用問題提升素養(yǎng) 以引導(dǎo)發(fā)展能力
——“同角三角函數(shù)關(guān)系式”課堂實錄與反思

張炳峰 錢建良 (江蘇省宜興市和橋高級中學 214211)

古人云：“授人以魚不如授人以漁．”學生解決數(shù)學問題能力的提升依賴于對其數(shù)學學科核心素養(yǎng)以及數(shù)學探究能力的培養(yǎng)．而這兩者的培養(yǎng)都離不開教師科學、合理的引導(dǎo)與啟發(fā)．概念課的教學正是做好“引導(dǎo)與啟發(fā)”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．如果教師能讓學生充分感知到新知識的由來、生成與發(fā)展，那么學生在能力上就能得到升華，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與探究能力的提升就能真正落到實處．

2020年12月2日筆者受邀參加了宜興市丁蜀高級中學開展的“錢建良名師工作室走進丁蜀高中”的活動，并開設(shè)了一節(jié)題為“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”展示課，得到了同行的肯定與好評．筆者在磨課、授課后，從各位觀課老師的評議中深受啟發(fā)，現(xiàn)將這堂課的課堂實錄與反思整理如下．

1 創(chuàng)設(shè)情境——激發(fā)問題意識

師：時光荏苒，歲月如梭，一轉(zhuǎn)眼我們都已經(jīng)是高一的學生了，那么大家對自己上幼兒園還有印象嗎？

生：有(沒有)．

師：有些同學有印象，有些同學沒印象，那大家讀幼兒園時，對幼兒園的什么玩具器材最有印象呢？

生：滑滑梯，蹺蹺板，蕩秋千……

師：那老師今天就有一個問題與滑滑梯有關(guān)：

圖1

師：很好！通過聯(lián)立方程組解決問題．本題是否還有其他方法呢？(分析)已知斜邊AC，要求直角邊BC，最好是知道角θ的哪個三角函數(shù)值？

生：sinθ．

師：那已知tanθ，能否求出sinθ呢？他們之間是否有關(guān)系呢？

師：大家都聽過一句話：南美洲亞馬遜河雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能引起兩周后美國德克薩斯州的一場龍卷風．這就是著名的“蝴蝶效應(yīng)”，其本意是說事物初始條件的微弱變化可能引起結(jié)果的巨大變化，兩個看似毫不相干的事物，卻會有著千絲萬縷的聯(lián)系，那么“同一個角”的三角函數(shù)也一定會有非常密切的聯(lián)系！到底是什么關(guān)系呢？這就是本節(jié)課所研究的問題：同角三角函數(shù)關(guān)系式．

設(shè)計意圖新的課程理念給我們指明：數(shù)學源于生活，又服務(wù)于生活．新課改也正全力構(gòu)建生活化的課程結(jié)構(gòu)，數(shù)學課堂更應(yīng)該如此．若能將融科學性、趣味性、探究性和發(fā)展性為一體的問題情境設(shè)計成導(dǎo)入環(huán)節(jié)，則學生的求知欲將會更濃厚，對數(shù)學學習的熱情也將更高．

2 歸納猜想——促發(fā)探知欲望

師：在探究本節(jié)課的問題之前，我們一起來完成下面的問題.

問題2寫出下列角的三角函數(shù)值，觀察其間的關(guān)系并猜想之間的聯(lián)系．

sin αcos αtan αsin2 α+cos2 αsin αcos α30°45°60°

生：探究發(fā)現(xiàn)，① sin230°+cos230°=1,sin245°+cos245°=1,sin260°+cos260°=1；

問題3從以上結(jié)果中，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？你能否用代數(shù)式表示這兩個規(guī)律？

師：非常好！那么，這個規(guī)律是對問題2中的銳角成立，還是對任意角均成立呢？能否證明？

設(shè)計意圖運用深度學習的理論，通過創(chuàng)設(shè)學生主動探究問題的情境，再鼓勵學生從特殊到一般，歸納猜想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，進而發(fā)展與提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)．

3 猜想證明——活化數(shù)學思維

師：證明之前，我們復(fù)習一下書本中任意角三角函數(shù)的定義(圖2)．

圖2

師：下面，請同學們分小組討論完成證明．(分小組討論)

設(shè)計意圖運用最近發(fā)展區(qū)理論，啟迪學生要關(guān)注新舊知識之間的各種關(guān)聯(lián)性，探究舊知如何生成新知，并在已有知識體系中納入所學知識，使得學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)能夠不斷地得到優(yōu)化與提升，從而發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)．

4 完善自我——嚴謹數(shù)學思維

問題4那這兩個公式是對任意角均成立嗎？是否有限制條件呢？

(學生小組討論)

師：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系總結(jié)如下：①平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，②商數(shù)關(guān)系：tanα=

設(shè)計意圖嚴謹性是數(shù)學學科的基本特點，數(shù)學結(jié)論的敘述必須精煉、準確．該環(huán)節(jié)的設(shè)計主要是想讓學生透過分組討論與合作交流來挖掘限制條件，感受數(shù)學的嚴謹，也更想讓學生體會無限與有限、變與不變在數(shù)學學科中所呈現(xiàn)出的那層唯美辯證關(guān)系，充分感受數(shù)學之美．

5 公式運用——升華數(shù)學素養(yǎng)

師：哪位同學有不同意見？

師：那應(yīng)該有幾種對應(yīng)？為何？

師：非常好！那本題該如何書寫？

師：很好！解決本題時，我們要時刻關(guān)注 sinα,cosα,tanα三者之間的符號問題，要學會分類討論．

設(shè)計意圖設(shè)計問題5的目的是深化學生對新知的理解與運用．本題緊緊圍繞同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以方程思想為核心，真正用意在于從方程角度解釋同角三角函數(shù)基本關(guān)系，幫助學生明確“知一求二”的基本手段，同時滲透分類討論的基本思想在數(shù)學解題中的運用，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．

師：這位同學采用作差的方法，通分后利用等式變形cos2x=1-sin2x完成證明.還有其他方法嗎？

師：很好！但是否有些條件需要講清楚呢？

生3：上下同乘以1+sinx，最后又約去 cosx，需要說明由題知1+sinx≠0，cosx≠0．

師：這位同學思維很清晰，數(shù)學解題必須要嚴謹．

師：請同學們找出本題三種解法的本質(zhì)．

生：主要抓住公式sin2α+cos2α=1的變形運用．

設(shè)計意圖問題6的設(shè)計充分抓住“1”的不變性，從證明手段的三種角度詮釋該題，用意主要有三點：(1)深層次、多維度地運用公式，幫助學生靈活掌握公式；(2)旨在讓學生感受數(shù)學的解題手段是多面的，更多的是需要尋找數(shù)學問題和方法中的本質(zhì)屬性，這樣難題才能迎刃而解，最終培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；(3)為下一環(huán)節(jié)“發(fā)揮想象”埋下伏筆．

6 發(fā)揮想象——激發(fā)數(shù)學興趣

問題7同學們能根據(jù)本題，自己當回老師，出題給其他同學做嗎？分小組討論．

(小組討論出兩組題目，并分別請學生上黑板板演)

生1：求證：sin4α+cos2αsin2α+cos2α=1．

(投影)生2：左邊=sin2α(sin2α+cos2α)+ cos2α=sin2α+cos2α=1=右邊．

師：有不同看法嗎？

師：很好！那能不能對這題改進一下？

生：加個條件，α在第一、四象限．

師：那不加條件是否可以呢？如何操作？

生：可以，運用分類討論思想．

師：感興趣的同學請在下課后完成解答，我們再一起探討！

設(shè)計意圖學生是課堂的主體，讓學生參與編題、做題、評題，這樣不僅能讓學生從教師的角度思考所學內(nèi)容，而且更有利于學生開展深度學習，對知識與知識之間的內(nèi)在聯(lián)系也將體會得更深刻，知識的內(nèi)化效果更理想，學習成功的體驗更豐富．

7 歸納總結(jié)——建構(gòu)知識體系

師：通過本堂課的學習，你有哪些收獲或疑問？

生1：學到了同角三角函數(shù)關(guān)系式．

師：這是知識點，那你還有學到哪些數(shù)學思想嗎？

生2：在遇到符號問題時要學會分類討論．

師：通過本節(jié)課的學習，你對以后的數(shù)學學習有哪些體會？

生3：我對數(shù)學更有興趣了，也有點理解了數(shù)學源于生活，另外，學習數(shù)學需要嚴謹?shù)膽B(tài)度！

8 反思

著名教育家葉圣陶說過：“凡為教者必期于達到不須教”“教是手段，不須教是目標，達到是過程．”如何達到不須教？作為教師，就應(yīng)該注重培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)以及數(shù)學探究能力．新課標指出：“高中數(shù)學課程應(yīng)提高學生的思維能力．”如何有效培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)和探究能力？教師在設(shè)計教學環(huán)節(jié)時應(yīng)充分考慮學生的立場、學生的數(shù)學認知水平等問題．好的教學能充分激發(fā)學生的求知欲望．如本節(jié)課的第一個環(huán)節(jié)“創(chuàng)設(shè)情境—激發(fā)問題意識”以及第六個環(huán)節(jié)“發(fā)揮想象—激發(fā)數(shù)學興趣”，在磨課環(huán)節(jié)有教師提出不同意見，認為這兩個環(huán)節(jié)可能會浪費本節(jié)課的整體時間，導(dǎo)致完成不了教學任務(wù)，但筆者認為正是這兩個環(huán)節(jié)值得教師去“浪費時間”．因為興趣是學習的動力，是學習的源泉，學生只有對數(shù)學感興趣，才愿意去想、去學，如此，才談得上培養(yǎng)核心素養(yǎng)．

高中數(shù)學新課標提出了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，如何能發(fā)現(xiàn)、提出問題？這需要教師科學、合理地引導(dǎo)與啟發(fā)，這種引導(dǎo)與啟發(fā)不是高談闊論，而是要結(jié)合學生的最近發(fā)展區(qū)，讓他們產(chǎn)生“跳一跳，也許我能摘得到”的感覺．如在本節(jié)課的第三環(huán)節(jié)“猜想證明—活化數(shù)學思維”中，筆者在最初上課時，沒有提供復(fù)習三角函數(shù)定義這一環(huán)節(jié)，這引起聽課教師的質(zhì)疑，學生是否有能力想到從定義角度證明同角三角函數(shù)關(guān)系式？直接要學生證明，是否已經(jīng)跳出了學生的最近發(fā)展區(qū)？最終筆者聽取了意見，保證了上課的效果是滿意的，學生的收獲也是充實的．在第四環(huán)節(jié)“完善自我—嚴謹數(shù)學思維”中，筆者初始上課時直接投影同角三角函數(shù)關(guān)系式的限制條件，被建議第三環(huán)節(jié)已經(jīng)復(fù)習了三角函數(shù)的定義，而限制條件也是基于定義找到的，可否嘗試讓學生自己得出限制條件呢？于是筆者也聽取意見，增加了這一環(huán)節(jié)．

綜上，設(shè)計科學、合理的引導(dǎo)與啟發(fā)環(huán)節(jié)能充分激發(fā)學生的靈感火花，也更能讓學生主動融入數(shù)學的學習.