求最短距離，育核心素養

田淑琴

【摘要】教材的例題習題的教育價值不僅僅在于鞏固知識，更在于思想的滲透、文化的感染。習題中“將軍飲馬”題型的教學，應從培養學生素養出發，進行思想方法的滲透、解題技能的傳授。

【關鍵詞】數學核心素養;“將軍飲馬”題型;解題教學

在提倡核心素養的教育背景下，數學素養是指滿足學生終身發展和社會發展所必備的數學方面的必備品格和關鍵能力，是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。因此，核心素養視角下的數學教學理念不僅要關注知識本身，還要關注知識的文化背景和學生的應用遷移能力。下面以教材中一道習題為例，在解題教學中如何培養與滲透數學核心素養，談談筆者的實踐與思考。

一、原題呈現

題目選自北師大版七年級下冊第五章《生活中的軸對稱》第三節《簡單的軸對稱圖形》第一課時的習題5.3第5題。原題如下：

如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A，B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？

二、教學價值

本習題屬于著名的“將軍飲馬”題型，是一道經典的幾何最值問題，語出唐朝詩人李頎的《古從軍行》：“百日登山望，黃昏飲馬傍交河。”這個問題在西方也有傳說，早在古羅馬時代，亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求解這個讓他百思不得其解的問題，當時，海倫稍加思索便圓滿地解答了這個問題。“將軍飲馬”題型不僅顯示著古人的數學智慧，而且充分彰顯著數學燦爛的文化價值和不朽的應用價值。

一方面，學生在學習了“作一個點關于某條直線的對稱點”“線段公理”“軸對稱性質”等數學理論的基礎上練習此題，旨在鞏固和聯系已學知識，發散學生思維。這類題型具有科學性、典型性、示范性和功能性，對學生的綜合要求高。

另一方面，最短距離問題一直是各省地市中考數學的熱點問題，往往會以圓、菱形、正方形等具有軸對稱性的幾何圖形、二次函數等為載體出現，練習此題有助于學生獲得必要的技能，從而為后續學習和解決問題奠定基礎、提供支持。因此，掌握此題的解題技巧尤為重要。

三、功能分析

基于《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）中提倡的“四基”教學，筆者對本道習題的功能作以下層面的分析：

從知識層面上看，鞏固“作一個點關于某條直線的對稱點”“兩點之間，線段最短”“軸對稱性質”等知識點。

從技能層面上看，發展學生的尺規作圖能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題的能力。

從思想方法上看，在解題過程中讓學生經歷從現實問題抽象成數學問題的過程，體會轉化思想（求位于直線同側兩點到直線的最短距離之和轉化為求位于直線異側兩點的最短距離之和）、類比思想（作A/B的對稱點類比作B/A的對稱點）。

從活動經驗上看，學生通過數學學習活動，演繹、歸納“位于直線同側兩點到直線的最短距離之和”的思想方法，培養勇于質疑、敢于創新的精神，積累數學探究、發現知識的經驗，激發學生熱愛數學文化的情感，感受數學的文化價值和應用價值。

同時，在教學過程中體現以上功能的有機整合。

四、教學方法

根據“讓學生從生活走進數學、發揮學生的主體地位”這一課程基本理念，筆者嘗試從學生的情況出發：到七年級下學期，學生已經具有初步的觀察和邏輯推理能力，活潑好動的他們更希望獨立思考和發表見解。

鑒于此，筆者確定的教法是啟發引導法，同時在教學中采用多媒體、幾何畫板和板書相結合的教學手段，變抽象為形象，有效地調動學生學習的積極性，有力地突破解題的難點。此外，筆者認為應引導學生采用自主探索、討論學習、類比學習的學習方法，具體為教師設問，學生思考，然后師生互動交流，共同探索和解決題目。與此同時，在教學中，注意反饋調控，觀察學生的活動參與度。

五、教學實施

1.獨立思考，動手畫圖

師：數學史上的“將軍飲馬”題型，也就是“求最短距離問題”，可追溯到我國唐朝期間，甚至是西方古羅馬時代，當時亞歷山大城的學者海倫稍加思索便解答了這個問題。通過前面的學習，我們嘗試獨自用尺規作圖的方法畫出奶站的位置。（學生自主探索，動手畫圖，教師巡視。5分鐘后，筆者發現學生的錯誤做法主要有以下三種，其中圖4的做法占比重較大）

筆者通過分析得知，學生出現以上錯誤的原因在于犯了“拿來主義”，將聯想到的知識點拿來就用，知識體系不完備，沒有找到問題的本質。

2.教師啟發，轉換思想

師：觀察到A，B兩點位于街道的同側，我們嘗試改變A，B兩點的位置，使得兩點位于街道的異側。此時，奶站應建在何處？（教師使用幾何畫板，將居民區A的位置“拖”到街道的下方，如圖5）

眾生：連接A，B兩點，線段A B與街道的交點就是所求的位置。

（教師根據學生的說法，在幾何畫板上操作畫圖，如圖6）

師：很好！那么，我們這樣操作的依據是什么？

生1：兩點之間，線段最短。

師：正確！現在，我們將居民區A的位置“拖”回到街道的“上方”，此時，奶站應該建在何處？（如圖7）

教學說明：將位于直線同側兩點的最短距離轉化為求位于直線異側兩點的最短距離，將實際應用問題抽象為數學問題，化難為易，接近學生認知的“最近發展區”，滲透數學轉化與化歸思想，實現技能層面、思想方法層面上的功能。

3.比較學習，深化認知

生2：嘗試找到A點關于街道的對稱點A'，連接A'B，與街道的交點就是奶站所在的位置。

師：非常好！我們一起用尺規作圖的方法將生2的畫法畫出來，那我們畫圖的第一步應該怎么做？

眾生：畫出A點關于街道的對稱點A'。