圓錐曲線平行弦的一組新性質探源

蔣道波 (安徽省蚌埠第二中學 233000)

藍賢光老師在文[1]提出了圓錐曲線平行弦的一組新性質，筆者經過仔細思考，發現這一組性質本源實際上是圓錐曲線直徑的性質．圓錐曲線的直徑，就是無窮遠點關于圓錐曲線的有窮遠極線，關于圓錐曲線的直徑，我們有如下定理：[2]

定理 直徑是圓錐曲線的一組平行弦中點的軌跡．

下面給出藍賢光老師所提的性質1和性質2的一個新的幾何證明，證明的過程其實也是解釋筆者所做出的判斷的過程.首先觀察文[1]的性質1：

性質1如圖1，設OP是以點O為頂點的拋物線的頂點弦，弦MN與OP平行，且直線MN交拋物線C的對稱軸于點T(異于點O)，則 |TM-TN|=OP(當點T為弦MN的內分點時)或|TM+TN|=OP(當點T為弦MN的外分點時)．

圖1

證明設U為MN的中點，V為OP的中點，根據直徑的性質，結合拋物線與無窮遠直線相切，可得直線UV與直線OT平行．

(1)當點T為弦MN的內分點時，|TM-TN|=2TU，且OP=2OV，結合平行四邊形OTUV的性質，TU=OV，所以|TM-TN|=OP．

(2)當點T為弦MN的外分點時，|TM+TN|=2TU，且OP=2OV，結合平行四邊形OTUV的性質，TU=OV，所以|TM+TN|=OP．

接下來，對文[2]所提出的性質2進行解釋．

圖2

證明設U為MN的中點，V為OP的中點，根據直徑的性質，直線UV經過橢圓的中心O．

至于文[1]提出的性質3：

讀者可以仿照筆者關于性質1和性質2所給出的解釋完成論證，本文不再贅述．

通過上面的證明過程可以發現，文[1]的圓錐曲線平行弦的一組新性質的源頭確為圓錐曲線直徑的性質.