數(shù)學(xué)教育研究的未來“發(fā)力點”
——《數(shù)學(xué)教育研究手冊》第四冊簡介

宋莉莉 (人民教育出版社課程教材研究所 100081)

蔡金法 (美國特拉華大學(xué)數(shù)學(xué)系和教育學(xué)院 19716)

人民教育出版社2020年出版的《數(shù)學(xué)教育研究手冊》中英文對照版包括四冊，最后一冊是“未來篇”．如果您已經(jīng)讀了前面三冊，可能會感到好奇：前三冊已經(jīng)涵蓋了數(shù)學(xué)教育的幾乎所有重要領(lǐng)域，大多數(shù)文章的作者也展望了他們所討論主題的未來，為什么還會有這部“未來篇”呢？而且這一冊里面的文章五花八門，好像也沒有一個統(tǒng)一的主題．

這是因為《數(shù)學(xué)教育研究手冊》要回答的核心問題是“怎樣促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”，這是一個特別重大、特別復(fù)雜的問題．如果把“促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”看成一個巨大的飛輪，那么前面三冊提供的答案就像是飛輪上明顯突出的發(fā)力點，推動著飛輪向前轉(zhuǎn)動．與此同時，人們?yōu)榱俗岋w輪更快地轉(zhuǎn)起來不斷涌現(xiàn)出一些新的思考、新的發(fā)現(xiàn)，這些就變成了飛輪上新的發(fā)力點．《數(shù)學(xué)教育研究手冊》第四冊匯聚的就是飛輪上的一些還不太突出、但正在“蓬勃生長”的發(fā)力點，包括：與數(shù)學(xué)教育交叉的正在快速發(fā)展的研究領(lǐng)域，如教育神經(jīng)科學(xué)、英才教育；關(guān)注未來研究者能力發(fā)展的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域博士生的培養(yǎng)；日漸引起各方關(guān)注的評估、數(shù)學(xué)學(xué)困生的教育、社區(qū)大學(xué)的數(shù)學(xué)教育，以及非正式環(huán)境下的數(shù)學(xué)教育．

耐人尋味的是，當(dāng)我們翻開這本書時，卻發(fā)現(xiàn)這些在幾年前寫成的篇章竟為當(dāng)下教育中的一些棘手問題的解決提供了啟示．比如，面對充斥著大量碎片化信息和不確定、不可預(yù)測挑戰(zhàn)的現(xiàn)實世界，我們迫切需要培養(yǎng)孩子們的獨立思考、創(chuàng)造性思維和調(diào)節(jié)情緒的能力，這就需要改變以固化的試題形式為主的考試評價，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有意義的學(xué)習(xí)機會，而本書的第32章就介紹了神經(jīng)科學(xué)的研究成果如何為建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程提供依據(jù)，第34章討論了中小學(xué)環(huán)境下數(shù)學(xué)成就與數(shù)學(xué)創(chuàng)造力之間的關(guān)系，以及發(fā)展所有學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的方法，第35章涉及了以考查學(xué)生能力為目的的評估，第38章探討了利用博物館的數(shù)學(xué)展覽為學(xué)生提供創(chuàng)造性、多樣化的、在耳濡目染間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機會．又如，我國中小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)過重的問題已經(jīng)引起了社會各界的高度關(guān)注，“強化學(xué)校教育的主陣地作用”①(1)①2021年5月21日，中央全面深化改革委員會第十九次會議審議通過了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，該文件指出“減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，根本之策在于全面提高學(xué)校教學(xué)質(zhì)量，做到應(yīng)教盡教，強化學(xué)校教育的主陣地作用”．被提上了日程，本書的第33章就討論了美國中小學(xué)采用的滿足學(xué)生多層次需求的“干預(yù)反應(yīng)/多層支持系統(tǒng)”，第36章探討了為培養(yǎng)出能勝任當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)或教育研究的數(shù)學(xué)教育博士所應(yīng)開設(shè)的高水平課程．再如，在大力發(fā)展職業(yè)教育的背景下，要提升中等職業(yè)學(xué)校和高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，或許能從本書第37章有關(guān)美國兩年制社區(qū)大學(xué)預(yù)科的數(shù)學(xué)教育研究的討論中獲得啟發(fā)．

鑒于本文的目的是為大家提供導(dǎo)讀，接下來我們將先帶領(lǐng)大家了解《數(shù)學(xué)教育研究手冊》第四冊的主要內(nèi)容，再重點介紹幾個我們可能都感興趣的研究，以及一些新穎的研究方法．

1 主要內(nèi)容

與前面幾冊的作者一樣，本冊書的作者也都是“知識萃取”的高手，他們巧妙地把數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)某個主題的最全面、最新的研究通過綜述組織到一起，不僅討論了它們本身存在的必要性、已取得的成就、正面臨的挑戰(zhàn)，還系統(tǒng)地提出了對它們的未來發(fā)展具有前瞻性的見解．

盡管人們對“教”與“學(xué)”的內(nèi)在心智活動的成功設(shè)計取得了可喜的研究成果，但也不得不承認(rèn)，那只是對心智活動過程與規(guī)律的一種推測．第32章“數(shù)學(xué)教育神經(jīng)科學(xué)：希望與挑戰(zhàn)”的作者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展，特別是功能磁共振成像技術(shù)和腦電圖的使用，已經(jīng)在神經(jīng)科學(xué)和教育學(xué)之間鋪設(shè)了“一條可以雙向通行的街道”．

本章聚焦于大腦的額葉-頂葉網(wǎng)絡(luò)，這一網(wǎng)絡(luò)所產(chǎn)生的三種主要心智活動“感覺運動活動”“空間推理”和“認(rèn)知功能”都在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中扮演了重要的角色．作者通過對兩個具體內(nèi)容——分?jǐn)?shù)和函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，說明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的神經(jīng)邏輯基礎(chǔ)是怎樣的，并揭示了兩個著名的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模型——體驗認(rèn)知和行動-對象理論是如何與額葉-頂葉網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)活動相對應(yīng)的．?dāng)?shù)學(xué)教師在讀這一章時最關(guān)心的問題，可能是教學(xué)中設(shè)計的某個具體的學(xué)習(xí)過程的有效性能否在神經(jīng)活動中得到驗證，以及后者能否為改善教學(xué)設(shè)計提供啟示．作者以一個小例子(分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí))說明了這個問題，我們將在下文中詳細(xì)介紹．

第33章“滿足數(shù)學(xué)有障礙和困難的學(xué)生需要的教學(xué)”的作者選取了一個獨特的視角——從數(shù)學(xué)教育與特殊教育①(2)①在美國，學(xué)習(xí)有障礙學(xué)生的教育屬于特殊教育領(lǐng)域．的共性和差異中探討提高學(xué)困生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的途徑．本章討論的5個主題包括：用于支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)困生的分層預(yù)防干預(yù)模式、數(shù)學(xué)的教學(xué)模式和方法、對算法的教學(xué)、學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中練習(xí)什么和何時練習(xí)，以及如何評估學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果．除了為滿足學(xué)困生特殊需求的分層教學(xué)支持系統(tǒng)在我國的學(xué)校中還沒有正式建立以外，其他4個主題所涉及的兩種模式似乎會同時出現(xiàn)在我們的課堂上．

第34章“數(shù)學(xué)教育中的創(chuàng)造力和天才：務(wù)實的角度”的目的是推動數(shù)學(xué)教育中有關(guān)創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)天才的研究．從中可以看到，兩位作者是如何在數(shù)學(xué)教育的背景下澄清并勾勒出創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)天才這兩個概念的．作者還介紹了美國、德國、俄羅斯等國在培養(yǎng)數(shù)學(xué)天才學(xué)生方面長期積累的成功經(jīng)驗，以及能夠發(fā)展所有學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的方法．我們還能了解到，為什么作者認(rèn)為“學(xué)校教育環(huán)境下的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力是在天才的邊緣”．

第35章“教師問責(zé)制時代的評估”探討了美國數(shù)學(xué)教育評估的方方面面，包括：評估的目的如何從區(qū)分學(xué)生的手段演化成教學(xué)過程的一個不可或缺的基本部分，“促進(jìn)學(xué)習(xí)的評估”(也叫“形成性評估”)的要素、設(shè)計上的困難，基于這類評估數(shù)據(jù)的教學(xué)設(shè)計，以及這類評估是如何評估學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)的，還有對教師來說具有高風(fēng)險的基于標(biāo)準(zhǔn)的評估的發(fā)展、基于計算機的評估，以及學(xué)校與教師的責(zé)任制評估等．在文章的最后，作者討論了評估在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方面的局限性，以及為改善這種情況可以開展的對評估的研究．

基于“美國數(shù)學(xué)教育博士生培養(yǎng)系統(tǒng)，嚴(yán)重低估了數(shù)學(xué)教育工作者完成工作所需的訓(xùn)練深度”的學(xué)界共識，第36章“數(shù)學(xué)教育博士學(xué)位：發(fā)展歷程、高水平課程的構(gòu)成及未來展望”的作者討論了數(shù)學(xué)教育博士課程應(yīng)包括的核心知識，以及培養(yǎng)下一代數(shù)學(xué)教育博士所面臨的一些挑戰(zhàn)．這些挑戰(zhàn)不僅包括建立課程的認(rèn)證制，還包括平衡為研究而準(zhǔn)備與為教學(xué)而準(zhǔn)備的關(guān)系，以及平衡共同核心知識與跨學(xué)科合作、專業(yè)化領(lǐng)域需求之間的關(guān)系等．

在美國，兩年制社區(qū)大學(xué)承擔(dān)了普通教育、職業(yè)培訓(xùn)、成人自我充實等多項功能，在保證國家教育公平方面發(fā)揮了重要作用．第37章“美國兩年制公立學(xué)院中的數(shù)學(xué)教育”的作者梳理了有關(guān)社區(qū)大學(xué)數(shù)學(xué)教育的早期和當(dāng)前研究，她發(fā)現(xiàn)這些研究的議題僅僅圍繞學(xué)業(yè)“成功”，而且具有對學(xué)生、教師及課程等調(diào)查對象都持有缺陷觀，只表面關(guān)注數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)內(nèi)容的特殊性等特點．作者呼吁研究者為了學(xué)生有光明的未來，接受社區(qū)學(xué)院環(huán)境和教育目標(biāo)的多樣性，設(shè)置更廣泛的研究議題，并吸納教師參與到研究中．

非正式數(shù)學(xué)教育不一定發(fā)生在課堂之外，但卻具有內(nèi)容跨學(xué)科，學(xué)生自愿參加、相對自由地按自己的興趣學(xué)習(xí)，對所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識呈現(xiàn)多樣化等課堂學(xué)習(xí)可能不具備的特點．第38章“走近充滿活力且具有社會意義的非正式數(shù)學(xué)教育”的作者通過4個對博物館數(shù)學(xué)展覽中的學(xué)習(xí)的研究，探討了非正式數(shù)學(xué)教育研究的一般性問題，包括更加自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，交互式、多感官的技術(shù)，自發(fā)的、社會化的合作所塑造的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點，以及如何關(guān)聯(lián)博物館的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等．

2 一些能帶來啟發(fā)的研究

本書的很多研究都能給我們從事的數(shù)學(xué)教育工作帶來啟示，下面我們只詳細(xì)介紹其中的3個．

2.1 對“分層預(yù)防干預(yù)模式”的研究

第33章介紹的對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)進(jìn)行干預(yù)的分層預(yù)防干預(yù)模式指的是“干預(yù)反應(yīng)/多層支持系統(tǒng)模式”，這個模式具有多層和全面兩個特點．“多層”指的是系統(tǒng)提供了三級服務(wù)：層級1是為所有學(xué)生設(shè)置的核心課程，它應(yīng)能滿足80%學(xué)生的需要；剩下20%的學(xué)生可能需要額外的支持來達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)效果，這其中的15%將接受層級2提供的小組教學(xué)，小組教學(xué)既包括面向二級干預(yù)所有學(xué)生的教學(xué)“包”，也包括為有特定需求的學(xué)生提供的差異化教學(xué)，比如幫助他們理解分?jǐn)?shù)；層級3為剩下的5%的學(xué)生提供高度專業(yè)化、密集化和個別化的干預(yù)(圖1)．“全面”指的是這種干預(yù)模式還對全體學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行“全體篩查”，對層級2和層級3的學(xué)生進(jìn)行“學(xué)習(xí)進(jìn)度監(jiān)控”，并且基于數(shù)據(jù)制定干預(yù)教學(xué)決策，或讓學(xué)生在層級之間進(jìn)行流動．

圖1

干預(yù)反應(yīng)/多層支持系統(tǒng)在美國的覆蓋率已經(jīng)從2007年的大約25%，增長到2010年的超過60%．對這種干預(yù)模式的研究給教育者帶來了下列啟示：(1)要保證為大多數(shù)學(xué)生提供的核心教學(xué)的質(zhì)量，如果有較大比例(如超過50%)的學(xué)生被診斷為需要干預(yù)，就說明原有的核心教學(xué)是無效的．“一個嚴(yán)格的有效教學(xué)”應(yīng)該是大多數(shù)學(xué)生能夠適應(yīng)的，對學(xué)生的區(qū)分在一個合理的水平上．(2)為了縮短需要干預(yù)的學(xué)生與當(dāng)前的年級教學(xué)在技能和概念理解上的差距，干預(yù)教學(xué)的內(nèi)容應(yīng)該與年級教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)．

2.2 關(guān)于教育環(huán)境下數(shù)學(xué)創(chuàng)造力、數(shù)學(xué)天才與數(shù)學(xué)成就之間關(guān)系的實證研究

第34章的作者引用了大量的實證研究來說明在教育環(huán)境下，學(xué)生所取得的數(shù)學(xué)成就與他是否具有數(shù)學(xué)創(chuàng)造力或者是否是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性天才之間的關(guān)系．在所有這些研究中，數(shù)學(xué)創(chuàng)造力通過對發(fā)散能力的測量來判斷，而數(shù)學(xué)成就用成績、標(biāo)準(zhǔn)化測試結(jié)果、獎勵、職業(yè)選擇等來鑒別．

一些研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)成績之間存在著顯著的正相關(guān)關(guān)系，但另外一些關(guān)注更細(xì)致變量的實證研究則發(fā)現(xiàn)了二者之間的區(qū)別：在數(shù)學(xué)上取得高成就的學(xué)生在解決不尋常的數(shù)學(xué)問題時，需要借助一些指導(dǎo)才能顯示出數(shù)學(xué)創(chuàng)造力；雖然數(shù)學(xué)成績優(yōu)異生和創(chuàng)造性天才學(xué)生在能力、價值或自我效能方面沒有表現(xiàn)出任何差異，但后者對認(rèn)知策略的使用多于前者；解決傳統(tǒng)的算法問題的能力是所有學(xué)生都具備的，而對于需要一定形式的洞察力來解決的復(fù)雜問題，則需要學(xué)生具有“天才和高智力”的能力水平．由此，作者Havvold得出結(jié)論“K-12環(huán)境下數(shù)學(xué)成就未必一定意味著數(shù)學(xué)創(chuàng)造力”．在中國，我們需要系統(tǒng)地考慮如何對數(shù)學(xué)上有天分的孩子進(jìn)行特殊教育，而這種特殊教育并不一定是奧數(shù)．

2.3 對“表現(xiàn)評估”的研究

評估是教學(xué)的有機組成部分．第35章的作者通過分析不同評估項目中的表現(xiàn)評估任務(wù)，提出了表現(xiàn)評估應(yīng)關(guān)注的主要問題．表現(xiàn)評估是形成性評估的一種，美國《州共同核心標(biāo)準(zhǔn)》對表現(xiàn)評估任務(wù)做了規(guī)定：“衡量學(xué)生跨多個標(biāo)準(zhǔn)整合知識和技能的能力……和深入理解、研究技能和復(fù)雜分析等的能力．”“數(shù)學(xué)評估計劃”開發(fā)了“新手”“學(xué)徒”和“專家”三種類型的表現(xiàn)評估任務(wù)．圖2是為高中生開發(fā)的“專家”水平的題目．這樣的題目包含了“一個豐富但較少結(jié)構(gòu)化的任務(wù)，需要策略性的問題解決技巧和內(nèi)容知識”，學(xué)生可以用不同的方法來解決這類問題，但是需要解釋他們的思考過程．圖3是“美國教育進(jìn)展評估”為8年級學(xué)生開發(fā)的考查思考和推理能力的題目．

圖2

圖3

設(shè)計這類題目的難度是顯而易見的，同時作者認(rèn)為，要保證這類題目的評分是“可靠的”也非常困難．例如，設(shè)計者為圖3中的第3小題提供了多個可以被判定為正確的答案，但一些學(xué)生雖然很好地理解了問題，卻可能因為沒有在答案中提供足夠的細(xì)節(jié)而失分．況且大多數(shù)8年級學(xué)生平常并沒有被要求寫出解決問題的推理過程，他們并不擅長做涉及深層思維和解釋能力的題目．所以盡管得到第3小題分?jǐn)?shù)的學(xué)生只有8%，但作者認(rèn)為學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解程度可能被低估了．此外，如果這種評估常常只能記錄學(xué)生不能做什么而非學(xué)生能做什么，那教師就不能從評估結(jié)果中獲得足夠的信息去改善他們的教學(xué)．

3 一些新穎的研究方法

本冊書介紹的研究方法雖然不像其他三冊書那樣豐富，但也有一些是令人耳目一新的，下面我們就介紹其中的兩個．

第32章的兩位作者和他們的同事設(shè)計了一個實驗，檢驗六年級學(xué)生在協(xié)調(diào)分割和迭代兩種心理行為時的大腦活動．這里的分割和迭代分別指學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)或代數(shù)內(nèi)容時，“在大腦中將一個給定的長度或面積分割成一定數(shù)量的部分”和“將某一給定長度或面積迭代一定次數(shù)來構(gòu)建一個更大的長度或面積”的心理行為．而分裂指的是“在分割給定長度或面積的同時，也明白所得到的任何一部分都可以通過迭代來復(fù)原整體”的心理行為．作者使用功能磁共振成像和腦電圖來測量大腦的活動，前者以毫米級的精度識別活動的精確位置，后者則以毫秒精度測量活動的時間，這樣不僅可以識別與活動相關(guān)的大腦區(qū)域節(jié)點，而且能夠理解這些節(jié)點如何在一個網(wǎng)絡(luò)中一起工作．

參加測試的六年級學(xué)生被要求解決類似于圖4中的任務(wù)．在首先使用腦電圖監(jiān)測的試驗中，作者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生在描述他們在大腦中進(jìn)行的分裂活動時，腦電圖顯示了額葉-頂葉很強的一致性，而在分割任務(wù)中，額葉-頂葉腦電圖的一致性較低．這說明分裂任務(wù)對學(xué)生有更強的認(rèn)知需求，需要更大的工作記憶資源來協(xié)調(diào)分割和迭代兩種活動．當(dāng)這些學(xué)生再次返回實驗室參加由功能磁共振成像技術(shù)測量的實驗時，他們左后上頂葉幫助管理空間工作記憶的部分被激活了，這一區(qū)域是規(guī)劃手指動作的，作者發(fā)現(xiàn)這一區(qū)域?qū)Ψ指詈偷鷦幼鞯膮f(xié)調(diào)和對手指動作的協(xié)調(diào)具有很高的相似性．因此，這個實驗不僅說明了神經(jīng)科學(xué)的研究通過將假設(shè)的心理活動(例如分裂)與可區(qū)分的神經(jīng)活動相關(guān)聯(lián)，可以為學(xué)習(xí)理論提供驗證，而且說明像分裂這樣高級的數(shù)學(xué)活動可以通過分割與迭代這樣簡單活動的組合來實現(xiàn)．有意思的是，隨著學(xué)生處理分裂任務(wù)能力的增強，他們大腦中額葉-頂葉的連接減少了，這表明頂葉區(qū)域重組了，因此在完成分裂任務(wù)時對額葉參與的需求減少了．

圖4

第38章的作者用4個對博物館數(shù)學(xué)展覽中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究，來說明非正式數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域所普遍關(guān)心的問題．非正式數(shù)學(xué)教育與無目的、無計劃的“日常數(shù)學(xué)教育”不同，它的教育環(huán)境往往是為支持某種特定目的的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而設(shè)計的．然而，在博物館等非正式的數(shù)學(xué)環(huán)境中，學(xué)生常常意識不到活動中的數(shù)學(xué)在哪里，更不用說感受到數(shù)學(xué)的價值了．所以作者認(rèn)為，未來非正式數(shù)學(xué)教育研究的一個發(fā)展方向是探討校外教育環(huán)境中哪些才算是數(shù)學(xué)，以及這些數(shù)學(xué)是為誰而設(shè)計的．

例如，在作者介紹的第4個研究“學(xué)校實地考察‘?dāng)?shù)學(xué)動起來！’”中，參加實驗的學(xué)生先在博物館參加實踐活動，然后回到教室與教師交流，這些自然狀態(tài)下的活動都被錄像記錄了下來．研究人員通過分析活動視頻中的生生互動、師生互動，探討學(xué)校和博物館數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗之間的復(fù)雜關(guān)系．在其中的一個案例中，學(xué)生在博物館參與了一個名為“影子分?jǐn)?shù)”的實驗(圖5)：放置不同尺寸的塑料房子，讓它們的頂部剛好觸及一條細(xì)線，這條細(xì)線和一塊磁鐵把點光源和垂直網(wǎng)格連接起來，使得光正好把影子投影到網(wǎng)格上．由于這些房子的形狀是相同的，所以它們的影子會在網(wǎng)格上重合．在回到教室的討論中，學(xué)生想知道磁鐵和細(xì)線的作用是什么，教師引導(dǎo)他們把實驗與數(shù)學(xué)課上學(xué)過的表示一定斜率的直線和相似矩形的知識聯(lián)系起來．這個研究設(shè)計的活動有利于學(xué)生借助學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗認(rèn)識活動中蘊含的數(shù)學(xué)，從而拓展對“什么是數(shù)學(xué)”的理解，同時獲得用更有創(chuàng)造性和多樣性的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體驗．

圖5

4 結(jié)語

至此，我們?yōu)槟峁┑膶?dǎo)讀就結(jié)束了．我們相信，無論您在數(shù)學(xué)教育中遇到什么難題，都能在本書或者本套書中獲得解決的靈感．希望在您的書架上最凌亂的地方發(fā)現(xiàn)這套《數(shù)學(xué)教育研究手冊》，因為那說明您經(jīng)常需要翻看它們．

同時，我們必須明確地指出，這些研究畢竟都是在別的國家和地區(qū)進(jìn)行的，正像主編在中文版序言中說的那樣，原文作者很少引用中文發(fā)表的文章，所以鼓勵讀者閱讀相關(guān)的中文文章．我們也鼓勵讀者批判性地閱讀本手冊——這些結(jié)論在我們的課堂上也成立嗎？為什么成立或者不成立？更重要的是，我們堅信教師是研究者，我們更期待一線教師和教研員能夠直接系統(tǒng)地參與到教學(xué)研究中來．愿這套書能助力教師和教研員們從事教學(xué)研究！