有質彈簧緩慢腐蝕過程中的浸漸不變量及其電學推廣

范洪義，陳俊華，吳 澤

(1. 中國科學技術大學 材料科學與工程系，安徽 合肥 230026；2. 合肥工業大學 電子科學與應用物理學院 物理系，安徽 合肥 230026；3. 中國科學技術大學 近代物理系，安徽 合肥 230026 )

量子力學除了有薛定諤的波動力學表述、海森堡的矩陣力學表述(這兩種表述被狄拉克視為同一，并發展為符號法)和費曼的路徑積分表述外，還有一種常用的是相空間表述[1]，相空間的維數是系統的自由度的兩倍.可以說，玻爾-索末菲作用量的量子化(舊量子理論)就是在相空間中進行的.系統動力學的相空間描述的方式有利于“絕熱不變量”(或稱為浸漸不變量)的討論.力學系統在外部條件無限緩慢改變(外來干擾)下的進程叫做“絕熱”的[2,3,4].相對于外來干擾而言，需要加以量子化的量[5]，從經典力學層面上看必須是對外來干擾不敏感的量.愛因斯坦曾經提出絕熱不變量的概念，即在絕熱過程中它是一個不變量.玻爾的原子軌道量子化也是受浸漸不變量的影響.

本文想到這樣一個物理問題：現實生活中充滿風雨陰晦，金屬彈簧在空氣和雨水浸蝕下緩慢腐蝕，剛度逐漸變小，或說勁度系數逐漸變化.于是就產生了一個有趣的物理問題.在彈簧緩慢腐蝕過程中，什么是浸漸不變量(或稱為絕熱不變量)? 本文求出這個問題的浸漸不變量，再將它推廣到介觀電容-電感回路的一種緩變情形，即討論電解質電容中的電解液緩慢改變的情形下，什么是浸漸不變量.

1 彈簧緩慢腐蝕過程中的浸漸不變量

(1)

系統能量

腐蝕不但使得彈簧剛度k變小，也使得彈簧質量m變小，所以緩慢腐蝕引起的能量改變是

上式在平均意義下也成立.注意到平均勢能與平均動能各占總能量的一半，所以有

鑒于

所以

積分得到

(2)

2 平行板電容器中的電解質液體緩慢腐蝕情形下的浸漸不變量

假設電路的電容是板面積為A的兩平行板電容器，相距d，填滿介電常數為ε的材料，那么電容是

每塊板帶電為Q，根據電磁學知識，電容器儲能：

分開兩塊板所需的作用力作功：

所以一個板對另一塊板的作用力F為

所以

積分得到

(3)

所以E/ω是相應的浸漸不變量.

上述電容電介質腐蝕的情況也可以推廣到討論磁介質磁導率的退化情形下的浸漸不變量，因情況類似，此處不詳述.