構造法巧解2021年高考數學全國卷試題*

陳香君 (內江師范學院數學與信息科學學院 四川省內江六中 641100)

趙思林 (內江師范學院數學與信息科學學院 641100)

2021年高考數學全國卷共有六套試卷，各具特點，都很好地落實了數學學科立德樹人、服務選才、引導教學的高考核心功能[1]．《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確函數是課程內容的主線之一，其對學生學習函數內容的要求除獲得“雙基”外，還要感悟和運用函數中蘊含的數學思想方法，促進發展六大核心素養．構造輔助函數是函數思想方法的基礎性方法．輔助函數的構造方法很多，包括“超越式”構造、“對稱式”構造、“同構式”構造、“引參式”構造等具體方法．運用構造法能夠巧妙、簡潔地解答2021年高考數學全國卷中的一些問題．構造輔助函數也是處理一些地方的模考試題的基本方法．

1 “超越式”構造

例1(2021新高考I卷第7題)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則( )．

A．eb

C．0

現在的問題歸結為：關于x0的方程1+a=x0+b·e-x0有且僅有2個解．這是一個含2個參數a,b的超越方程，直接求解或獲得解的情況均不可能．從而可考慮構造輔助函數，通過研究輔助函數的某些性質(如單調性、極值或最值等)，并借助于這些性質，以獲得問題的解決．

評析本題得到1+a=x0+b·e-x0后，容易發現這是一個超越方程，無法直接求解和判斷解的情況．于是，考慮構造輔助函數h(x)=x+be-x，通過研究h(x)的最小值與1+a的大小關系，建立不等量關系，從而巧妙獲解．

函數綜合題一般會涉及超越函數，這是高考的重點、難點和熱點內容．其處理方法一般是構造輔助函數，利用高階求導、隱零點轉化、精準放縮、設而不求等技巧求解．

2 “對稱式”構造

例2(2021新高考全國I卷第22題)已知函數f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調性；

先證x1+x2>2．令F(x)=f(x)-f(2-x)，則F′(x)=-lnx+ln(2-x)．當x∈(0,1)時，F′(x)>0，F(x)單調遞增．又F(1)=0，則f(x)2-x1，也即x1+x2>2．

再證x1+x20，G(x)單調遞增．又因為G(x)x1，即x1

利用“對稱式”函數解題的基本思路可歸結為：恒等變形(配湊)—“對稱式”結構—構造輔助函數—探討輔助函數的性質—應用性質—結論．

3 “同構式”構造

(1)當a=2時，求f(x)的單調區間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．

指數、對數間有著密切聯系，同時含有指數、對數的題目常可通過式子的恒等變形、配湊等變換，得到“同構”的形式，再構造出輔助函數，接著探討函數性質，最后利用性質解決問題．這一解題思路可歸結為：恒等變形(配湊)—“同構式”結構—構造輔助函數—研究輔助函數的性質—應用性質—結論．

4 “引參式”構造

A.a

C.b

評析此題是本套試卷中極具創新性、難度較大的題目之一，是一道值得“小題大做”的好題．在比較a與c的大小時，由于二者均為離散性的數，不容易直接依據數值的精確計算(估算)比較它們的大小．因此，不考慮孤立地對兩個數值進行大小比較，而想到引入變量把具體數值一般化(即數值—字母(參數)化)，借助于函數這一強大工具，先將數值0.01一般化為變量x，再將變量x賦值為0.01，這充分體現了“特殊→一般→特殊”的思維策略．

需要注意的是，引入“參數”應是廣義的，不僅限于自變量，還可利用不等式的性質分離參數、以變換主元等方式引入參數和構造輔助函數來解決疑難問題．