步探索

波利亞指出“學習最好的途徑是自己去發現”. 中學數學是由概念、命題和推理組成的邏輯體系. 概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式. 其中概念是邏輯思維的細胞，是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維過程. 數學概念的發展歷程是一個自然生長的過程. 因此，筆者認為，“生態課堂”視角下的概念課教學，應注重創設實際情境，提供活動體驗過程，引導學生在問題驅動下思考，在合作探究中感悟，在合作討論中思辨，通過直觀感知、數學抽象進行知識建構，從而促進自身主動發展. 具體課堂實施過程可圍繞以下環節展開：

（一）導疑——情境導入，提出疑問，創設數學生態課堂的“軟環境”

在高中數學學習中，最重要的就是學生的學習興趣，只有對數學學習充滿興趣，學生才能自覺主動地學習. 在已有生活經驗和知識儲備的基礎上創設貼合生活、富有懸念、生動活潑的教學情境，有利于激發學生探究欲望和學習好奇心，有利于學生問題意識的形成. 因此在導疑這個環節中，讓學生明確學習本課的三維目標后，筆者出示了以下問題：

【創設情境，提出問題】

1. 出示生活中一些熟悉的拋物線，觀察趙州橋橋拱的形狀是什么曲線. 通過趙州橋的“陷阱”，激化學生的認知沖突，激發學生的探索欲望，并由此提出問題.

2. 提出問題1：具備什么幾何特征的曲線才可以稱做拋物線呢？你能寫出它的方程形式嗎？

設計意圖：通過學生回答和圖片展示，使學生對拋物線有感性認識，引發學生思考，讓學生體會到“拋物線在生活中有廣泛的應用”，激發學生學習拋物線的興趣.

（二）引探——自主學習，探究問題，凸顯數學生態課堂的“生本性”

【活動探究，描繪圖形】

學生動手，在圖1中，按步驟找出相應點并描繪圖形輪廓.

圖形說明：F是定點，l是定直線，KF⊥l，在直線l上依次取出點H（i=1，2，…，6），過H作l的垂線，如圖1.

作圖步驟：

1. 連接HiF（i=1，2，…，6）;

2. 作HiF的中垂線交相應的垂線l于點M，并用光滑的曲線將M點連接起來.

學生作圖完成后，用幾何畫板展示成圖過程.

設計意圖：培養學生的動手能力，從作圖中直觀感受動點到定點、定直線之間的關系.

【特征分析，嘗試定義】

問題2：（1）曲線是由哪個點運動產生的？

（2）點M運動過程中，哪些幾何圖形沒有發生變化？

（3）怎么用等量關系刻畫點M的運動？

（4）MH位置始終在變化，但它與直線始終保持怎樣的位置關系？

（5）|MH|實際上就是動點M到定直線l的________？

由學生嘗試概括拋物線的“定義”：

我們把平面內與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

（三）釋疑——主動展示，闡釋疑點，凸顯數學生態課堂的“生動性”

生態課堂的“生動性”是指教學方法的多樣化，體現學習方式的多樣性與主體性、協作性與交流性、體驗性與感悟性. 在這個環節中，教師應緊扣凸顯學習目標的共性問題，鼓勵學生闡釋問題，教師適當點撥. 學生獲得新知識的同時，通過優化內容、巧妙設疑、激發想象等方式，不斷激發學生提出高質量的問題，從而讓學生的一切表現因精彩而使課堂變得生動.

【問題探究，完善定義】

問題3：（1）如果改變定點F和定直線l的距離，即改變

KF

的大小，拋物線會發生什么變化呢？

（2）如果

KF

繼續變小至0，即定點F在定直線l上，這個時候形成的曲線是什么圖形？

完善拋物線的定義：（動畫演示）

我們把平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線. 點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線，

定點F到和定直線l的距離用字母p來表示，即p=

KF

.

【類比探究，推導方程】

1. 小組討論，擬訂方案

問題4：

（1）求曲線方程的基本步驟是什么？

建系—設點—列式—代入—化簡—證明.

設計意圖：回憶前面所學知識，做好知識準備.

（2）求拋物線的方程，關鍵是建立適當的坐標系問題. 借鑒橢圓、雙曲線的建系方案，如何選擇合適的坐標系會更好呢？

學生容易提出如下三種方案（預案）：

方案一：以l所在的直線為y軸，以K為原點建立直角坐標系（其優點是“好想”）;

方案二：以KF所在直線為x軸，以F為原點建立直角坐標系（其優點是“好算”）;

方案三：以KF所在直線為x軸，以中點為原點建立直角坐標系（其優點是結果簡潔）.

2. 分工合作，推導方程

學生在以上三種方案下得出三個不同的方程：

方案一：y2=2px-p2（p>0）;

方案二：y2=2px+p2（p>0）;

方案三：y2=2px（p>0）.

設計意圖：讓學生親身經歷拋物線方程的推導過程，加強學生對坐標法的認識，培養學生主動學習、合作學習的精神，有利于難點的突破.

3. 師生共議，確定標準

對比研究，確定標準方程：y2=2px（p>0）.

特征：開口向右，焦點坐標為F

，0

，準線方程為x=-.

4. 類比探究，完成建構

問題5：由前面學過的知識，我們知道橢圓和雙曲線的標準方程的兩種形式實際上是由焦點的位置確定的. 那么根據拋物線的焦點可能所處的位置，能否寫出其他形式的標準方程呢？

設計意圖：用類比的方法，鼓勵學生進行發散思維，培養知識遷移的能力.

問題6：（1）四種標準方程的左邊和右邊次數是怎樣的？

（2）如何由方程確定拋物線的焦點位置及開口方向？

設計意圖：培養學生觀察、類比、概括的能力，突出拋物線方程和焦點、準線的內在聯系，有利于學生知識的掌握.

5. 回顧小結，思考提升

一個定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

兩種思想：數形結合思想;分類討論思想.

三項注意：①定義的前提條件：直線l不經過定點F;

②p的幾何意義是焦點到準線的距離;

③求拋物線焦點坐標、準線方程、標準方程時應“先定位，再定量”.

四種形式：拋物線的標準方程有四種形式.

設計意圖：培養學生梳理知識點，總結知識內容，建構知識體系的能力.

（四）精練——當堂訓練，提升能力，凸顯數學生態課堂評價的“生命性”

生命性是生態課堂的前提. 師生共同獲得歡樂，學生收獲信心，讓生命自由成長是生態課堂追求的終極目標. 因此在精練這個環節，教師應更多關注學生的個體差異和不同的學習需求. 通過例題講解示范，方法總結提煉，合理分層訓練，進行及時反饋和自我評價，讓學生在運用新知識解決實際問題的同時能加以融會貫通，從中收獲成功的喜悅，享受學習的樂趣.

【例題解析】

例1：（1）已知拋物線的標準方程是y=x2，求它的焦點坐標和準線方程;

（2）已知拋物線的焦點坐標是F（-2，0），求它的標準方程和準線方程.

例2：已知拋物線的焦點在x軸正半軸上，焦點到準線的距離是，求拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程.

學生總結思路：第1步：將拋物線方程化為標準形式;第2步：求出的值;第3步：確定焦點位置，畫出草圖;第4步：求出焦點坐標和準線方程.

設計意圖：題目的設計由易到難，層層深入. 通過對解題方法的總結，使學生形成解題技能，提高解題能力.

【鞏固練習】

1. 求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

（1）y=-4x2;（2）y2=4x.

思路：先將拋物線方程化成標準形式，數形結合求出焦點坐標和準線方程.

2. 根據下列條件求拋物線的標準方程：

（1）焦點F（-1，0）;（2）準線：y=2.

思路：先定型，再定量. 由焦點位置或準線方程確定拋物線的形式，然后求出p的值.

設計意圖：當堂檢測，反饋效果，總結方法，提升解題能力，感受成功的喜悅.

【拓展提升】

3. 求頂點在原點，經過點P（4，2），且焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程.

設計意圖：滿足層次較高學生的學習要求，滲透數形結合的思想和分類討論的思想.

[?]數學生態概念課教學的反思

數學概念的形成是在一定背景下探索，自然生長和再創造的過程，最終以定義的形式揭露其本質特征. 正確理解數學概念并能加以運用，首先必須明確這個數學概念的內涵——所有對象的共同本質屬性，及其外延——所有對象的范圍. 核心素養導向下的新高考，不再是對單一知識點的強化記憶和簡單運用，而更多關注知識的基礎性、綜合性、應用性和創新性，關注知識的交匯和遷移，光靠機械模仿訓練，生搬硬套公式，高考注定失敗. 可如今一些數學課堂，教師滿堂灌，忽視概念教學，靠刷題的現象屢見不鮮. 由于學生沒有對概念的本質和外延有足夠的理解、把握，知其然不知其所以然，遇到新情景題、變式題，就束手無策. 因此在高中概念課教學中，數學教師應遵循學生數學學習的認知發展規律，注重知識的預設和生成，深入挖掘知識的內涵與聯系，還原數學概念自然生長的過程，讓學生在知識的獲取過程中感到一切都來得那么自然和原生態.