懸浮水輪回復現象的探究

沈君宇，陳 鑫，姚關心

(安徽師范大學 物理與電子信息學院， 安徽 蕪湖 241002)

2019年全國大學生物理學術競賽中提出了這樣一個探究性問題：在靠近水柱的邊緣小心地朝上放置一個輕質物體，如聚苯乙烯泡沫塑料盤(稱懸浮水輪)，在一定條件下，物體將在懸浮的同時開始旋轉.文獻上對這種現象的解釋有不少報道[1-3],本文將利用流體力學中的邊界層理論與康達效應對這一現象進行研究，并對它隨水柱沖擊點變化產生的回復現象作出合理的解釋.

1 預實驗猜想

輕質聚乙烯球會在水柱側邊穩定高度懸浮并快速旋轉；旋轉過程中水流會沿其表面運動并潑灑出大量水花.通過預實驗，可以作出穩定時輕質物體受力平衡的條件與水柱沖擊點位置有關的判斷.

2 懸轉水輪的力學模型

2.1 水輪旋轉的原因

根據康達效應可以知道：1)流體(水流或氣流)有偏離原本流動方向，改為隨凸出的物體表面流動的傾向；2)當流體與它流過的物體表面之間存在表面摩擦時(即流體粘性)，只要曲率不大，流體會沿該物體表面流動； 3)據牛頓第三定律，物體施與流體一個偏轉的力，流體也必施與物體一個反向偏轉的力.這種力在輕質物體表面動力學過程非常明顯，這種力產生的力矩會使輕質物體旋轉起來.

2.2 力學模型構建

如圖1所示的x-y系中，將沿水輪表面水流速度分解為法向vcosθ與切向vsinθ.

圖1 懸轉水輪表面速度分量與受力示意圖

現對輕質物體做受力分析

G=mg

(1)

如圖1，水流在dt時間內對球體的沖擊導致其沿球體法向動量變為0而只沿球體表面切向運動，由動量定理此法向沖擊力P滿足

Pdt=vcosθdm

(2)

沿球體切向運動的水流會對球體產生黏滯阻力[4]，即流體流經物體表面產生的沿切向的濕摩擦力R[5]:

R∝v2cos2θ

(3)

當水流速度小于球體線速度時，同理會在球體表面產生反向的黏滯阻力Q:

Q∝v2sin2θ

(4)

水輪在這4種力及其產生的力矩的作用下最終達到平衡 .

在dt時間內，v=Const，噴出水柱高度及噴出水柱質量分別為

dl=vdt

(5)

dm=ρdV

(6)

其中

dV=Sdl

(7)

沖擊點法向單位時間內噴出的水的質量可寫為

dm/dt=ρSvcosθ

(8)

代入式(2)可得

P=ρSv2cos2θ(>cosθj-sinθi)

(9)

因為R、Q兩力的大小正比于水流的切向速度的平方，故其兩者合力大小必正比于水流切向速度的平方，即

R,Q∝v2sin2θ→FR,Q∝v2sin2θ

(10)

由于球體受力平衡，此模型下兩種力矢量和FR,Q的方向指向第一象限，假設其與x軸夾角同為θ，由邊界層理論[6]知

(11)

其中，CD為阻力系數，Re為雷諾數，S為流體噴射截面面積，且其滿足如下式子[7-8]

(12)

其中，ρ為流體密度，ω為球體旋轉角速度，μ為流體動力黏度，r為流體噴射截面半徑.由此，水輪在水平方向上所受外力矢量和可寫成

(13)

2.3 穩定性的研究

實驗中觀察到：對于同一球體，在達到穩定懸浮后，沖擊點總是在偏離球心的固定位置；當沖擊點稍偏離平衡位置時，球都會受到水施加的“回復力”，將之拉回平衡位置.利用式(13)，并以式中角度為橫坐標、水平合力大小為縱坐標繪制成的圖像配合探究此平衡點的位置并解釋這一現象.

當水平方向外力為0，有

(14)

當sinθcosθ≠0時，有

當sinθcosθ=0時，有

即水柱沖擊點在θ角度滿足以下條件時，水輪所受橫向合外力為零

水柱沿豎直方向沖擊球體時：θ3=0

表1 實驗中相關系數測量記錄表

3 實驗數據結果及分析

固定噴水口噴射截面積不變，形狀為半徑r為0.3 cm的圓形，并假設水柱上升過程中不會散開；黏度μ取室溫值：1.01×10-3Pa·s.通過對不同尺寸的水輪進行懸浮實驗，測量式(11)、(12)中給出的其余相關物理量(見表1)，取g=10 m/s2，將所得CD值帶入(14)中，以式(14)中角度為橫坐標、水平合力大小為縱坐標利用軟件繪制不同實驗參數下兩者之間的圖像關系(見圖2—圖4)，即經過數值計算得到的理論上水平合力與沖擊角度之間的關系.設R0為球體半徑.

圖2 角度θ與水平合力F合的關系(2R0=8 cm)

圖3 角度θ與水平合力F合的關系(2R0=10 cm)

圖4 角度θ與水平合力F合的關系(2R0=12 cm)

由圖2—圖4可解釋“回復力”現象產生的原因即由水平分力的合力產生，即是當沖擊水柱的位置右移時，輕質球體將會受到水流產生的向左的水平合力；當沖擊水柱的位置左移時，輕質球體將會受到水流產生的向右的水平合力.

4 結論

通過上述理論分析和實驗數據結果表明：

1) 水輪穩定懸浮的條件是由重力G，沖擊力P，黏滯力R，水的反向黏滯阻力Q的共同作用下達到受力平衡；在黏滯力R與水的反向黏滯阻力Q產生的力矩作用下達到力矩平衡.

3) 由(13)知，在水柱沖擊點偏移時，水輪會受到類似“回復力”的作用是P、Q、R3種力的水平合力共同作用產生，平衡位置與豎直方向所夾圓心角受流體速度，沖擊面積等條件影響.