設計變式練習，促進不同思維層次學生的發展

沈強

【摘要】基于SOLO分類理論，將學生的解答情況按其理解能力由低到高分成五個水平層次，運用過程性變式理念設計不同的變式練習，使不同思維水平層次的學生在原有基礎上得到不同程度的發展。具體結合一道試題，根據學生不同的理解力，進行歸類并分層，運用過程性變式理念設計相應的練習，實施針對性教學，以提高學生理解水平層次。

【關鍵詞】變式;過程性變式;SOLO分類理論;思維發展

SOLO分類評價理論是香港大學教育心理學教授彼格斯（J.B.Biggs）首創的一種學生學業評價方法，它是以等級描述為特征的質性評價方法。根據學生理解能力由低到高分成五個層次：前結構水平、單點結構水平、多點結構水平、關聯結構水平和抽象擴展結構水平。所謂過程性變式，是指創建變式問題或情境，讓學生進行探究，找到解決問題的方法，讓學生逐步或從多種途徑建立不同概念之間的聯系。本文結合“圓柱和圓錐”中的一道試題，對學生的解答情況根據理解水平進行分類和分層，針對不同水平層次的學生設計不同的變式練習，以提高練習課的有效性，促使在不同思維水平層次上的學生得到不同程度的發展。

一、原題呈現、測試背景、測評點分析

1.原題呈現。

小虹用布制作一頂帽子。上面是圓柱形，底面直徑16cm，高15cm;帽檐部分是一個圓環，外圓直徑40cm。制作這頂帽子，至少要用多少平方厘米的布？

2.試題背景。

此題是2020年7月嘉興市小學數學畢業試卷上“解決問題”中的試題。

3.測評點分析。

知識點：考查圓柱表面積和圓環面積的相關知識及其運用。

能力點：能先將復雜的幾何圖形分解成若干個部分，然后對子圖形進行識別和計算，以便有效地解決原來的問題。

二、基于SOLO分類理論對學生的理解水平進行分層分析

（一）樣本分析

在全區近3000份試卷中，隨機抽取800份試卷做樣本分析，并根據理解水平能力進行分類。以下是對不同水平層次學生的解答情況所做的分析。

1.前結構水平層次。能力“最低”。

處于前結構水平層次的學生的回答不存在邏輯上的聯系，線索與回答混在一起，有三種情況：拒絕、同義反復、轉換。此題中出現了兩種情況：拒絕和轉換。拒絕，指學生不想認真投入到思考中，最直接的現象是空白（如圖1）。轉換，與其說是猜測，不如說是瞎說瞎撞，學生試圖找到一個相關的答案，但出錯了，主要是未在邏輯基礎上進行解答（如圖2）。

2.單點結構水平層次。能力“低”。

處于單點結構水平層次的學生只抓住了閃現在心目中的頭一個素材（但至少是一個相關素材），就直接跳到結論上去，因此結論非常不一致。有的學生只算對了側面積，其余部分都是錯誤的（如圖3），有的只算對了圓的面積（如圖4）。類似的解答，離正確結果相差較遠。

3.多點結構水平層次。能力“中”。

處于多點結構水平層次的學生往往會找到許多相關點。但由于各點之間沒有相互聯系，或者在某一個點上出現了問題，導致用同樣的素材得出不同的結論。處于多點結構水平層次的學生的解題思路完全正確，但由于某個公式運用錯誤，導致離正確結論只有一步之遙。公式運用錯誤主要有兩種情況：一是將圓環面積公式記憶成“大圓的直徑×直徑×π-小圓的直徑×直徑×π”（如圖5）;二是將圓柱的側面積記憶成“底面積×高”，側面積與體積公式混淆（如圖6）。

4.關聯結構水平層次。能力“高”。

處于關聯結構水平層次的學生，在設定的情境或經歷的經驗范圍內，能利用相關知識進行概括，沒有不一致的問題。學生會在看到事物的所有方面后，將其連貫成一個整體，再做出關聯性解答。此層次中，學生利用圓柱表面積和圓環面積的相關知識進行正確解答，解答思路是將復雜的組合圖形面積分解成三部分“小圓的面積+圓柱的側面積+圓環的面積”，分別計算后再相加（如圖7）。

5.抽象擴展結構水平層次。能力最“高”。

處于抽象擴展結構水平層次的學生的回答超越了根據素材進行的歸納，進行了真正的合乎邏輯的演繹。這一層次的學生，將帽子的頂部（小圓）和帽檐（圓環）相加后正好成為一個大圓，所以帽子面料的面積分解成兩部分：大圓的面積和圓柱側面的面積，分別計算兩部分后再相加（如圖8）。在推理的基礎上計算更簡便，思維水平層次更高。

（二）測查結論

對學生的解答進行了歸類和統計，各SOLO層次的人數和占比如表1所示（抽取樣本800份）。

從本次測查結果來看，此題的得分率為69.6%，說明學生在解決這類復雜的幾何圖形時，理解能力比較薄弱。主要由以下三個方面造成：一是不能有效地將復雜的幾何圖形分解成若干個子圖形，缺乏一個整體的解題思路;二是有了正確的解題思路后，因為涉及的面積公式較多，而且公式之間容易混淆，造成在計算部分子圖形時出現錯誤;三是此題的計算量比較大，特別是計算過程和結果中沒有保留π，計算量和復雜程度明顯上升，造成嚴重的計算錯誤。

三、立足于學生不同層次的理解能力，實施針對性教學

所謂針對性教學，指根據學生不同的理解力，進行歸類并分層，運用過程變式理念設計相應的練習題，實施針對性教學，以提高學生的理解水平層次。

1.處于前結構、單點結構水平層次的學生向多點結構水平層次提升。

處于前結構和單點結構水平層次的學生，對基本圖形概念掌握不扎實，缺少學習活動經驗，對于各種變式習題，缺乏鑒別能力。要提升到多點結構水平，可以從以下兩個方面進行嘗試：一是增加動手操作環節，拉長學生的過程性體驗歷程;二是提供辨別比較材料，提升思維鑒別能力。

（1）由靜變動，增加動手操作環節，拉長學生的過程體驗歷程。

心理學家皮亞杰認為：“活動是認識的基礎，智慧從動作開始。”在數學課堂中，學生通過自我探索、合作交流，體驗數學事實，運用數學思想和方法，進而積累數學活動經驗。

在表面積的練習中，更多的習題是靜態的，只提供情境和數據，讓學生運用公式進行計算。例如“制作一個無蓋的水桶，底面半徑為3分米，高為5分米，需要多大的鐵皮？”這樣的習題對于學生鞏固知識和技能有一定的幫助，但過多類似的練習，對于處于前結構和單點結構水平層次的學生來講，在不理解和缺乏活動經驗的基礎上反復操練，更多的只是記憶性練習，思維水平很難在原水平基礎上有所突破。將其通過變式改編成一道操作實踐題，提供一張長25.12厘米、寬18.84厘米的長方形紙，讓學生通過計算，在另一張白紙上利用圓規和剪刀剪出一個圓形紙片，與提供的這張紙一起組成一個無蓋的圓柱形紙筒。學生首先需要考慮用長方形的哪條邊作為底面的周長，其次運用公式計算出直徑，再利用圓規畫出圓形并剪下，粘貼成圓柱形紙筒。雖然這一操作會比單純做一道習題花去更多的時間，但可以拉長學生的過程體驗，通過積累一道題的活動經驗來掌握解決一類題的技能與方法。

（2）由一變多，提供辨別比較材料，提升學生的思維鑒別能力。

有比較才有鑒別，比較是鑒別事物異同關系的一種思維方式。一道題經過不斷的變式，會產生不同的情況，教師可以讓學生采用對比的方法，將各種知識互相聯系起來，在互相比較中揭露事物的本質，提升學生的理解能力。

如圓柱表面積的相關知識中，有些圓柱物體是求“側面積+2個底面積”，有些是求“側面積+1個底面積”，還有一些是只求“側面積”。對于處于前結構和單點結構水平的學生來講，能夠正確區分幾種情況是一個難點。教師先呈現一個圓柱形，然后對其進行變化，變成各種情境下求圓柱的表面積，讓學生思考分別屬于哪類情況，進行歸類與整理（如圖9），并對各類情況進行補充。通過由一變多的方式，學生進行了思辨，提升了鑒別能力。

2.處于多點結構水平層次的學生向關聯結構水平層次提升。

處于多點結構水平層次的學生往往在解題時沒有畫圖或標數據，在選用公式和數據時出現錯誤，從而導致結論的不一致性，這說明學生在信息解讀能力上有待提高。另外，計算造成的錯誤，使學生離正確結論只差一步。

（1）由簡變繁，提高信息解讀要求，發展學生的信息解讀能力。

在幾何教學中，面對復雜的條件和繁多的數據，如何正確解讀信息？可以通過畫圖和標數據的方式，把題目的意思以直觀形象的圖示表示出來，讓學生在解題過程中更容易運用公式、找到數據來解決問題。

很多習題只有文字沒有圖示，例如“一個圓柱形物體，底面直徑4分米，高6分米，將它的側面和上下底面用布粘貼起來，一共需要多少布料？”對于這類習題，學生需要養成畫圖和標數據的習慣。教師還可以通過增加信息條件，來發展學生的信息解讀能力。如將此題改為：“一個圓柱形燈罩，底面直徑4分米，高6分米，先將它的側面和上下底面用布粘貼起來，然后在上下兩個底面分別剪去一個半徑為1.5分米的小圓，以便散熱，做這樣一個燈罩共需要多少布料？”經過變式后，信息量增加，解題難度上升，更能挑戰學生的信息解讀能力。邊畫圖邊標數據，這是對信息正確解讀的有效方法。

（2）由繁變簡，簡化學生計算過程，提高學生的計算能力。

在試卷分析的數據采集中，對處于多點結構、關聯結構和抽象擴展結構水平層次的學生的計算進行了分類統計，結果如表2所示。

從上表中可以看出，近75%的學生在計算過程中保留了π（如圖11），還有25%的學生是直接乘3.14（如圖12）。在批閱過程中，明顯發現不保留盯的計算過程煩瑣，涂改的現象比較明顯，正確率低。為了與初中學習接軌，建議計算過程和結果都保留π。

3.處于關聯結構水平層次的學生向抽象擴展結構水平層次提升。

從關聯結構水平層次向抽象擴展結構水平層次發展，需要教師對習題進行不斷的變式，使習題具有更高的挑戰性，發展學生的學習能力和創新精神。

（1）由正變斜，改變信息空間位置，豐富學生的圖像建構過程。

在用紙圍圓柱的側面時，一股是用長方形或正方形紙來圍的，教師可對其進行變式，用一個平行四邊形紙片，改變傳統的圍法，讓學生在一個未經歷過的情境中來解決問題。呈現題意：“由一張高為6厘米、面積為75.36平方厘米的平行四邊形商標紙片，正好粘貼在一個茶葉筒的側面（無縫隙、無重疊），如果接口不計，做一個這樣的茶葉簡共需要多少紙板（上下也有紙板）？”引導學生從條件出發，向問題靠近。已知平行四邊形的面積和高，可以求出底，底的長度就是圓柱底面的周長，可以求出半徑，再求底面的面積，最后求出表面積。也可以引導學生從問題出發，側面積已知，只需求出底面積，底面的周長與平行四邊形的底邊相等，利用平行四邊形面積公式求出底邊。培養學生從不同的思考方向來解決問題。

（2）由斜變正，利用圖形之間關系，優化學生的解題思路框架。

解決問題時，學生在閱讀理解的基礎上，不要急于去解題，而是先思考有幾種解決方案，再比較哪種解決方案更優化，方案的優化意味著解題更簡便，正確率更高。

例如“一個糧倉（如圖14），如果每立方米糧食的質量為750千克，這個糧倉最多能裝多少千克糧食？（單位：米）”在計算糧倉的體積時，學生一股都是分別計算圓錐和圓柱的體積再相加。在利用常規解題思路之前，可以讓學生先比較圓錐和圓柱之間的關系，發現兩者的底面積是相等的，可將圓錐轉化成等底面等體積的圓柱，變成底面積相等、高為0.2米的圓柱，那么整個體積可以看成高為（1.5+0.2）米的圓柱，這種解題思路就如生活中看到的將尖尖的頂部抹平的現象。