基于核心素養的初中數學日常教學初探

陳建均

【摘要】“直線與圓的位置關系”是初中數學的重要內容，通過這一章節的學習能讓學生更好地認識生活，更好地建立起數形結合的思想，也能更好地促進他們核心素養的發展。在探究“直線與圓的位置關系”的過程中能培養學生的高階思維能力，如分析能力、判斷能力和推測能力等，這些能力的發展又為學生核心素養的提升做了鋪墊。

【關鍵詞】初中數學;核心素養;直線與圓

《直線與圓的位置關系》這一部分的內容對于初三的學生來說有一定的難度，這一章節的難度體現在各種認知的綜合性上，表面上看只是探討直線與圓的位置關系，實際上所運用的認知卻是多方面的，包括勾股定理、三角形、平行四邊形、相似三角形和全等三角等方面的認知。這些認知的綜合光靠做題、題海戰是不能全面提升學生這方面的能力的。因此需要教師改變教學方式，讓學生有更多思考的機會，讓他們的思維火花盡可能地迸發，讓他們找到解決一類問題的密匙，而不只是一兩道題目。因此教師要將核心素養的培養落實到這一章節點點滴滴的教學活動中，讓學生基于核心素養而學習。

一、立足于學情，把握學生的起點

基于核心素養的初中數學教學的一個首要條件就是教師要能立足學生的學情展開教學活動。學生的學情包含的內容也是多方面的，它包含學生對基礎知識的掌握程度，也包含學生的思維特點、情感態度和學習方式等。學情是學生在某一個數學章節的綜合表現，要讓學生學習相關的認知，要提升他們某一方面的能力，就要立足他們的學情，做到有的放矢，不能盲目提升。當前的數學教學中存在不顧學生學情而進行教學的現象，有時候教師講授的內容超出了大多數學生的能力范圍，又或是大多數學生都會的內容，教師還在反復地講。立足學生的學情，一點點地鋪墊，讓學生擁有一個扎實的起點，其更多素養的生成自然就指日可待。

以下面這題為例，如圖1所示，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。

這是這一章節一道基礎的題目，學生只要連接OC，從OA=OB這一條件出發，就能推斷出△AOB是等腰三角形;接著再從CA=CB這一條件入手，推斷出OC⊥AB;最后學生再結合“直線AB經過⊙O上的點C”這一條件得出直線AB是⊙O的切線。由學生做題過程，教師基本能推斷出這樣的學情，即，學生知道運用切線判定定理需滿足兩個條件：①經過半徑外端;②垂直于這條半徑。教師再次設計的題目就要以這個學情為基準進行適當的拓展，也就是要讓學生沿著這個起點往縱深奔跑。于是教師設計這樣的題目：如圖2，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直徑為6厘米。求證：AB與⊙O相切。學生運用到這一章節中輔助線的作法：過O點作OC⊥AB交AB于C點。他們先是證明△AOB是等腰三角形，再推斷出：CA=CB=，AB=4厘米;最后由OB=5厘米，運用勾股定理得出OC= 52+42 =3厘米。因為⊙O的半徑為3厘米，所以AB與⊙O相切。從這題當中能明顯地發現學生知道切線的三種判定方法，這題運用到的是直線到圓心的距離等于該圓的半徑。知道這些學情之后，教師要基于這樣的起點促進學生生長。教師問，以上兩例輔助線的作法是否相同？有什么規律可以找尋？明顯地，基于核心素養的初中數學教學要能貼著學生的最近發展區，讓他們適切地生長。

二、創設有效情境，培養學生的直觀想象力

初中學生有一定的直觀思維能力，相對于抽象思維，在這一方面是他們的一個優勢，他們對著一些具體的畫面能展開豐富的聯想。作為數學教師要進一步培養學生的直觀思維，進而讓他們建立起嚴密的數學思維。同時，直觀思維能幫助學生提升數學實踐能力，增強創新意識。教學中教師要盡量給學生創設激發直觀思維的機會，讓他們拓展這方面的能力。一般來說，初中學生需要具備六項數學核心素養，直觀思維是一個重要的素養，是產生其他能力的基礎。有了直觀思維，學生才能構建抽象的數學認知結構，進而進一步理解相關事物的本質。換言之，直觀思維是探索數學推理過程的前提，是形成論證思路以讓數學回歸現實世界的主要方式。當前筆者所列舉的《直線與圓的位置關系》是初中重要的平面幾何認知，與學生生活、現實空間都有著明顯的聯系。學生在學習過程中能得到直覺上的支持，再加上這一章節的綜合性，許多題目有著多樣的形式結構，這些都為培養學生的直觀想象能力創設了極好的條件。

就以往的經驗來看，在教學過程中教師沒有利用好這一章節切實地落實學生的直觀想象素養。如果學生的直觀想象素養得到了提升，他們就能發現解決問題的思路，進而促進多元思維的發展。

教師在講解直線與圓的關系時，沒有直接從書上的概念入手，也沒有在黑板上展示相關的圖片，而是在早上將學生帶到一個湖邊，讓他們趴在欄桿上看日出。對于這樣的情境，學生感到新奇，自然就愿意投入其中。學生一開始看到的是太陽還沒有從湖面上升起來，用他們自己的話說，看到的只是害羞的太陽的小半個臉。教師問學生：如果從數學的角度來看，這是一幅怎樣的幾何圖形？學生盯著遠處還沒露出水面的太陽說，是不是一條直線與半個圓，如果想象一下的話，應該是這條直線穿過這個圓。學生繼續觀看，他們看到太陽正好從地平線上出來了，教師問：這是一個怎樣的圖形呢？學生想了想說，一條直線貼著圓走過，好像要與圓相交，又好像要與圓分離。這一刻學生還沒有接觸到切線的概念，他們用自己的語言描述了這樣一個關系。可以確切地看到，教師創設這樣的情境，讓學生的直觀思維充分展現了出來。再接著，學生看到了太陽離開了地平線，越過了周圍的一些建筑物，用學生的話說，直線與圓越來越遠了。教師讓學生將看到的日出場景以簡筆畫的形式表現出來，學生畫出的就是三個不同的直線與圓的位置圖。帶著具體的景象，帶著剛才的想象，學生更容易在所畫的圖像中研究直線與圓關系的內核。可見，教師要多創設真實有效的情境，讓學生的直觀思維飛起來，進而激發其他思維。

三、設計教學活動，提高學生的邏輯推理能力

數學是思維的體操，思維與數學是緊密聯系在一起的。教師在教學中不注重培養學生的思維能力，那么學生的數學能力也得不到根本的發展。思維能將數學教學推向深遠，能讓學生進入深度學習的狀態。邏輯推理能力是重要的思維能力，是關鍵的數學素養。當學生擁有一定的邏輯推理能力，他們就能自己構建起一定的數學知識體系，就能夠自主地、嚴謹地思考問題。在《直線與圓的位置關系》這一章節的學習中，教師要給學生提供邏輯推理的條件與機會，就是要讓他們自己參與到具體的數學活動中來，讓他們自己去體驗、猜想、實驗、推理和論證。這一系列的數學活動其實就是邏輯推理能力產生與發展的過程，在這個過程中，教師要做好指導工作，要讓學生掌握正確的方法，進而提升他們的邏輯推理素養。

以圖3為例，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F是CD的中點，連接OF。教師先問學生：OD與BE有怎樣的位置關系？學生先是根據題目中的文字說明將圖形畫出來，也就是說，學生在猜想之前先是動手作圖。圖形畫出來之后，學生通過直接的觀察，發現OD與BE應該平行，這是他們的猜想。接著他們就開始推理，依據一般的作輔助線的規律，學生先是連接OE，從AM、DE是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑等條件出發，得出：∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∠AOD=∠EOD=∠AOE，再結合∠ABE=∠AOE，推斷出：∠AOD=∠ABE，OD∥BE。為了進一步提升學生的推理能力，教師讓學生猜一猜圖中還有哪些線段存在一定的等量關系。要想猜，就需要實驗。學生將圖形剪下來，進行一定的拼湊，他們發現OF可能只有CD的一半。明顯地，學生已經掌握了一般的推理過程，即，需要親手操作或者從實驗入手，再做大膽的設想。學生發現BC、CE是⊙O的切線，這一條件還沒有利用，他們連接OC，進而得出：OCB=∠OCE。他們再從AM∥BN出發，推斷出∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°。接著他們由∠ADO=∠EDO，得出2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°。最后他們利用Rt△DOC中F是DC的中點這一條件，得出OF=CD。總之，教師要多創設需要進行邏輯推理的數學活動，讓學生的思維得到充分鍛煉，讓素養噴薄生長。

四、結束語

初中數學學習是義務教育階段第三學段的數學學習，要凸顯其基礎性和生長性，一方面要注意知識的學習起點，即知識從哪里長出來，另一方面要注意知識的延伸性，即知識最終走向哪里，教師必須從整體上把握知識的結構。在把握知識整體架構的前提下，教師要在初中數學學習過程中著眼于發展學生的學習能力，不能局限于掌握數學知識本身，更多地關注學生在學習過程能力的發展、素養的提升。因此，教師要從發展學生的核心素養出發，抓實日常的課堂教學，在學習過程中培養學生的核心能力，使其養成核心素養。

【參考文獻】

[1]韋麗云.“構建初中數學高效課堂教學模式”再思考——以“直線與圓的位置關系”教學為例[J].中學數學教學參考，2017（18）.

[2]顧靖楠.例談初中數學概念課的教學——以《直線與圓的位置關系（1）》為例[J].好家長，2017（13）.