以微專題的形式促進有效教學

顏波

[摘? 要] 有效教學是高三數學復習中的關鍵，是教師們思考的常態，文章研究出可以通過微專題提升教學的有效性. 微專題在高三數學復習中可以幫助學生理清思路，找出盲點，觸類旁通，把知識間的聯系理解透徹.

[關鍵詞] 微專題;促進;有效教學

有效教學是高三數學復習中的關鍵，那么如何做到有效，是教師們思考的常態，筆者根據多年連續在高三任教摸索出了一點經驗，那就是通過微專題教學提升教學的有效性. 實踐證明，微專題的應用在高三數學復習中可以幫助學生理清思路，找出盲點，同時可以觸類旁通，把知識間的聯系理解得更加透徹.著名數學教育家G·波利亞曾經指出：“良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”所以依托主題明確、針對性極強的“微專題”進行數學復習，可以有效促進學生的深度學習，有利于學生獲得清晰的數學知識和系統的數學研究方法.

微專題復習是以高考必考點、重點、熱點、難點為依據，使微專題的確定、內容的選擇、題型的遴選都能緊密圍繞在“高考考點”的周圍，具有很強的復習針對性. 而要做到有效，微專題的設計就顯得至關重要. 根據平時的教學經驗，筆者總結了一些途徑，如圍繞復習的重點和關鍵點，利用具有緊密相關性的知識或方法設計，也可以結合學生的疑點或易錯點進行設計. 當然微專題除了注重將相關知識點進行整合外，還注重對學生進行思維訓練和解題方法的指導. 這樣微專題的內容含量就會小，學習目標更明確，一般安排一個課時對應一個微專題復習，也體現了微專題的“微”. 所以微專題復習可具有“因微而準、因微而細、因微而深”的特點，話題集中、耗時較少、針對性強、實效性好.

筆者根據這樣一個理念，在高三復習研討會上設計了一節微專題課《橢圓中的三角形面積的定值問題》，設計這節課，主要是因為學生對這些定值問題比較生疏，或者說掌握得不太好，對此類問題找不到解題靈感，所以用微專題通過分析比較系列問題條件和結論，用三角函數來研究變與不變，幫助學生對這類問題形成共識，找到解決問題的途徑，增強學生的應變能力，同時提升學生學習解幾的信心.

[?]基本情況

授課班級為四星級學校理科班，學生具有良好的學習素養，有一定的解題和探究能力.

教學目標：（1）學會合理選擇參數表示動態幾何關系，探究或證明動態圖形中的定值問題，體會“設而不求”“整體代換”在簡化運算中的作用;

（2）引導學生后期加強對典型題和課本題的研究.

教學重點：橢圓中的三角形面積表示.

教學難點：根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑（能夠計算—設計運算—數據處理）.

本節課采用：（1）基本問題探究;（2）為基本問題設置載體;（3）根據問題選擇方法;（4）設置問題串探究問題本質;（5）總結提煉形成共識.

[?]教學過程

卷首語：解析幾何讓人迷戀之處恰是其變化中的不變屬性，去繁至簡的永恒追求，而設計運算、優化運算更是探索奧秘當中必不可少的樂趣所在.

設計意圖：引導學生學會研究解幾，學會運算，激發學生學習解幾的熱情.

1. 情境引入

我們研究的最基本圖形面積是三角形的面積：

提出問題1：坐標系中的三角形面積如何用坐標表示？

采取多種方法求出該三角形的面積，為了探究一般性，故引導學生用向量來表示，從而得到以下證明：由于任意三角形都可以平移到頂點在坐標原點的情況，故可設A（x，y），B（x，y），所以S=

·

sin∠AOB=

·

·=·=·=·

x

y

-x

y. 在實際教學中，可以具體問題具體對待，比如用S=OA·d，或通過構造梯形、分割三角形等都可以輕松得到這個表達式.

設計意圖：（1）會用一般性的方法推導三角形的面積公式;（2）引導學生會用坐標法表示三角形面積，從而為一些問題快捷地設計出解題思路，為后續研究鋪路.

師：雖然以上三角形是動態的，但是它們的面積卻可以為定值.

提出問題2：那么我們今天就來研究橢圓中的三角形面積滿足什么條件可以為定值？

引例：（改編：2015上海高考，理21）

如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+y2=1，過原點O的兩條射線l和l分別與橢圓交于A和B，記△AOB的面積為S.

（1）設A（x，y），B（x，y），求證：S=

x

y

-x

y;

（2）設l與l的斜率之積為-，求面積S的值.

對于（2），學生的設計思路如下.

生1：設l的斜率為k，解出A，同理解出B，然后由S=

x

y

-x

y=

k+·

x

x，即可得出答案.

生2：設直線AB為y=kx+m，與橢圓方程聯立，應用韋達定理，由斜率間的關系可以得出k，m的關系，進而S=

x

y

-x

y=m

x

-x，即可得出答案.

生3：由=-，通過兩邊平方可以得出x+x=4（意外收獲：y+y=1，OA2+OB2=5，為學生點贊），緊接著由S=

x

y

-x

y兩邊平方，得S2= ·x

y

-2x

x

y

y+x

y

=x

+x

=1.

學生點評：每一種做法都很合情合理，前兩種是通法，但是生3的做法，感覺到很簡潔，并且發現了一個結論.

設計意圖：尋找學生最原始的想法，比較他們的做法，發現一組結論，為后續研究最優方法做準備.

師：作為高三的二輪復習，還應根據題目的結構特征選擇最優的方法進行處理，對于生3提出的解法是否可以考慮借助橢圓的參數方程加以解決呢？學生思考.

生4：設A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由l與l的斜率之積為-，所以==-，所以cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以cos（α-β）=0，又S=·

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以面積S的值為1.

師：此時請同學們分析這種方法的合理之處，引導學生比較分析，發現更優.

接下來繼續探究幾個結論.

師：如果你已掌握，那么請看：

追問1：若OA，OB的斜率分別為k，k，且△AOB的面積為1，求k·k.

學生展示：設A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以cos（α-β）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以==-，所以l與l的斜率之積為-.

追問2：若OA，OB的斜率分別為k，k，問是否存在非零常數λ，使k·k=λ時，△AOB的面積S為定值？若存在，求λ和S的值;若不存在，說明理由.

學生展示：設A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=t，所以cos2（α-β）=1-t2，即cos2αcos2β+2cosα·cosβsinαsinβ+sin2αsin2β=1-t2.

設==λ，所以（1+8λ+16λ2）cos2αcos2β+t2-1=0恒成立，所以1+8λ+16λ2=0，t2-1=0，所以λ=-，t=1.

設計意圖：通過追問的形式，引導學生發現知識間的內在聯系，同時鞏固所學方法.

追問3：以上的問題是必然的嗎？為什么呢？你能看到什么嗎？

回歸到一般式：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+=1，過原點O的兩條射線l和l分別與橢圓交于A和B，記得△AOB的面積為S.

若l與l的斜率之積為-，則S=ab. 反之也成立.

設計意圖：從學生角度，引導他們學會發現問題，學會探究問題;從知識角度，由特殊到一般，揭示規律，發現數學中美的東西.

追問4：若動點P滿足=4+，其中△AOB的面積S=1，問是否存在定點F，F，使得PF+PF為定值？若不存在，說明理由.

解：設A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），P（x，y），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以cos（α-β）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0.

又由=4+，所以x=8cosα+2cosβ，y=4sinα+sinβ，所以x=64cos2α+4cos2β+32cosαcosβ，y=16sin2α+sin2β+8sinαsinβ，x+4y=68. 所以點P的軌跡方程：+=1.

所以存在定點F（，0），F（-，0），使得PF+PF=4.

追問5：如圖4所示，你會設計問題嗎？可以自行嘗試.

設計意圖：鞏固所學方法，提升解題能力. 引導學生自行嘗試設計問題.

師：我們知道圓的內接正方形面積為定值，經過變換后得到橢圓的內接平行四邊形面積為定值，我們已經通過解析法證明了這個結論. 其實這是橢圓中的共軛直徑和離心角問題，有興趣的同學課后可以通過變換提出猜想，然后通過解析法進行論證！

[?]教學反思

1. 選取的例題要有代表性

微專題教學中尋找典型例題至關重要，通過典型例題的研究，走出題海，引導學生學會觸類旁通. 通過本課期待能夠引導教師和學生在平時要善于研究問題，努力尋找問題的根源，由此做到以不變應萬變. 例題往往要選擇較經典的試題，而正因為經典，解題過程對教師來說是耳熟能詳的，但是，卻很可能在不經意間疏忽了學生的想法，進入教師的主觀課堂，出現“高耗低效”的教學現象. 本文中選取的橢圓中的三角形可以和很多知識產生聯系，如：x+x=a2，y+y=b2，OA2+OB2=a2+b2等，由此揭示一系列的問題，它們之間可以相互推出，可以知一求多.

2. 課堂氛圍要有民主性

課堂應以學生為主體，學生是課堂的主人，每個學生都渴望成功，渴望表揚，所以激勵的話語應成為教師的口頭禪. 只有民主的課堂才能激發出學生的創造性，平時教學中一些問題的多種解答方法其實大多來自學生. 我們的課堂上應充分讓學生展示，讓學生多動手實踐，這樣才能培養學生的自信，才能培養出優秀的學生，這才是我們教學的主要目的. 教師只有教得輕松，教得容易，教得和諧，師生才能共贏.

3. 追問形式要具有合理性

追問的設計應合理、自然，學生也能容易接受. 一節課未必選擇多個題目，把一個問題講透，學生弄懂才是關鍵，所以只有教師深知班級學情，充分備課，多積累，才能設置好追問. 同時追問的設計要讓學生感受到所學方法的作用.追問的目的在于讓學生經過一番努力后能夠有所得，讓學生獲得成就感，這是對學生最好的賞識. 瑞士心理學家皮亞杰認為“：一切有成效的工作必須以某種興趣為先決條件”. 濃厚的興趣能調動學生的學習積極性，啟迪智力潛能并使之處于最活躍的狀態.

4. 學生間評價要有積極性

教師在以充分肯定、激勵性評價為主的同時，要多讓學生之間相互評價，以達到互相學習、反思自己、改進方法的效果. 心理學研究表明，學生更易接受來自學生群體的評價，讓學生在評價他人和被他人肯定的過程中完成數學解題，進而享受學習數學的快樂.

奧蘇貝爾的“有意義的學習”理論提出：影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，我們應該根據學生原有的知識狀況去教學. 確定微專題內容的首要參考依據是學生綜合練習中暴露出的問題以及這些問題所體現出的學生的知識盲點. 任課教師需在平常教學工作中做一個有心人，在認真批改學生的試卷后，能夠將以班級為整體所反映出的共性問題及時做好記錄，以便在接下來的微專題復習中緊密聯系學生現有的知識狀況，從而提升復習的效率.