球面平均值函數及其微分方程的推導

蔡 俊，李 敏，王 群

(江蘇師范大學 物理與電子工程學院，江蘇 徐州 221116)

三維波動初值問題(柯西問題)是數學物理方法課程的重要教學內容[1-8], 該問題的求解為物理學后續課程中討論電磁波的輻射[9]等問題提供了數學基礎. 數學物理方法教材中，該定解問題常見的求解方法包括球面平均法[1-5]、傅里葉變換法[6]、一維-三維類比法[7，8]等. 泊松最早提出利用球面平均法求解該問題. 求解過程中, 將三維問題巧妙“降維”為一維問題來求解, 體現了高超的數學思想與求解技巧.

在求解三維波動初值問題前, 教材已經對一維無界與半無界波動初值問題進行了討論, 這為三維問題的求解提供了借鑒. 然而在三維問題討論中, 維度的增加導致問題復雜性陡增, 學生往往不易領會球面平均法的求解要領. 深入理解球面平均法, 有利于突破高維坐標系下求解數學物理方程的學習障礙.

教學過程中, 我們發現對球面平均值函數定義的闡釋, 以及對平均值函數滿足的微分方程的推導, 是理解球面平均法的關鍵. 本文討論球面平均值的定義, 闡明球面平均值對多個變量的依賴關系, 并在教材常見推導方法基礎上, 提出一種更簡潔的推導方法. 通過本文的討論, 可以澄清球面平均值函數的定義, 為理解球面平均法以及球坐標系下數學物理方程的其他討論提供參考.

1 球面平均值的定義

三維波動方程初值問題表示為

(1)

這里u(x,y,z,t)表示空間坐標為(x,y,z)的M點在t時刻相對平衡位置的波動位移；φ(x,y,z)和ψ(x,y,z)分別為初始時刻的波動位移和波動速度的大小.在球對稱情形, 三維問題可以簡化為一維半無界波動問題[4].一般性的三維波動初值問題沒有球對稱性.受波的傳播具有球對稱性的啟示, 泊松引入球面平均值來處理該問題[5].球面平均值定義為

(2)

圖1 球面示意圖

以M點為坐標原點, 建立球坐標系M-rθφ, 易知

(3)

球面上面積元dS=r2sinθdθdφ=r2dω, 這里dω為立體角元, 也即單位球面上的面積元.代入式(2)后, 球面平均值的定義也可寫成

(4)

(5)

(6)

對直角坐標的運算也可以類似給出

(7)

2 建立球面平均值方程的新方法

(8)

等式的左邊, 交換對空間坐標積分與對時間偏導的運算順序, 并代入球面平均值的定義, 得到

(9)

在等式的右邊, 為了代入球面平均值的定義, 需要應用高斯定理, 經整理后可得(具體過程參考教材[1,2])

(10)

左右聯立, 得到

(11)

因上式左邊仍包含對參量r1的積分, 為此將等式兩邊同時對r求導, 再移項得

(12)

上式右邊對球面平均值的運算, 即為球坐標系下拉普拉斯算符中對徑向坐標r的運算算符.可見球面平均值滿足球對稱情形球坐標系下的三維波動方程.為進一步化簡, 對坐標r的運算可改寫成

(13)

整理后得到球面平均值滿足的一維波動方程:

(14)

(15)

在上式左邊, 交換運算順序, 并代入球面平均值的

定義, 得到

(16)

在式(15)的右邊, 包含對Δu的球面積分運算.拉普拉斯算符為求導運算算符, 考慮到求導運算是局域運算[10], 與坐標原點位置的選取無關, 因此可將Δu在M為坐標原點的坐標系進行運算而不影響計算結果.此外, 考慮到積分在球面上進行, 顯然應用球坐標系較為方便, 因此我們將式(15)右邊在球坐標系M-rθφ中表示出來

(17)

上式右邊的被積函數中, 包含u對r,θ,φ三個坐標分別進行的偏導運算.對被積函數的這三項分別積分, 計算如下

(18)

(19)

(20)

(21)

聯立式(16)與(21), 也得到球面平均值滿足的式(14).

以上推導中, 在球坐標系下將拉普拉斯算符代入, 對Δu的球面積分進行了直接計算.由于避免了對徑向坐標r進行重復性的積分與求導運算, 因此比教材中的推導更加簡潔.此外, 該推導過程有利于學生熟悉球坐標系下拉普拉斯算符的運算以及球坐標系下函數的自然周期性, 為后續學習球坐標系下數學物理方程的分離變量埋下伏筆.

3 總結

本文討論了球面平均值函數的定義, 闡明了該函數對球心M點的位置坐標(x,y,z)、球面半徑r、時間變量t等5個自變量的依賴關系.為建立球面平均值滿足的方程, 本文梳理了教材中的推導, 在此基礎上提出在球坐標系直接完成球面積分, 從而更簡潔地建立球面平均值滿足的方程.本文的討論有利于理解球面平均法求解三維波動初值問題的數學思想和求解過程, 并為球坐標系下數學物理方程的其他討論提供參考.