物點經多層平行介質界面折射成像的疊加法則及應用分析

邵 云

(南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171)

通常的光學教材中較少介紹物點經平面界面折射成像的問題[1,2]，也鮮有文章詳細研究該問題，但這恰恰又是一個十分基礎而又難以回避的問題，人們在日常生活與日常教學中經常遇到．本文將在筆者既往研究[3,4]的基礎上，采用較簡潔的思路，推導出所謂的“物點經多層平行介質界面折射成像的疊加法則”，并將其應用于生活中兩個典型實例的分析及一個個案的研究，獲得了一些有意義的結論，希望借此能為讀者提供一些認識與參考．

1 物點P經平行介質界面的二次折射成像

如圖1所示，有3層平行介質，折射率分別為n1、n2、n3；設一物點P從介質1中h深度處發出一細束光線，它對厚度為b的介質2的入射角為i，折射角為j，它在介質3中的出射角為k，則根據折射定律有

n1sini=n2sinj=n3sink

(1)

不難看出，介質3中的出射光線l在圖1直角坐標系中的直線方程為

y=cotk(x-htani-btanj)

(2)

圖1 物點P經平行介質界面的二次折射成像示意圖

與此同時，按照圖1中的成像規則，設光線角度作相應的微小變化：i→i+Δi、j→j+Δj、k→k+Δk，則得圖1中的出射光線m，其直線方程為

y=cot(k+Δk)[x-htan (i+Δi)-btan (j+Δj)]

(3)

聯立式(2)、(3)可求得圖1中像點P′的x坐標為

xP′=

鑒于成像要求Δi、Δj、Δk皆→0，且i、j、k相互關聯，因此有

(4)

同理, 解得像點P′的y坐標為

(5)

由式(1)結合三角函數知識可得

(6)

(7)

將式(6)、(7)代入式(4)、(5)，計算整理便得

(8)

(9)

當出射角k=0或k→0時，式(8)、(9)可分別簡化為

xP′=0

2 物點經多層平行介質界面折射成像的疊加法則

其實，若令式(8)、(9)中的b=0，則得物點P經單個界面的折射成像位置坐標

這與文獻[3,6]中的結論是一致的．可見，式(8)、(9)描述的實際上是兩個單界面成像結果的疊加，即介質1中h深度處的物點直接在介質3中成像，疊加上介質2中b深度處的物點同樣直接在介質3中成像，并且這兩個成像的出射角即視角相同，同為k．顯然，這是一個有意義的結論．回顧上一節的求解過程即可看出，若圖1中再增加幾層介質，所得像點P′的坐標將與式(8)、(9)類似——呈現累加的形式．我們可以把這里的這種成像結果的疊加性質權且稱為“物點經多層平行介質界面折射成像的疊加法則”，其形式為

(10)

(11)

其中N為介質層數，bα為諸平行介質層的厚度，b1=h，x軸仍處在最頂層介質(nN)的底部．

參見圖1，若平行介質中包含折射率連續變化的部分，且最頂層介質為空氣，則式(10)、(11)可改寫成如下更一般的積分形式

(12)

(13)

其中B為介質的總厚度，折射率n為坐標y的函數，有n=n(y)．

3 式(8)、(9)的幾種特殊情形討論

若圖1中介質1、2、3分別為水、玻璃、空氣，則式(8)、(9)改寫為

(14)

(15)

此時若令b→0，則式(14)、(15)退化為

(16)

(17)

此即文獻[3]中水下物點的虛像位置坐標．同理，若令式(14)和式(15)中的h→0，則式(14)、(15)退化為

(18)

(19)

這顯然是玻璃中b深度處的物點(即圖1中的Q點)經玻璃-空氣界面折射成像的虛像位置坐標．式(16)、(17)與式(18)、(19)形式相同，描述的都是物點經平面界面一次折射成像的結果．

若圖1中介質1、2、3分別為空氣、玻璃、空氣，則式(8)、(9)可簡化為

(20)

(21)

此即空氣中的物點P經玻璃磚前后表面二次折射成像的像點位置坐標．對比式(18)、(19)與式(20)、(21)可見，此時P的像點位置，在相同的視角k下，就相當于Q的像點位置“下移”了h距離．

4 游泳池中泳者“身首分離”折射現象解釋

在一個偶然的機會，筆者看到一泳者在游泳池中游泳的短視頻，如圖2所示，視頻中該泳者在水面上的人臉實物與水面下的身體虛像之間竟然出現如此大的“分離”，著實令人驚訝．

嚴格講，這里是光線經水-玻璃-空氣的二次折射成像現象，但是由于游泳池的玻璃壁相對很薄，即圖1中b<

從圖3可見，在同一視角k下，觀察者越遠，物、像在x方向上的視覺分離就越大；與此同時，數值計算又表明，當觀察者的距離一定時，視角k越大，物、像在x方向上的視覺分離也越大．至此，圖2中泳者的“身首分離”現象得到了充分解釋．

圖2 游泳池中泳者“身首分離”的折射現象

圖3 人眼看到的水上物點(臉)和水下像點(身)位置

5 空氣中物點經方玻璃磚二次折射成像的特點分析

空氣中的物點P經方玻璃磚二次折射成像P′的位置坐標如式(20)、(21)所示．若設h=3 cm、b=4 cm，則根據式(20)、(21)可作出像點P′隨視角k的位置變化軌跡，如圖4所示．如上文所言，P′的位置就相當于Q點在相同視角下的像點位置下移了h距離．鑒于玻璃磚上下方皆空氣，從上文中的“物點經多層平行介質界面折射成像的疊加法則”很容易得出該結論．這便是空氣中玻璃磚等平行介質成像的基本特征．

圖4 空氣中物點P經方玻璃磚二次折射成像點P′隨視角k的變化

由此可見，當人眼在同一視角下透過玻璃磚觀察時，無論物點遠近，物點和像點的相對位置總是統一而固定的，它們相對靜止，也將同步移動．當人眼從遠處同一位置透過玻璃磚觀察，或者人眼在近處觀察玻璃磚對面遠處的物體時，只要物體的尺度不大，人眼的視角均可視作統一，結合圖4中x方向上的平移對稱性便知：此時物體的三維虛像將與物體的形狀近似“全等”，幾無畸變，并且與物體同步移動．當然，隨著物體的持續移動，視角的逐漸變化，像與物之間的相對位置也將發生變化．

當人眼在近處透過一較厚的玻璃磚觀察對面近處一較大的物體時，由于物體上各物點視角的不同，參見圖4，因此其虛像的大小、形狀、方位相對于實物均可能產生一定的畸變．不過這種畸變實際上并不大，比透鏡產生的畸變要小得多．現在桌面紙上畫一個圓，上面放置一塊10 cm厚的玻璃磚，并將該玻璃磚分別向操作者傾斜30°、45°、60°，而操作者則手持手機從側面也分別以30°、45°、60°的視角進行拍攝，則獲得圖5中的三張照片，其中密切的虛線橢圓系筆者后期補上．由圖5可見，照片中橢圓(即視覺中的圓)的畸變并不大，但與玻璃磚的傾角及拍攝視角正相關，傾斜越大，畸變越顯著．

此外，倘若玻璃磚很薄即b→0，則由式(20)、(21)分別得xP′→0、yP′→-h．這就意味著玻璃磚可被忽略，此時無論視角大小、距離遠近，像點與物點總基本重合，虛像與物體也基本重合，且兩者完全同步移動．這便是人們通常使用薄玻璃窗戶的光學依據．

另外，從圖4中可以看到，雖然視角k可以趨于90°，即假設玻璃磚無限長，兩個折射點均在x軸方向上無窮遠處，并且人眼也是在∞遠處觀察，但是像點卻在圖中k=90°的像點位置處，頗為有趣！筆者還發現一個有趣的現象：當隔著玻璃磚去斜俯視一支橫著的鉛筆時，人眼會覺得鉛筆的虛像部分在實物的正上方或遠上方，如圖6，而未必如圖4中那樣在近處上方．顯然，這是視角和人眼對遠近的不敏感所帶來的錯覺，正如圖2中那樣．

圖5 玻璃磚向內傾角與近側拍視角一致時拍得的玻璃磚對面的圓

圖6 俯拍10 cm厚玻璃磚對面的鉛筆

6 空氣中的物點經折射率線性變化介質的折射成像

如圖7所示，設物點P到介質下表面的垂直距離為h，介質的厚度為b，介質的折射率為n=n0-αy(此處α為比例常量)，故而介質上、下表面的折射率分別為n0、n0+αb．顯然，此介質中的折射光線是曲線，當α>0時，越接近介質的上表面，折射光線越平緩．

圖7 空氣中點P經折射率線性變化介質的折射成像示意圖

根據式(12)、(13)并結合圖7可得像點P′的坐標為

(22)

(23)

經積分得

(24)

(25)

其中n上、n下分別為圖7中介質上、下表面的折射率n0和n0+αb．

若令h=0，b=1 m，n0=1.3，α=0.2 m-1，則有n上=1.3，n下=1.5．將這些數據代入式(24)、(25)，則得當物點P處在介質底部(圖7中Q點)時，從介質上方的空氣中所觀察到的虛像點位置坐標xP′、yP′，進而可作出此虛像點隨視角k的變化軌跡，如圖8所示．圖8中一同繪出在n=1.3,1.5的均勻介質中的像點軌跡作為參照．由圖8可見，這里折射率按n=1.3-0.2y線性變化的介質中的像點軌跡，正如預期，被夾在n=1.3,1.5兩均勻介質中的像點軌跡之間，參見式(10)～(13)．圖9給出n=1.3-0.2y與n=1.4兩種介質中的像點軌跡對比圖，表1為其具體數據．從表1可見，除了在k=80°～90°大視角時兩者像點的x坐標存在近1 cm的差距外，其他像點坐標之間的差距均很小，在視覺上幾乎可以被忽略(見圖9)．這就是說，除了在k=80°～90°的大視角情形下略有差別外，n=1.3-0.2y與n=1.4這兩種介質在空氣中對物點P的折射成像幾乎等價！這一點確實有點出乎意料，卻又似在預料之中！事實上，即使是n上=1.2、n下=2如此大折射率跨距的線性變化介質(n=1.2-0.8y)，它在空氣中對物點P的折射成像，與具有平均折射率n=1.6的均勻介質相比，除了k=80°～90°的大視角情形外，像點位置也相當接近，見圖10．

圖8 物點P分別經n =1.3、1.3-0.2y、1.5三種介質折射成像的像點位置隨視角k的變化軌跡

圖9 物點P分別經n =1.3-0.2y、1.4兩種介質折射成像的像點位置隨視角k的變化軌跡

表1 物點P分別經n =1.3-0.2y, 1.4兩種介質折射成像的像點坐標及彼此差距

圖10 物點P分別經4種介質折射成像的像點位置隨視角k的變化軌跡

需要指出的是，若僅僅將圖7中的介質上下顛倒，變成折射率自下而上線性遞增的介質，那么從上文式(12)、(13)及式(22)、(23)易見，它對于空氣中物點P的折射成像位置(坐標)，在相同的視角k下將保持不變！于是可知，相應的像點位置隨視角k的變化軌跡也將與圖8—圖10等完全一致．推而廣之，不難發現，若前后顛倒任何折射率按層(均勻或不均勻)變化的介質，其外物點P的折射成像位置，在相同的視角下，也總是不變的！不難看出，這些性質實際上是本文“疊加法則”的必然結果！

7 總結與鳴謝

在本文第1、2節中，筆者基于既往的研究心得，選擇了一種較為簡便、自然的推理方法，推導出所謂的“物點經多層平行介質界面折射成像的疊加法則”．從理論上講，該方法同樣也適用于其它非平行介質平面界面的折射成像推導．筆者以為，該“法則”是一個十分有意義的結論，使用方便．本文運用該“法則”不僅解釋了游泳池中泳女的“身首分離”現象和方玻璃磚的成像特點，而且還計算出空氣中物點經折射率線性變化介質的折射成像位置，即式(24)、(25)．通過作圖，筆者發現，除了在k=80°～90°的大視角情形外，n=1.3-0.2y與n=1.4的這兩種1 m厚介質，對于空氣中物點P的折射成像幾乎完全一致；此外，即使是1 m厚n=1.2-0.8y的這種大折射率跨距的線性介質，它對空氣中物點P的折射成像位置，也與具有平均折射率n=1.6的均勻介質相當接近．當然，如果保持線性介質上、下表面的折射率n上、n下不變而減小介質的厚度b(即增大α)，那么由式(20)、(21)、(24)、(25)可知，圖8—圖10中諸像點的坐標將同步減小，即上述像點的位置將更加接近！

本文中“疊加法則”的一個必然的結果便是，若前后顛倒任何折射率按層(均勻或不均勻)變化的介質，這對于介質外物點P的折射成像結果，實際上別無二致！

致謝：本文近1/3的篇幅是在審稿老師及主編老師的敦促、啟發下得以完成和完善的，獲得很多新的發現．在此向兩位老師表示由衷的感謝！同時向《大學物理》雜志嚴謹、認真的工作作風致以敬意！