宏觀布局 微觀處理 強化聯系 順學而導
——從變化的角度賞析一堂省級展示課的教學設計

朱宸材 (江蘇省無錫市僑誼實驗中學 214000)

數學變換方法有著深刻的哲學思想基礎.辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發展變化．由于數學變換方法充分體現了聯系、運動、轉化的特點，它對數學教學研究必然是有啟發性的．前不久，江蘇省蘇州市特級教師工作室的領銜人耿恒考老師在鳳凰網數學講壇視頻直播展示了一節“全等三角形復習”的公開課，充分展示了數學的變化之美和變化之魅，給筆者和觀看直播的觀眾留下了深刻的印象．現將這節課的教學設計進行流程回顧和復盤賞析，不當之處敬請指正．

1 教學設計回顧

1.1 知識回顧

問題1請同學們想一想，《全等三角形》一章中，學習了哪些重要知識？

設計意圖讓學生自主回顧本章重要知識點，教師根據學生回答情況進行重點指導，目的在于讓學生鞏固已學知識，同時培養學生進行總結的能力．

問題2如圖1，已知在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，要使△ABC≌△ADC，需要再增加一個條件是.

圖1 圖2

問題3如果將上述條件“AC平分∠BAD”換為“∠B=∠D=90°”，如圖2，則需要增加一個條件，才能使△ABC≌△ADC.

設計意圖問題雖小，但變化多樣．利用兩個簡單的開放題對本章的重點知識“三角形全等的幾種判定方法”進行復習鞏固，先從簡單的變化開始，理解滿足全等的基本條件有哪些，同時考慮如何進行相關的組合易為學生接受，如何進行全等證明方法方面的總結．

1.2 問題探究

如圖3，已知C為線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側作兩個等邊三角形△ACM和△BCN，連結AN，BM．求證：AN=BM．(蘇科版八年級上冊第一章復習題)

圖3

思考：根據本題的條件，你是否還能得出其他結論？

拓展：①如圖4，如果線段AN與BM相交于點O，你能知道∠BON是多少度嗎？

圖4

②若AN與CM,MB與CN分別相交于點D,E，連結DE，你能證明DE∥AB嗎？△CDE是等邊三角形嗎？

③延長線段AM,BN交于點F，判斷四邊形MCNF是什么四邊形.

④如果G,H分別是線段AN,BM的中點，線段CG,CH的長相等嗎？△CGH是等邊三角形嗎?

⑤若連結OC，則OC平分∠AOB，你知道為什么嗎？

變換：①如圖5，如果點C為線段AB外一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，那么線段AN與BM還相等嗎？∠AOB的度數是多少？

圖5

②如圖6，若將其中一個等邊三角形ACM固定，使另一個等邊三角形CBN繞點C任意旋轉一個角度，則線段AN與BM還相等嗎？∠AOB的度數是多少？

圖6 圖7

③若將原題中“等邊三角形ACM和等邊三角形BCN”換成兩個正方形(圖7)，AN與BM的關系如何?若將其中正方形ACMF固定，使另一個正方形繞點C任意旋轉一個角度，如圖8，上述結論還能成立嗎？

圖8 圖9

④若將原題中的“等邊三角形ACM和等邊三角形BCN”換成“以AC，BC為腰，點C為頂點的等腰三角形”(圖9)，AN=BM還成立嗎？為什么？如果要成立，至少要增加一個什么條件？

設計意圖①利用一個課本習題不斷地拓展、步步深入，在推陳出新中使學生的發散思維得到訓練，創新精神得到激發；②通過原題的不斷變形，感受特殊和一般的關系，體會運動型問題中的“動中求靜”思想，學會用類比的方法解決問題；③通過學生自主探究，提升獨立思考和分析問題、解決問題的能力，通過小組合作學習，增強團隊合作學習意識．由此，學生探究復雜問題的能力得到提升，學習經驗不斷豐富．

1.3 感悟總結

請同學們說一說，通過本節課的學習，你有什么收獲和體會？

設計意圖讓學生暢談剛才探討問題過程中的收獲和感受，交流個人見解，同時提出自己還存在的問題和困惑，期待得到其他同學和老師的幫助．

2 復盤與賞析

2.1 變化中體現知識內部聯系

一切事物都是由局部構成的有機整體，局部與整體是密切聯系的．局部與整體的關系反映在認識論上，不僅是辯證統一相互依存的，也有著自然的邏輯鏈和順序性；反映在教學策略上則是抓住問題的主要矛盾，循序漸進、有條不紊地推進主題教學．面對課堂教學，我們常常有這樣的感受：過于注重局部會抓不住重點，而過于強調整體則有可能在細節上產生疏忽或偏差．明代思想家、軍事家王陽明曾說:“知是行之始，行是知之成．”知行合一的教學觀才能夠解決教學中知識的內部聯系問題．基于本課，基本圖形和常見全等證明方法是教學的起點，正所謂萬變不離其宗，找到三對符合條件的等量關系是全等證明的抓手和源頭，讓源頭活水不斷地流淌則體現了變化發展的教學理念，在變化中尋找解決問題的不變思路的方法就是厘清知識內部的邏輯聯系．所謂的內部聯系，即教師根據本課的教學目標，在學生的認知水平和起點能力上搭建橋梁，促成目標達成的過程．

2.2 變化中催生思維自然生長

章復習課不是對整章內容的簡單重復，更重要的價值和意義應當是通過對知識的深入挖掘和再認知，形成知識系統，促進數學思維的發展和數學能力的提升．這就需要教師精選研究的方向，小口徑地選擇研究的切入點，通過連點成線、以點帶面的研究方法來實現統觀全局的最終目的．這也需要教師引領學生通過步步深入的探究，分析解決成體系的問題，通過問題鏈的逐次解決，加深學生對已有知識的理解和建構，形成方法層面上的歸納和凝練，使前后知識融會貫通，不斷拓展學生思維活動的深度和廣度.本節課的問題探究是對常見問題的不斷挖掘和發現過程，問題的解決過程形成的一條知識鏈自然地串起了散落的知識點，而知識鏈又不斷發散，通過新得到的結論進一步解決新的問題，問題解決成為學生思維自然生長的動力.這種“問題解決—具體體驗—探究思考—思維生長”的過程，符合學生的認知規律，體現了數學學習的本質特點．隨著數學活動經驗的不斷積累，學生的數學知識和能力不斷地提升和發展，邏輯推理和數學思維能力在變化中不斷孕育生長.

2.3 變化中提升數學素養和能力

要在數學課堂上落實素養和能力，一個比較好的途徑是通過問題的挖掘不斷地向縱深方向進階，從而使思維得到發展、能力得到提升.對于問題而言，貼近學生是最為重要的．根據學生現有的能力和水平設計適合他們研究的問題，優化教學的路徑，對于學生數學素養的培育是十分有效的.問題2的延伸和拓展就體現了以上的思路，在低起點、小步子、多視角、全方位的設計理念下，以基本全等三角形為載體，以圖形中數量關系和位置關系的證明和推導為主線，以數學思想方法的滲透為導引，讓學生在問題推進中尋找方式方法，在答疑解惑中暴露思維過程，在發現問題和解決問題的過程中體會成功的喜悅，從而真正實現核心能力發展的目的.以主線引領充滿變式的教學過程，是學生的多元思維、發散思維、創新思維不斷完善的過程，也是在思維活動中培養并發展核心能力的過程.在本節課的教學中，執教者最顯著的特點是盡量多地給學生展示解決問題方法的機會，使學生在思考、合作、表達、展示的過程中提高對全等三角形整章內容的理解，自然也能從更高的視角俯視已學知識，生成新的內容和思考．本課的核心之處是發展學生的邏輯推理能力，顯然從特殊到一般的教學安排，及歸納和演繹兩方面的訓練，使學生的“四能”得到有效的鍛煉.“知終才能明始，回望方能明理”，學生在解決問題后的再回顧，讓問題解決的思路更加明晰，反思與建構發揮更大的作用，不知不覺間其數學素養和理性精神被喚醒，最終讓數學學科育人目標的實現成為可能.

3 感悟與收獲

章節復習課不是知識點的簡單累積，它的重要價值是在系統思維指導下，對本單元知識(數學內容結構和數學方法結構等)進行歸納整理，使之條理化、結構化、關聯化、整體化，幫助學生形成本單元的知識鏈條和結構體系.基于以上理念，本課從以下三個方面進行了探索和實踐.

3.1 宏觀布局，微觀處理

課程標準指出，數學教學應滲透數學思想，提高整體認知.教師要關注知識異同方面的內在邏輯聯系，在從宏觀上建構數學體系的同時，在微觀上進行有效實施.于是，作為復習課的一次嘗試，本課的一大特點是注重在整體建構下的微觀實施.問題研究伊始，每一個拓展過程都是一個微操作過程，在保持主問題不變的前提下，加入新條件進行研究，新結論不斷產生，得到的系列結論又成為后面問題的條件，進而再探究、再發現，循環往復.這樣的好處在于，通過精巧細致的騰挪旋轉，問題的研究越來越走向豐富和全面系統，作為研究工具的全等三角形的價值屬性被自然凸顯.微觀處理的一大特點在于細節處的精妙變化，如同一位高超的鋼琴大師，在完整樂譜的指引下，雙手不斷地在琴鍵間跳動飛舞，彈奏出一曲動人的樂章，令人陶醉，引人入勝，發人深省.

3.2 整體視角，強化聯系

數學的整體性并非整章知識點的簡單堆砌．要做到整體視角，首先要對全章的內容了如指掌，知識點間的內部關聯更應當是了然于胸．在整體與部分之間和部分與整體之間，架設起前后關聯的橋梁．橋梁的鋪設既要關注知識點間的前后邏輯聯系，也要關注橫向和縱向的關聯，做到整體視角下的內部緊密關聯．本節課的核心出現在問題探究環節，雖然問題的原型僅有一例，還來自于教材，但問題挖掘過程中的思維含金量和問題串的設計遵循了逐問展開、逐層深入、逐題解析、逐步揭示的流程，水到渠成地完成了系列探究任務，實現了知識整體性理解的數學課堂教學目標.從整堂課問題的設計可以看到，設計思路和問題延伸體現了既見樹木又見森林的特點，在強化內部聯系性的同時，突出了教學過程的靈活性，在深化全等三角形知識的同時，進一步找到了解決全等問題的思路和線索，也給學生今后研究此類問題指明了方向.另外從課堂觀察中也發現，教師每提出一個新的問題，學生在解決的同時不是簡單的就題論題式地解答，而是從中歸納出解決一類問題的通性通法.這樣的好處在于，當學生遭遇本節課沒有研究到的問題時，也能用所學的知識和方法嘗試解決，他們在共同研討、形成共識、找到方法的過程中，內化吸收、整體構建，為后續問題的深入研究提供了可以借鑒的方法.同時，教師這樣的處理方式，即使面對能力層次有差異的不同學生，也能由易到難娓娓道來，收放自如．

3.3 順學而導，注重交流

教學是一門技術，需要教師潛心研究，指導學生不斷鉆研；教學又是一門藝術，需要教師順學而導，指導學生合作交流.復習課的教學也應當遵循教學的基本規律.教師的教本質上是為學生的學服務的，為學生在疑難之處進行適當的牽引、指導，潤物無聲中“鋪路搭橋”，不失為一種推動思維走向深入的好辦法.不難發現，教學中第二問變化中的①②兩題，在原型問題中稍加旋轉，一方面體現了運動的思想，另一方面在新結論的探究中顯得自然不突兀，為學生進行交流合作解決③④兩問提供了可能.當學生在處理③④問的變化遇到困難時，執教者讓學生通過讀題找到困惑之處，通過類比分析、小組合作等方式尋找突破口，使學生體會到解決復雜問題的常用方法，為今后解決類似的幾何問題積累了經驗.順“認知規律”而導，以“數學思維”為變，從問題解決中促進對核心概念的理解，在交流和合作中拓展學生思維的深度和廣度.

波利亞認為，教師應當通過一個并不算特別復雜的數學問題的講解，去挖掘問題涉及的各個方面，問題的研究如同給學生打開了一扇窗戶，帶他們進入了一個完整的研究領域．案例研究可以使優秀教師的教學經驗得到傳承和分享，使個體的經驗成為群體的共同財富．對于年輕教師而言，專家的課堂是最好的專業成長助推器．耿恒考老師充分挖掘全等三角形的本質，通過研討、思辨，從教材習題出發，深入挖掘教材、全面認識教材，讓學生深層次地體驗教材，深入地理解全等三角形的本質，更重要的是帶給每一位聽課教師關于實踐的思考．意大利思想家羅塔克曾經說過：“學生不是一個需要填充的木桶，而是一顆需要點燃的火種．”數學復習課不同于新授課，本課中問題鏈的研究也不是知識與方法的簡單重復，而是通過從課本原型出發的整體建構過程，來實現全等三角形的知識點重現，真正落實了數學教學的核心——“讓學生學會思考”．