麥克斯韋-玻爾茲曼分布在易辛模型中的應用

應 濤，裴延波，王曉鷗，張 宇

(哈爾濱工業大學 物理學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在統計物理的教學中，麥克斯韋-玻爾茲曼統計是一個重點內容. 但這部分的內容比較抽象，學生學習的時候往往是一知半解，需要有更多實例來給學生講解，特別是聯系到我們現實生活的關于麥克斯韋-玻爾茲曼應用的實例.

我們生活在一個豐富多彩的世界里，身邊的萬事萬物各有各的特點，比如水是柔軟流動的，石頭是堅硬的等等.但是從微觀的角度來看，這些各式各樣的宏觀物體都是由大量的微觀粒子構成的，這些微觀粒子的無規則熱運動導致了宏觀物體的不同特性.也就是說，為了了解宏觀物體特性出現的原因，我們需要從這個宏觀物體的微觀構成來進行研究.對單個的微觀粒子來說，它的個體行為是無規律的，難以捉摸的.但是大量的微觀粒子一起則會遵循統計規律，而這個統計規律在宏觀上就表現出實際物體的特征[1-4].

1 統計物理中的麥克斯韋-玻爾茲曼分布

在平衡態統計物理中，我們通常考慮處于某一個環境中的平衡系統，該系統的能量并不是精確固定的，因為它是在不斷的和外界環境進行能量的交換，因此這個系統的微觀狀態也不是固定的.根據等概率假設，系統有一定的概率處于任意的一個微觀狀態|n〉，而該概率就是歸一化后的玻爾茲曼分布

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我們在實際中觀測到的宏觀物理量都是對應微觀量的統計平均值，但是進行這些統計平均時需要考慮到系統處于不同狀態的玻爾茲曼概率，也就是進行加權平均.對某個觀測量A(比如系統能量)而言，我們觀察到的統計平均值可以表達為

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其中An表示觀測量A處于狀態|n〉時的值.根據公式(2)，系統的平均能量可以表示為

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2 麥克斯韋-玻爾茲曼分布計算統計平均值的困難

上述理論基于麥克斯韋-玻爾茲曼分布給出了計算宏觀觀測量即統計平均值的方法.但對一個實際的物理系統而言，其微觀結構是非常復雜的，為了進行理論研究，人們通常通過建立模型來簡化真實的系統.即便如此，可能出現的微觀狀態數目也是非常多的，而且通常其中很大一部分的微觀狀態出現的概率非常小.如果通過以上公式進行直接計算，其效率會非常低，即使使用超級計算機也需要消耗大量的時間.我們不妨從一個磁性材料來看，由于電子的自旋指向只有兩種，自旋向上和自旋向下，我們可以建立一個簡單的晶格模型——易辛模型來進行研究，該模型認為每個晶格格點會被一個電子占據，每個電子的狀態可能會是自旋向上和向下，在數學上可以用+1和-1來表示.我們可以想象該模型是極度簡化后的系統，實際物理系統要遠比該模型描述的系統復雜.盡管如此，我們也會發現該模型很難進行直接計算：假設系統有N個電子，每個電子的狀態(即自旋)用Si來表示，則Si可以取值+1或-1.那么，系統可能出現的微觀狀態數為2N個.對于一個真實的物理系統，N通常是一個很大的值(通常是和阿伏加德羅常數6×1023一個量級)，對應的狀態數2N則是一個天文數字.也就是說，系統的狀態數隨系統的自由度是一個指數增長的關系，人們無法在任何計算機上演化所有這些可能的狀態，更無法精確地數值計算系統的統計平均值[8].

3 按概率分布近似求解易辛模型

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如果我們定義平均每個自旋的磁化率

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上述情況我們考慮了自由電子的情況，但在實際物質中，電子間是存在相互作用的，為了簡化問題，我們只考慮相鄰近的自旋間存在相互作用的情形.此時系統的能量可以用下式來表達，也就是易辛模型的哈密頓量

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圖1 以兩個電子的自旋指向為例，演示系統狀態的演化過程：初始時刻兩個格點上電子自旋分別為向上和向下.(a) 嘗試翻轉自旋1但該翻轉被拒絕，則系統的新狀態|n>和之前的狀態|l>一致；(b) 嘗試翻轉自旋1并接受該反轉，系統狀態由|l>轉變為|n>，即兩個自旋均向下

通過上面的狀態演化過程，我們可以發現，對任意一個初始的系統狀態，它向更高概率狀態演化的可能性要大于向更低概率狀態演化的可能性.也就是說，即使初始狀態的玻爾茲曼概率非常小，它也會逐漸向高概率狀態進行演化，并且不會再回到小概率的狀態，而是在一些高概率的狀態間進行演化.而且我們知道這些高概率狀態的數目是非常少的，從而能夠用計算機實現這些狀態間的演化，計算這些高概率狀態的玻爾茲曼概率并計算統計平均值.在有限長的演化過程中，可以近似得到系統宏觀統計平均值的近似值：

(7)

其中Mm是觀測的次數.對比式(2)可以發現，這里計算A的統計平均值只是一個簡單的平均，沒有進行加權.這是因為每個狀態出現的權重已經在微觀狀態的演化過程中體現出來了.這種方法可以在無窮多的可能微觀狀態中找到概率較大的微觀態，而忽略概率很小的微觀態(這樣的態往往占絕大多數)，從而使得求統計平均值變得簡單.當然這種方法忽略了小概率的狀態，會帶來一定的統計誤差.但根據大數法則和中心極限定理，當觀測次數Mm較大時，該近似的效果和精確值達到一致，統計誤差可以忽略.

4 在易辛模型中的計算結果

使用這種方法，我們計算了二維正方晶格中易辛模型的平均每自旋的基態能量和平均每自旋的磁化率隨溫度的變化關系，分別如圖2和圖3所示.在該計算中，我們選取相互作用強度J=1，即系統具有鐵磁性，并且設置玻爾茲曼常數k=1.
圖2和圖3的橫坐標都是溫度T，我們選取離散的T的值進行計算，T的選取范圍從0到3，步長選取為0.02，由于該步長選取的足夠小，所以圖2和圖3中給出的不是離散的點，而是連續的曲線.由于該計算是在有限大小的晶格上進行的，不同大小的晶格上的計算結果會有所不同，即會出現有限尺度效應.通常情況下，晶格越小，有限尺度效應越明顯，而當晶格足夠大的時候，有限尺度效應可忽略，即所得計算結果接近于熱力學極限下的值.對所有的T的值，我們首先選取正方晶格大小為100×100，即N=10000個格點.那么對每一組參數設置(如N=10000，T=0.1，J=1和k=1)，我們可以從任意一個系統狀態(即10000個格點上自旋的任意分布)出發，通過玻爾茲曼概率來進行系統新舊狀態的演化，最終使得系統達到平衡態，然后在系統動態平衡下進行大量的測量并求統計平均值，即可得到感興趣的物理量如能量E和每自旋的磁化率m等.對部分的T的值，我們還進行了N=120×120的計算得到的結果與N=100×100的結果幾乎沒有差別，說明所選的系統尺寸已經足夠大，有限尺度效應可忽略.

圖2 二維易辛模型中 每自旋的能量隨 溫度的變化曲線

圖3 二維易辛模型中 每自旋的磁化率m 隨溫度的變化曲線

從圖3中我們可以看到，m隨T的變化曲線有兩條，即隨著T的降低，一條趨向于m=1，一條趨向于m=-1.在具體的計算中，m出現正值或者負值與初始狀態的選擇有關.這二者是完全等價的，前者對應著最終所有的自旋都是向上的，后者對應著最終所有的自旋都是向下的，它們都表示系統最終趨于鐵磁態，而且溫度越低，鐵磁性越明顯.該結果說明系統的鐵磁性隨溫度的降低越來越強，并且有一個轉變的溫度Tc≈2.27，當溫度高于該轉變溫度時，系統鐵磁性完全消失.

5 結論

綜上所述，我們討論了麥克斯韋-玻爾茲曼方法在統計物理中的應用，并以易辛模型為例進行了求解，研究了易辛模型中出現不同微觀態的概率，進而計算了該模型的基態能量和磁化率.我們首先考慮系統所有的粒子間無相互作用的情況，此時系統所有微觀狀態都具有相同的能量，微觀態的數目是隨著平均每個自旋的磁化率m的增大迅速減少的，說明系統最可能出現的狀態是對應著m=0的.由此可見，在系統所有可能的2N個微觀狀態中，大多數狀態對應的概率很小甚至可以忽略不記，所以可以只考慮少數玻爾茲曼概率較大的狀態即可.當考慮粒子間相互作用時，由不同微觀狀態的玻爾茲曼概率之比可以進行系統微觀狀態間的演化，只抽樣出現概率大的微觀態而忽略概率很小的微觀態，從而得到宏觀觀測量的近似值，并且該近似值隨著觀測的次數增加而趨于精確值.這說明麥克斯韋-玻爾茲曼方法并不僅僅告訴我們系統某個微觀狀態的玻爾茲曼概率，而且可以極大的簡化統計觀測量的求解.該思想并不局限于求解本文中舉例的易辛模型，我們可以將該方法推廣到更復雜的模型來求解更多復雜的宏觀觀測量如壓縮率和結構因子等，說明麥克斯韋-玻爾茲曼方法在統計物理模型中具有廣闊的研究前景.