關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)展學(xué)生思維

張曉東

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，通過學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，以發(fā)展學(xué)生的思維能力為核心指向.本文結(jié)合課例《中點(diǎn)四邊形》，從思維起點(diǎn)、思維寬度、思維深度三個(gè)角度，闡述發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的路徑和策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)本質(zhì) 數(shù)學(xué)思維 核心素養(yǎng)

新課程所聚焦的中心是在教師的指導(dǎo)和幫助下，學(xué)生自主建構(gòu)個(gè)性化的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的核心要素是思維方式。它既是一種思考問題的方法，也是一種解決問題的手段。數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思維能力是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的基礎(chǔ)。

近期，在開展的同題異構(gòu)開課活動(dòng)中，三位老師開設(shè)了《中點(diǎn)四邊形》公開課，在對(duì)三位老師公開課的思考后，自己設(shè)計(jì)了蘇科版八年級(jí)下《中點(diǎn)四邊形》教學(xué)。下面結(jié)合教學(xué)過程，就課堂上如何注重?cái)?shù)學(xué)問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維做一些“拋磚”。

【教學(xué)描述一】

在給出了中點(diǎn)四邊形定義：順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫作中點(diǎn)四邊形后，讓學(xué)生在學(xué)案上動(dòng)手畫出矩形ABCD和菱形ABCD兩類特殊平行四邊形的中點(diǎn)四邊形EFGH。根據(jù)所畫出的圖形，學(xué)生直觀感知所得中點(diǎn)四邊形的形狀，引發(fā)學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形形狀和原四邊形之間關(guān)系的思考。然后給學(xué)生五分鐘到十分鐘時(shí)間來證明自己所得到的結(jié)論并進(jìn)行交流。

【反思與評(píng)價(jià)】

認(rèn)知沖突，形成學(xué)生思維起點(diǎn)

對(duì)于矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形這兩個(gè)結(jié)論，可以從三角形全等和三角形中位線兩個(gè)角度去證明，但利用中位線證明是一種更合理的方法，開始的時(shí)候只有少部分學(xué)生想到這種方法。在教學(xué)過程中，要求學(xué)生獨(dú)立畫出圖形、作出判斷、自己獨(dú)立思考后給學(xué)生一段時(shí)間在小組內(nèi)進(jìn)行交流，采用小組合作的方式讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時(shí)無需老師多講，而更多需要的是老師的啟發(fā)誘導(dǎo)，點(diǎn)明解決疑難的“訣竅”，給學(xué)生指引認(rèn)知的路線，引導(dǎo)學(xué)生思維活動(dòng)“上路”。老師只要適時(shí)對(duì)他們的發(fā)現(xiàn)給予充分地肯定和表揚(yáng)，激發(fā)他們進(jìn)一步探索的欲望，使學(xué)生自覺把探索問題答案的認(rèn)識(shí)活動(dòng)進(jìn)行到底，從而使每個(gè)學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展，獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

為數(shù)不少的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)出這樣的感慨：數(shù)學(xué)太難了！究其原因，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式是聽講與解題，而老師也期望通過選擇大量的練習(xí)來達(dá)到提高數(shù)學(xué)水平的愿望。但兩者的結(jié)果往往是經(jīng)驗(yàn)零散、思維僵化、效率低下。學(xué)生和教師都忽視了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實(shí)際中出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流，獲得知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維。要實(shí)現(xiàn)這建議，就必須讓學(xué)生能夠主動(dòng)參與到課堂教學(xué)中來。所以在本節(jié)課教學(xué)中，我改變了單純的教師出題，學(xué)生解題;教師講，學(xué)生聽的教學(xué)方式。開始就通過學(xué)生動(dòng)手畫特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形，這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上也是學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形概念理解和思考過程，再動(dòng)腦思考如何證明自己的結(jié)論，最后動(dòng)口把自己的結(jié)論及證明說出來和其他同學(xué)共同探究。教學(xué)中不把現(xiàn)成的結(jié)論“奉送”給學(xué)生，而是在教師啟發(fā)下通過學(xué)生積極思維得出結(jié)論。教師啟發(fā)、學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種積極探索新知識(shí)的教學(xué)方法，也有利于促使學(xué)生思維活動(dòng)。

【教學(xué)描述二】

在學(xué)生認(rèn)識(shí)到矩形、菱形的中點(diǎn)四邊形分別是菱形和矩形這個(gè)結(jié)論并進(jìn)行證明后，教師提出問題：如果中點(diǎn)四邊形EFGH分別菱形和矩形，那么原四邊形ABCD是否一定分別是矩形和菱形？學(xué)生七嘴八舌，有的說肯定，有的說不一定。這時(shí)教師暫不做明確的回答，而是讓學(xué)生繼續(xù)在學(xué)案上畫對(duì)角線垂直和對(duì)角線相等四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，發(fā)現(xiàn)所得到的中點(diǎn)四邊形仍是矩形和菱形。這樣，剛才問題的答案也就無需多言了。利用這時(shí)學(xué)生腦海里充滿疑問的時(shí)機(jī)，拋出原四邊形ABCD為一般四邊形，求證中點(diǎn)四邊形EFGH為平行四邊形讓學(xué)生證明。有些學(xué)生仍然嘗試用三角形全等來證明，經(jīng)過思考后發(fā)現(xiàn)不能解決后考慮別的證明思路，在老師和同學(xué)的互相幫助下，最終用三角形中位線解決了這個(gè)問題。這時(shí)，教師再把剛才問題拿出來和這題作比較，學(xué)生也就很自然得到?jīng)Q定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是四邊形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)度和位置這個(gè)中點(diǎn)四邊形問題最本質(zhì)的東西。

【反思與評(píng)價(jià)】

本質(zhì)探索，發(fā)展學(xué)生思維寬度

很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，實(shí)際上只是浮于表面，認(rèn)為只要能把題目解出就完事了，而不作深層次的思考。如中點(diǎn)四邊形中，很多時(shí)候?qū)W生在用全等這個(gè)常用的方法完成特殊平行四邊形的證明之后自認(rèn)為已經(jīng)掌握了這類問題的通用解決方法，殊不知這只是一種特殊的方法，而不是這類問題的本質(zhì)。有時(shí)，老師為了達(dá)到目的，往往過早或直接地把問題的本質(zhì)（決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是四邊形ABCD的對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系）呈送給學(xué)生，欠缺了一個(gè)讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，不能讓學(xué)生的思維有一個(gè)提升飛躍進(jìn)的過程。這一誤區(qū)，往往使學(xué)生的思維能力得不到很好的培養(yǎng)。其感知問題、提出問題的能力低下，甚至把沒有問題等同于圓滿完成學(xué)習(xí)任務(wù)。為此，在教學(xué)中必須要讓學(xué)生成為問題的發(fā)現(xiàn)者，讓學(xué)生帶著屬于自己的問題去探究，這樣才能使學(xué)生真正探究問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維的寬度，從而形成良好的思維品質(zhì)。

法國教育家盧梭對(duì)提問教學(xué)做了如下闡述：“你提出他能理解的問題，讓他們自己去解答，要做到他們知道的東西，不是由你的告訴，而是由于他自己的理解。”在本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，我從學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐探究特殊平行四邊形的中點(diǎn)四邊形入手，得到這類問題的答案也完成了這類問題的解答，但此時(shí)在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，只是外部的。學(xué)生只是剛剛獲取原四邊形與中點(diǎn)四邊形錯(cuò)誤的聯(lián)系，這種聯(lián)系處于松散狀態(tài)，在知識(shí)點(diǎn)之間并未形成有效聯(lián)通。這就必然引起學(xué)生的某些認(rèn)知迷惘和混亂，所以也并不意味著學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題，而只能說學(xué)生意識(shí)到問題的存在。而通過第二階段的動(dòng)手探究與交流，才算要真正跨越這一認(rèn)知迷惘階段。學(xué)生自我準(zhǔn)確地診斷出問題出在哪里，問題的本質(zhì)是什么。心理學(xué)研究表明：學(xué)生的積極動(dòng)機(jī)始發(fā)于內(nèi)趨力和受正誘因的吸引。“沖突”便是激起學(xué)生思維的根源，是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維寬度的正誘因。正常人的思維活動(dòng)總是為著解決遇到的問題而進(jìn)行的。用“沖突”作誘因，激發(fā)學(xué)生求知欲望，使之自覺地積極思考，由于學(xué)生的好勝心，總想答正確，千方百計(jì)尋求答案，通過再三思考分析、綜合，又反復(fù)地進(jìn)行對(duì)比思考，也就自然地對(duì)問題進(jìn)行深入的鉆研，積極的理解。在理解、鉆研過程中，又會(huì)發(fā)現(xiàn)新的問題，直到自己無法解答，而求知的欲望又不得不促使自己去和同學(xué)討論，或爭(zhēng)論，直到使問題最終獲解。從而形成自己解決問題的思維。

【教學(xué)描述三】

在學(xué)生完成了中點(diǎn)四邊形的探索和研究，明確了中點(diǎn)四邊形的形狀是和原四邊形的對(duì)角線有關(guān)這個(gè)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)后，我繼續(xù)要求學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)和面積與原四邊形的周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系進(jìn)一步研究。學(xué)生在通過對(duì)前面中點(diǎn)四邊形認(rèn)識(shí)透徹的情況下，很容易運(yùn)用三角形中位線以及三角形相似的性質(zhì)得出中點(diǎn)四邊形周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線之和的二分之一、中點(diǎn)四邊形的面積等原四邊形面積的一半。

【反思與評(píng)價(jià)】

拓展探索，延伸學(xué)生思維深度

為了對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生的照顧，特別是部分學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步探索以及鞏固強(qiáng)化應(yīng)用相似知識(shí)解決中點(diǎn)四邊形問題，又設(shè)計(jì)了最后一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。通過對(duì)問題的進(jìn)一步挖掘，教師從多方位、多角度，去思考、探索更深層次的數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生多角度的發(fā)散性思維的能力，體現(xiàn)問題的多面性。通過對(duì)問題的再次深入研究，激發(fā)學(xué)生的探索和主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望，確保學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的持續(xù)熱情，實(shí)現(xiàn)不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，揭示不同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而鍛煉學(xué)生的思維深度。另外，在解決中點(diǎn)四邊形周長(zhǎng)和面積問題時(shí)，利用把求多邊形面積轉(zhuǎn)化為求三角形面積，利用三角形的中線分三角形成等積的兩個(gè)三角形和等底同高的兩個(gè)三角形等積來解決。通過把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，把陌生轉(zhuǎn)化為熟悉，這樣既加深了知識(shí)間的橫向聯(lián)系，復(fù)習(xí)一些證明方法和重要定理，溫故而知新，通過探索、嘗試，相信學(xué)生的聰明才智會(huì)得到充分的發(fā)揮，用數(shù)學(xué)解決問題的能力會(huì)邁上一個(gè)新的臺(tái)階。無形中滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

客觀事物是發(fā)展變化的，這就要求人們用變化、發(fā)展的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，在變化的問題中抓住不變的東西。數(shù)學(xué)思維的深度突出表現(xiàn)是善于抓住主要矛盾的特殊性，善于洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系，善于挖掘隱含的條件和發(fā)現(xiàn)新的有價(jià)值的因素，能迅速確定解題策略，組合成各種有效的解題方法。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，在解決問題或思維受阻時(shí)能找出并及時(shí)修正解決方法，探索出解決問題的有效途徑。

總之，數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維能力的基礎(chǔ)課程，只有在數(shù)學(xué)課堂上注重問題的本質(zhì)，才能發(fā)展學(xué)生的思維，才能讓學(xué)生的思維從狹隘走向廣闊，從膚淺走向深刻;才能使數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生不斷挑戰(zhàn)自我，發(fā)展思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄（上卷、下卷）[M].浙江教育出版社，2017.

[2]朱建良.問題引領(lǐng) 變式探究 質(zhì)疑反思[M].文匯出版社，2016.

（作者單位：太倉市教師發(fā)展中心）