數(shù)值法研究光的圓孔衍射實驗現(xiàn)象

曹冬梅，曾祥梅

(1. 延安大學(xué) 物電學(xué)院，陜西 延安 716000；2. 西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

光既是粒子又是波，表征光波動屬性的現(xiàn)象有光的干涉、衍射和偏振. 相對于光的干涉理論，光的衍射理論更為復(fù)雜，在理論教學(xué)的過程中，大部分學(xué)生感覺比較抽象而難以理解，采用MATLAB數(shù)值仿真光的圓孔衍射現(xiàn)象可以指導(dǎo)教學(xué). 由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，因而討論圓孔衍射現(xiàn)象對光學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實際意義. 而目前關(guān)于光的圓孔衍射問題的教學(xué)研究大多局限于圓孔衍射的橫向光場討論[1-3]，對平行平面光經(jīng)圓孔衍射的縱向光強、遠場光束的定量研究相對較少. 本文從菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式[4]出發(fā)，在單色平面波近似下，對該公式進行了數(shù)值求解，討論了光波通過圓孔衍射后的橫向、縱向光強和遠場光束分布特點. 將光的衍射現(xiàn)象直觀化，可以加深學(xué)生對光的衍射理論和現(xiàn)象的全面理解.

1 光的圓孔衍射理論

圖1所示為平行平面光波通過圓孔衍射的示意圖.圓孔所在平面處z=0，接收屏置于z處，光沿著z軸正方向入射，假設(shè)l為光源到小孔中Q點的距離，r表示圓孔中的源點Q到場點P的距離.當圓孔的線度∑滿足λ<Σ

(1)

式中θ為點Q到點P的連線與z軸的夾角.在菲涅耳—基爾霍夫衍射積分公式的適用范圍內(nèi)，討論光在真空中傳播時的光強分布.

圖1 光的圓孔衍射示意圖

2 數(shù)值仿真結(jié)果及理論分析

2.1 軸上點光強分布與菲涅耳數(shù)

平行平面光垂直入射，取波長λ=632.8 nm，分析z軸上點的光強分布.首先保持圓孔半徑不變，計算軸上點的光強分布.
圖2為圓孔半徑ρ=1 mm時，z軸上點的光強分布隨距離z的變化關(guān)系，縱坐標光強度單位為W/cm2，下文同.當0.1 m1.6 m時，光強逐漸減小，不再出現(xiàn)振蕩的情形，即軸上點光強的大小與考察點到圓孔距離z有關(guān).其次，當改變圓孔半徑時，計算軸上某一特定點的光強分布與圓孔半徑大小的變化關(guān)系.從圖3可見，當圓孔半徑從1 mm開始逐漸增大時，z=10 m處軸上點光強呈現(xiàn)振蕩變化的現(xiàn)象，即軸上點光強的大小除了與考察點到圓孔距離z有關(guān)外，還與圓孔半徑大小有關(guān).根據(jù)菲涅耳波帶數(shù)定義N≈ρ2/(λz)，菲涅耳波帶數(shù)N的數(shù)值與考察點到圓孔距離z成反比，與圓孔半徑ρ平方的大小成正比，無論是距離z的變化，還是圓孔半徑ρ的變化，都將引起菲涅耳波帶數(shù)N的數(shù)值的變化，軸上點光強度的變化實質(zhì)上取決于圓孔對軸上點露出的菲涅耳波帶數(shù).

圖2中，0.1 m1.6 m區(qū)域.即軸上點光強度連續(xù)減小的區(qū)域?qū)?yīng)的菲涅耳數(shù)在較小范圍內(nèi)單調(diào)減小，該區(qū)域為夫瑯禾費衍射區(qū)(遠場)；菲涅耳數(shù)大于等于1時，為菲涅耳衍射區(qū)(近場)； 當菲涅耳數(shù)大于某一較大的閾值時(對應(yīng)大的圓孔半徑ρ或小的軸上點的距離z)，菲涅耳數(shù)的增大將不再影響軸上點的光強分布，此時對應(yīng)光的直線傳播現(xiàn)象.

圖2 軸上點光強分布

圖3 軸上點光強隨圓孔半徑大小的變化

圖4 軸上點光強隨菲涅耳數(shù)的變化

2.2 橫向光強分布

在菲涅耳衍射區(qū)，取不同的菲涅耳數(shù)N，利用MATLAB計算平面光波通過圓孔衍射的橫向光強分布，見圖5.
圖5(a)為菲涅耳數(shù)N取偶數(shù)時的橫向光強分布圖，從圖中可以看出，中心點的光強為零；圖5(b)為菲涅耳數(shù)N取奇數(shù)時的橫向光強分布圖，中心點的光強達到最大值.且隨著菲涅耳數(shù)的增大，外圍明紋的亮度在增強，光強的空間調(diào)制越顯著，衍射效應(yīng)越來越明顯.

(a)菲涅耳數(shù)N取偶數(shù)

(b)菲涅耳數(shù)N取奇數(shù)

(c)菲涅耳數(shù)N<1圖5 圓孔衍射的橫向光強分布

圖6 遠場衍射區(qū)橫向光強分布

當菲涅耳數(shù)N<1時，隨著N值的減小，平行平面光經(jīng)圓孔衍射后，橫向光強分布圖不再變化，即演化成中心光強為最大值、兩邊光強逐漸減小的光束.如圖5(c)所示的夫瑯禾費衍射圖樣，中央部分為艾里斑，隨著菲涅耳數(shù)的減小，艾里斑半徑在逐漸增大.仔細分析中央艾里斑內(nèi)的光強度分布和高斯線型非常類似，圖6中給出了兩種線型的對比，圖中實線為光強的橫向分布圖，虛線為模擬的高斯型分布，在遠場夫瑯禾費衍射區(qū)橫向光強的實際分布與高斯型的分布非常接近.

2.3 遠場光束的演化

圖7為艾里斑半徑隨z變化的關(guān)系曲線，圖中實線部分為衍射遠場區(qū)域內(nèi)仿真所得的光斑半徑值，虛線部分為對光斑半徑線性擬合的結(jié)果.從圖中可以看出：在仿真區(qū)域內(nèi)的光斑半徑ω(z)近似為線性的，而高斯光束中定義光斑半徑：

(2)

其中ω0為高斯光束的束腰半徑，在遠場z>>z0時，ω(z)≈zλ/ω0，此時光斑半徑與距離z成正比，與圖7結(jié)論完全吻合.進一步分析發(fā)現(xiàn)，線性擬合曲線在z=0時近似為0，即在遠場形成“高斯光束”的束腰在z=0處，即衍射圓孔處.

圖7 光斑半徑隨傳輸距離z的變化

選擇當傳輸距離z=15 m時的光強分布為基準，通過仿真計算此時光束的光斑半徑為3.838 mm，對應(yīng)的發(fā)散角為

(3)

則遠場形成的高斯光束所對應(yīng)的束腰半徑ω0≈0.8 mm左右.若將ω0≈0.8 mm代入ω(z)的表達式可得ω(z=15 m)=3.86 mm，與仿真結(jié)果非常接近.即平行平面光束經(jīng)半徑為1 mm的圓孔衍射后，在遠場演化成束腰在圓孔、束腰半徑約為0.8 mm、遠場發(fā)散角約為0.51 mrad的高斯型光束.這個過程與平行平面光在具有軸對稱特點的對稱共焦腔中演化為高斯光束的過程完全類似，此時的圓孔作用類似于共焦腔中的小鏡子，在空氣中自由演化的過程類似于共焦腔內(nèi)自由行進的過程.

3 圓孔衍射實驗分析

如圖8所示為一組圓孔衍射圖樣[7]，圓孔直徑從最上端左側(cè)開始向右連續(xù)增大，一直增大到最后一行的最右端，對應(yīng)圓孔直徑從1 mm增大為4 mm，衍射圖樣是在距衍射屏1 m的位置處拍攝的結(jié)果.

首先分析徑向光強分布.除最高一行衍射圖樣外，第二行開始從左向右隨著圓孔半徑的增大，衍射圖樣中心位置時而為亮點，時而為暗點，呈現(xiàn)出一定的周期性變化現(xiàn)象.與仿真結(jié)果圖3類似，在保持接收屏位置保持不變時，軸上點光強分布隨圓孔半徑的增加呈現(xiàn)出一定的周期性變化現(xiàn)象，當菲涅耳數(shù)為奇數(shù)時中心點為亮點，當菲涅耳數(shù)為偶數(shù)時中心點為暗點.類似的結(jié)論在文獻[8]的實驗中也得到了驗證.對最高一行衍射圖樣，中心一直為亮點，此時圓孔孔徑相對較小，接收屏處于1 m位置時孔面只露出中心帶的一小部分，所以隨著圓孔增大，露出的中心帶面積也相應(yīng)增加，亮度逐漸增強.其次，分析橫向光強分布.從上到下，衍射圖樣“可見”分布范圍隨著菲涅爾數(shù)的增大而增大，當菲涅爾數(shù)較大時，光強的空間調(diào)制越顯著，與仿真結(jié)果圖5(a)與圖5(b)結(jié)論相吻合.

圖8 隨孔徑增大的圓孔衍射圖樣

對遠場衍射光斑分析時，采用如圖9所示實驗光路，首先對激光束進行擴束，擴束后的平行光垂直入射到半徑為0.65 mm的圓孔進行衍射，接受屏置于遠場的不同位置z，最后用SunTime300C型號的CCD對接受屏上的衍射光斑進行拍攝，前面加裝了同品牌鏡頭SunTimeST0612H，相機有效像素為2048 H*1536 V.
圖10顯示的是在遠場條件下接受屏上的光斑分布規(guī)律，從圖可見中心光強分布基本符合高斯型分布，且隨著傳輸距離的增大，光斑的尺寸也逐漸增大，與圖7所得結(jié)論一致. 受拍攝技術(shù)的限制外側(cè)圓環(huán)幾乎沒有呈現(xiàn)出來.

圖9 遠場拍攝實驗裝置示意圖

圖10 遠場衍射圖樣

4 結(jié)束語

利用MATLAB 對菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式進行仿真，實現(xiàn)了平行平面光波通過圓孔后衍射光場的可視化，可以非常直觀的看出衍射的模擬結(jié)果. 通過在不同條件下的衍射光強的模擬發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果與實驗觀察和理論結(jié)果非常吻合. 當菲涅耳數(shù)小于1時，平行平面光波通過圓孔衍射，在遠場就會形成高斯型的光強分布，與平行平面光在具有軸對稱特點的對稱共焦腔中演化為高斯型的分布具有類似的過程. 將計算機仿真技術(shù)運用到物理光學(xué)的教學(xué)和實驗中，可幫助學(xué)生加深對物理現(xiàn)象的理解，拓寬學(xué)生的視野，實現(xiàn)了大學(xué)物理系列課程教學(xué)和實驗手段的現(xiàn)代化.