談數學文化試題的創編

張 浩 (北京市朝陽區教育研究中心 100021)

文[1]曾提出：“考試作為指揮棒，應該發揮正面的導向作用．命題人員能不能多一些創意，多出一些有關數學文化的考題呢？”這個問題發人深?。當祵W文化的著作和論文很多，但數學文化如何考查還是一個方興未艾的研究方向．早在2003年，《普通高中數學課程標準(實驗)》中就把“體現數學的文化價值”作為高中數學課程的十項基本理念之一，強調“數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容”．2018年，《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)正式頒布，在高中數學課程結構中明確把數學文化作為貫穿整個課程的重要內容．近年來，數學文化試題在各地高考和模擬考試中逐漸增多，這類試題體現了數學的文化價值，也為中學數學起到了導向作用．

本文通過近幾年北京市朝陽區在區域性考試命題中幾道數學文化試題的命制過程，談談創編數學文化試題的策略，供一線教師和命題人員編制數學文化試題時參考．

1 數學文化與數學文化試題

《課標2017》指出，數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動．從廣義上講，數學文化包括了數學史、數學家、數學教育、數學發展中的人文成分，等等．數學文化是一種理性的文化，影響著人的品格健全和健康心理的養成[2]．《課標2017》在學業水平考試與高考命題建議中指出命題時要融入數學文化．教育部考試中心下發的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》增加了對數學文化的要求，明確提出在高考數學考題中要體現數學文化.這就要求學生主動自覺地學習數學文化知識．

在高考試題中滲透數學文化不僅能展現數學的人文特征，而且能豐富考查內容，進而引導數學教學，讓更多教師關注數學文化，強化立德樹人的育人理念．近年來，高考命題專家也厘清了全國高考命題的基本理念和做法：“數學文化主要考查我們古代優秀數學成果和數學史的內容，通過命題引導學生提高人文素養，傳承民族精神，樹立民族自信心和自豪感．”[2]

2 數學文化試題的素材

文[3]從取材類型對數學文化試題進行了討論，包括取材數學時事、數學游戲、數學名人、數學名著、數學名題、數學猜想、數學圖形、數學符號、數學應用和數學思想方法．文[4]將數學教材中運用數學史的方式分為五種：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式.許多學者和教師也以此為基礎對數學文化試題進行了分類．文[5]對數學名題的數學文化試題編擬方法進行了總結，包括再現數學名題、改變條件或目標、結論或方法遷移．文[2]從滲透數學史、滲透數學美、滲透理性精神的角度對高考數學文化試題進行了分類．

可以看到，數學文化試題的取材十分廣泛，其背景主要包括數學史、數學家及成果、數學名著及名題、數學思想等，因而在命制數學文化試題時，要關注這些蘊含豐富數學文化的素材．此外，數學文化的滲透不僅是數學史的再現，也包含數學應用、數學建模等數學的價值體現，因此，從應用的角度來看，數學文化試題的素材就更加豐富了．

3 數學文化試題的創編

3.1 以數學趣題為背景

例12018年國際象棋奧林匹克團體賽中國男隊、女隊同時奪冠．國際象棋中騎士的移動規則是沿著3×2格或2×3格的對角移動．在歷史上，歐拉、泰勒、哈密爾頓等數學家研究了“騎士巡游”問題：在8×8=64格的黑白相間的國際象棋棋盤上移動騎士，是否可以讓騎士從某方格內出發不重復地走遍棋盤上的每一格？圖1給出了騎士的一種走法，它從圖上標1的方格內出發，依次經過標2,3,4,5,6,…的方格,到達標64的方格內，不重復地走遍棋盤上的每一格，又可從標64的方格內直接走回到標1的方格內．如果騎士的出發點在左下角標50的方格內，按照上述走法，(填“能”或“不能”)走回到標50的方格內．若騎士限制在圖2中的3×4=12格內按規則移動，存在唯一一種給方格標數字的方式，使得騎士從左上角標1的方格內出發，依次不重復地經過2,3,4,5,6,…,到達右下角標12的方格內，分析圖2中A處所標的數應為．

圖1

圖2

評析這道題目為北京市朝陽區2018—2019學年高三上學期期末考試第13題．本題的人文背景是2018年國際象棋中國隊奪冠，依托游戲進行編制，介紹了數學家研究過的趣題．數學史上有很多問題都與游戲有關，本題即為一例．在命制初期本題只有第一空，主要考查數學閱讀能力．經過查閱資料，我們對“騎士巡游”問題的推廣進行了研究．實際上騎士巡游方式有多種解，本題只給出了一種騎士巡游方式，第二空是騎士巡游問題的推廣，考查學生的邏輯推理能力．騎士巡游問題可以推廣到n×m的棋盤中，但并非對任意的n和m都有解，比如可以證明3×3,3×5,3×6格棋盤中不存在騎士巡游方式．

本題為降低難度，在第一列第三行放置了數字3，如果不放置3，思維難度會顯著增大.實際上在命題過程中還考慮過給出四個角的數字(圖3)，此時題目難度大大降低，經過測試發現即使右上角的10不給出仍能得到唯一解(圖4)．因此最后試題的呈現為僅給出三個角的數字．如果題目中未標出12，則還有另一種騎士巡游方式(圖5)．

圖3 圖4 圖5

值得注意的是，在棋盤上，不存在如圖1中給出的從標號12的位置跳回到標號1的位置的騎士巡游方式．

本題還隱藏著一處數學文化，即圖1給出的數表實際上是一個8階“幻方”，每一行每一列的數字之和均為260(但兩條斜對角線數字之和不為260)．這里可以引出一個有趣的數學問題：是否存在一個8階“騎士巡游”幻方，使得每行每列以及兩條對角線的數字之和都相等？這個問題直到2003年8月才被解決，答案是不存在①(1)①http://magictour.free.fr/.．

3.2 以數學時事為背景

例22018年科學家在研究皮膚細胞時發現了一種特殊的凸多面體，稱之為“扭曲棱柱”．對于空間中的凸多面體，數學家歐拉發現了它的頂點數、棱數與面數存在一定的數量關系．根據所給表中所體現的數量關系可得有12個頂點、8個面的扭曲棱柱的棱數是( )．

A．14 B．16 C．18 D．20

凸多面體頂點數棱數面數三棱柱695四棱柱8126五棱錐6106六棱錐7127

評析這道題目為北京市朝陽區2018—2019學年高一下學期期末考試第9題．本題體現的歐拉公式在高考試題中屢有出現．本題依托2018年7月研究人員在《自然》雜志上發表的論文②(2)②Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia,https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1.中出現的scutoid(譯為扭曲棱柱)幾何體，考查學生的數據分析和數學抽象能力．如果考慮底面為n邊形的棱柱，則頂點數為2n，棱數為3n，面數為n+2，可以發現這三個數之間存在2n-3n+(n+2)=2的關系，這是歐拉公式V-E+F=2的特例．本題根據猜想出的這個數量關系判斷扭曲棱柱的棱數．值得注意的是，題目中沒有給出“扭曲棱柱”的圖形，如果給出圖形，則可以容易地進行“數數”.實際上，如圖6所示，這并不是嚴格意義上的“棱柱”．在試卷講評過程中，命題組也為教師提供了本題的背景，并且簡單介紹了郵票上出現的歐拉和歐拉公式(圖7)．

圖6 圖7

3.3 以數學名著為背景

評析本道題目為北京市朝陽區2019—2020學年高二上學期期末考試第15題．本題由人教版新教材A版選擇性必修《數列》一章的課后題改編．《萊因德紙草書》約公元前1650年成書，用象形文字書寫(圖8)，記載了埃及人在生產生活中遇到的實際問題．

圖8

3.4 重視中國傳統文化中的數學元素

例4圭表(圖9)是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺(稱為“圭”)．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖10是一個根據北京的地理位置設計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角(即∠ABC)為26.5°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長)為a，則表高(即AC的長)為( )．

圖9 圖10

評析本道題目為北京市朝陽區2019—2020學年高三二模第8題．本題在編制過程中經過多次討論，最初是一道填空題，以傳統文化“二十四節氣”為情境：我國古代數學巨著《周髀算經》有關于晷景的記錄，通過一種名為圭表的儀器測定日影長度來確定時間，定出日短(白晝最短)這天作為冬至日，為“二十四節氣”的起點，并將到下一個冬至之間的時間段分割為24段．

之后在討論過程中，在給出情境時滲透了成語、古代科技、數學名著等元素：成語有云，“立竿見影”，而立表測影是中國最早的一種較精確的天文測量方法．圭表是中國古代的天文儀器，它除了有一根直立的標桿(稱為“表”)外，還有一根與桿呈南北水平而固定的長尺(稱為“圭”)，表與圭相互垂直，當太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上(圖11)．古人根據太陽影子的變化規律來定節氣和歷法．《周髀算經》里記載的“二十四節氣”就是根據在地上測量日影的長度來確定的．

圖11

配圖的選擇也經過了篩選，擬從圭表實物圖、模型圖、示意圖(圖12)中進行挑選，最終為了與情境文字相結合，選擇了另一幅清晰明了的示意圖．

圖12

最后，為了避免“點綴式”的元素喧賓奪主，僅介紹了與試題內容相關的必要背景．同時，在給出數據時，也廣泛查閱了文獻，如北京的太陽高度角參考了北京天文館古觀象臺王玉民研究員的論文《冬至圭表測影新探》；為了使文字和配圖更符合科學性，我們參考了中國數字科技館的科普資料，配圖(圖9)改編自《百科探秘》中的文章“正方位、定節氣的圭表”①(3)①https://www.cdstm.cn/gallery/media/mkjx/bktmhdsj/201912/t20191202_932588.html.．

圖13

4 數學文化試題的創編策略

一是廣泛查閱文獻，包括數學史論文與專著、數學應用的論文等．主要的權威文獻有李文林的《數學史概論》和Katz的《數學史》等．在選題時，可參考《課標2017》中選修部分涉及的知識和內容．對試題中涉及的數學史知識要反復確認，避免張冠李戴．數學文化背景要與考查的內容之間有較緊密或深層的聯系．數學史背景既可以來自中國古算，也可以選自國外數學史．對于與數學史相關的內容，要尊重歷史，如關于心形線的解釋，有不少作者談到笛卡兒與瑞典公主的浪漫故事，盡管這是浪漫的“軼事”，但實際上這是虛假的歷史．在編制與數學史有關的試題時一定要尊重客觀歷史．

二是征求專家意見．數學文化試題通常文字量較大，涉及不同學科和領域，知識內容比較豐富，除了與文字專家研究遣詞造句與斷句標點外，對于與生活實際有關的知識多與專家和學科教師進行交流．如在編制一道有關玻璃厚度與保溫效果的數學應用類文化試題時，對于物理學單位以及溫差等物理概念，反復請教物理學科專家確認其科學性與準確性．對于情境中與地理、考古、天文等相關的內容，也要多向研究機構的專業人員請教．

三是盡量符合實際．數學的最明顯的特征是其抽象性，然而其應用性也是重要的特征之一．如編制一道與口罩相關的應用型數學文化問題時，盡管數據經過了一定的處理，但根據題目得出的口罩過濾率超過了90%，符合出廠標準，這符合真實情況．

四是加強試題的趣味性、探究性、審美性等．如例1中的“騎士巡游”問題，可以給師生提供繼續探究的背景．大部分數學課堂仍以“課堂講授—記憶理解—小結檢測”為主，缺乏情境的導入和通過活動建構知識的過程，而數學文化以及其中的問題正好可以填補這些缺失，利用數學文化導入課堂教學，通過問題和任務引發學生主動去活動、探究與交流，感受做數學的魅力．

五是挖掘與傳統文化的結合點．“天壇”“節氣”等都可以與數學內容相結合，這需要對問題和背景進行改造，與試題考查內容巧妙融合，避免僅使用“點綴式”．當然，提供一些相關的信息是將學生代入試題情境的必要步驟，可以提高學生進一步學習和研究的興趣．

5 總結與展望

在數學文化試題編制結束之后，還應在試題講評時為教師展示題目中的數學文化背景．要想使得更多教師引導學生關注數學文化，我們更要從教師抓起，在區域性教研活動中介紹與教材、試題相關的數學文化，鼓勵教師查找相關資料，在課堂中介紹給學生，也可以引導學生查閱相關資料，在校內組織數學文化活動(撰寫數學小論文、科普報告)．對于優秀的案例，可以在區域教研活動中展示和分享．

對于數學文化試題的編制，今后還可以在以下幾個方面加強研究和改進：

(1)基于數學史料的解答題較少．如何將數學文化與解答題命制相聯系是下一步可以思考的問題．

(2)數學文化與考查內容深度融合．多數背景停留在比較簡單或古老的數學史、數學著作，對近現代數學與應用的內容考查力度有待加強，如2020年高考中出現了信息論中的概念——熵，這是值得命題人員持續關注的．另外，還可以對古算中的算法進行創造性轉化，如思考楊輝三角和增乘開方法可以如何改造成試題．

(3)打破學科間限制，與體育、美育、勞動教育等相結合．如幾何學的本意是大地測量，天然地與勞動實踐相結合，而幾何學又是優美的，數學完全可以和德智體美勞等相結合，也可以尋找與藝術、詩歌、音樂相結合的命題角度．

總而言之，以數學文化為載體的數學命題要與考查的內容有機結合，可適當介紹數學和科學研究的成果，開拓學生的數學視野，引導學生了解數學的發展歷程，激發學生的學習興趣和好奇心，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，培養學生的科學精神、應用意識和人文素養．