一道蘇州中考數(shù)學(xué)壓軸題的分析與思考

柳月明 (江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆實驗中學(xué) 215100)

2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)壓軸題(第28題，滿分10分)是一道動態(tài)型綜合題，涉及的圖形有三角形、四邊形、圓，涉及的知識點有相似、全等、二次函數(shù)、勾股定理等，涉及的方法有面積割補、函數(shù)建模、以靜制動等．此題源于課本的習(xí)題，又加入圓進行了變化創(chuàng)新，讓學(xué)生覺得似曾相識，同時又有變化和深化，可見命題者獨具匠心，是一道受到師生普遍稱贊的好題．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA=8 cm．動點P從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發(fā)，也以1 cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動．連結(jié)PQ，交OT于點B．經(jīng)過O,P,Q三點作圓，交OT于點C，連結(jié)PC,QC．設(shè)運動時間為ts，其中0

圖1

(1)求OP+OQ的值．

(2)是否存在實數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

(3)求四邊形OPCQ的面積．

2 似曾相識，意料之中

通過和課本中習(xí)題的對比，發(fā)現(xiàn)此中考題主要是由課本習(xí)題改編而來．

2.1 題目來自于課本

如圖2，如果去掉圓的部分，就能發(fā)現(xiàn)該題來源于課本的三個地方：

圖2

蘇科版七下《證明》一章中的實驗：畫∠AOB=90°并畫∠AOB的平分線OC．(1)把三角尺的直角頂點P落在OC的任意一點上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA,OB垂直，垂足分別為E,F(圖3)．度量PE,PF的長度，這兩條線段相等嗎？(2)把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交OA,OB于點E,F(圖4)，PE,PF相等嗎？

圖3 圖4 圖5

蘇科版八上第二章“2.4線段、角的軸對稱”中的習(xí)題2.4第11題：七年級通過實驗可以得到PE=PF的結(jié)論，現(xiàn)在請你證明這個結(jié)論．

蘇科版八上第二章“2.5等腰三角形的軸對稱”中的習(xí)題2.5第12題：如圖5，在△ABC中，

∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上，且AE=CF．求證：DE⊥DF．可以發(fā)現(xiàn)，圖2與上述教材中的圖3—5基本類似．

2.2 方法來自于平常

第(1)問，連結(jié)AC，通過證明△CQO≌△CPA即可得OP+OQ=OA=8 cm．而三角形全等是證明線段相等并將線段進行轉(zhuǎn)化的常規(guī)方法．

第(2)問，用含t的代數(shù)式表示OB，建立二次函數(shù)的模型，用二次函數(shù)的最值來求解．這也是一種常規(guī)的方法．

第(3)問，方法一，把四邊形分割成兩個三角形△OPQ,△CPQ，即可求解．方法二，由△CQO≌△CPA，把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形△CAO．這些轉(zhuǎn)化方法是常用的求面積的方法．

2.3 變化來自于課標

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力和模型思想．本題第(1)題就是考查學(xué)生的幾何直觀能力，根據(jù)圖形和已知條件直觀發(fā)現(xiàn)OP+OQ的長度是一個定值．本題的第(3)題也是考查學(xué)生的幾何直觀能力，通過分割發(fā)現(xiàn)四邊形的面積是個定值．本題第(2)題通過構(gòu)造二次函數(shù)模型，解決變化中的最值問題．

3 精彩在改變中

研究此中考題，發(fā)現(xiàn)命題者經(jīng)過思考進行了適當?shù)淖兓饕怀瞿芰Φ目疾椋?/p>

改變1 變旋轉(zhuǎn)為動點．把三角尺的旋轉(zhuǎn)改為兩條邊上各有一個動點，通過適當?shù)淖兓瑏砜疾閷W(xué)生的應(yīng)變能力．

改變2 改直接證明線段相等為求OP+OQ的值．在問題設(shè)問上進行了變化，加深了難度，進一步考查學(xué)生的應(yīng)變能力．

改變3 加入圓．這是本題的一大亮點．加入圓后，圖形變得復(fù)雜了，圓中的知識可以綜合利用起來，更能考驗學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．

改變4 加入二次函數(shù)．二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點，也是難點，需要學(xué)生有較強的思考能力.在這里的變化中加入二次函數(shù)，可謂合理恰當，增加一定難度，從而考查學(xué)生深入思考的能力．

4 中考復(fù)習(xí)建議

對該中考綜合題的研究分析啟示我們：在應(yīng)對中考復(fù)習(xí)時除了要注重基礎(chǔ)知識、基本圖形、基本方法，還要在此基礎(chǔ)之上進行適當?shù)淖兓拍荞{馭中考中的較難題．

4.1 以教材為本

既然題目來自于課本，就要立足課本．一是把課本上的題目弄清楚、想明白．弄清楚題目的條件和結(jié)論，想明白解題的方法和解題時涉及的數(shù)學(xué)知識點，熟悉題目的圖形和圖形所隱含的信息．

4.2 以常規(guī)方法為要

數(shù)學(xué)方法有很多，但要注重常規(guī)方法的訓(xùn)練和掌握，比如分析與綜合、化歸、建模、分類討論、數(shù)形結(jié)合等．在平時的教學(xué)中要突出方法，在解題結(jié)束后要注意歸納方法、反思方法，做到真正掌握方法，形成有法可依的解題規(guī)律．

4.3 以深化為策

因為是面對中考，而中考中不會碰到一模一樣的題，尤其是中考的較難題，所以變化是常態(tài)的．但是變化不是憑空發(fā)生的，常常有其背景和原來的模型，而背景或模型基本來源于教材，因此要基于教材進行深化．

·圖形深化

比如從三角形變到四邊形．三角形的中線、角平分線都是最基本的知識，但是三角形的中線倍長之后就能和平行四邊形聯(lián)系起來，這種變換是很巧妙的，也能使問題更加深入．例如，如圖6，△ABC中，AB=4,AC=7，M是BC的中點，AD平分∠BAC，過M作MF∥AD，交AC于點F．求FC的長．

圖6 圖7

如圖7，倍長FM后構(gòu)造了FBEC和AGEF，得FC=BE,AF=GE，F(xiàn)C=AC-AF=7-AF①，BE=BG+EG=BA+EG=4+GE②．聯(lián)立①②解方程組得AF=GE=1.5,FC=5.5．

·條件結(jié)論深化

圖8

把等高三角形的面積比轉(zhuǎn)化到了底之比，利用了等腰三角形知識和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，加大了難度，深化了問題，可以通過這樣的訓(xùn)練提高學(xué)生的解題能力．

·問題深化

圖9

·小題組合

綜合題顧名思義就是由許多元素綜合起來組成的題目，這些元素是基本知識點、基本圖形、基本方法，因此平時注意對一些課本小題目的研究，找到聯(lián)系，有機組合，就可以編成綜合題，訓(xùn)練學(xué)生的綜合運用能力．

圖10

圖11

這兩題有較多共同之處，知識點上都用到三角形相似的判斷及性質(zhì)和三角形面積計算方法．復(fù)習(xí)題21題進一步加入了函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)的最值，難度隨之加大．圖形方面還是在三角形、四邊形上面展開．方法上還是常規(guī)的求面積就作高，復(fù)習(xí)題21題第(3)小題通過二次函數(shù)最值探索大小關(guān)系，是比較新穎的方法．

當我們把這兩道題組合起來看，可以發(fā)現(xiàn)蘇州市2018年中考第27題就來源于這兩題．

(蘇州2018中考27題)如圖12，在△ABC中，AB=4，D是AB上一點(不與A,B重合)，DE∥BC，交AC于點E，連結(jié)CD，設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．

圖12

圖13

此題的第(1)(2)問研究了三角形的面積，涉及到相似三角形的性質(zhì)，與上面的課本習(xí)題非常相像；第(3)問從三角形拓展到四邊形，是對問題的進一步深化，較好地考查了學(xué)生的應(yīng)變能力．

年年中考年年考，中考題目年年變，但變是基于課本、基于課程標準的，所謂百變不離其宗．因此，我們只要立足課標、研透教材，善于在課本原有題目上進行條件的變化、結(jié)論的變化、圖形的變化、方法的變化，就能改編出好的題目供學(xué)生思考訓(xùn)練，從而提高解題能力．