數學思維教學，落實核心素養

程龍云

摘要：高中數學教師是善于思考的學習者，是落實數學學科核心素養的引導者和推動者。在高中數學教學中，教師需要以生為本，思維教學，設計高階思維的問題鏈，多元表征數學學科知識，促進學生自主學習、智慧學習，學會聯系遷移、比較分析、優化選擇和自覺反思，重組認知結構，構建元認知系統，真正落實數學核心素養。

關鍵詞：思維教學? 認知結構? 元認知系統? 數學核心素養

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中指出，高中數學教育應以生為本，立德樹人，優化課程結構，把握數學本質，重視過程評價，聚焦核心素養，為學生的可持續發展和終身學習提供可能。教師是落實核心素養的引導者和推動者，教學是教和學的互動，教師對教學的設計和設計意圖比其自身具備的知識更為重要。如何進行思維教學？為何這樣設計？能否再創新？這些都是我們一線青年教師需要經常反復思考的問題。

下面筆者僅就自己的教學經驗，以《正切函數性質與圖像》為例，說一說核心素養下對高中數學教學的幾點思考。

二、教材分析、學考分析和設計意圖

（一）教材分析

《正切函數性質與圖像》選自普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學必修四第一章第四節內容。正切函數和正、余弦函數同屬三角函數。正切函數是三角函數的下位概念，而三角函數是函數的下位概念。研究函數的性質有兩種方法，一種是先做圖，觀圖得性質;另一種是據舊知探性質，由性質做圖像。因此，筆者認為本課重點是正切函數的圖像及其主要性質（如周期性、單調性、奇偶性、最值或值域）和深化研究函數性質的思想方法，難點是正切函數性質的分析、總結及圖像的得來。

（二）學考分析

本課開始之前，學生已經有了正、余弦函數的研究經驗，可以遷移到對正切函數性質的研究中。另外，高考題中常有判斷未知函數圖像的題型。這種題型的特點是函數圖像不易得到，需要從函數的性質出發推斷函數的大致圖像。

（三）設計意圖

筆者設計本課教學旨在引導學生由函數性質得到函數圖像，聯系舊知，并進行遷移、比較和分析，在性質的指導下更加有效地做圖、研究圖像，拓寬學生研究函數的視角，強化學生數形結合研究問題的意識，培養學生數學抽象、邏輯推理和發散思維等數學核心素養。

三、教學思考

人的學習由簡單到復雜，是一個以已習得的知識技能為基礎，經過不斷累積，獲得新知識、新技能的過程。高中數學內容抽象，結構復雜，學生需在教師的引導下不斷地進行數學學習，逐步提升自身的數學核心素養。高中數學核心素養由數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數據分析六大要素構成。數學核心素養來自數學知識所內含的數學思想方法，而數學思想方法的核心又是數學思維。數學思維是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用的內在活動，具有高度的理性和規律性。高中數學教師是善于思考、有思想的學習者，是善于啟發的引導者，是落實數學核心素養的推動者。數學教學是思維活動的教學。教師通過思維教學，引導學生探索數學知識、實踐數學方法和感悟數學思想，提升數學認知構建和元認知構建能力，真正落實數學核心素養。

（一）通過問題鏈關聯遷移，提升高階思維能力，重組認知結構，實現教學動力牽引

正切函數屬于定義概念，較為抽象。基礎性學習經過遷移可達成較復雜、較高級的學習。思起于疑，沒有問題就沒有思考。蘇霍姆林斯基指出，在人的內心深處，每個人都渴望去發現、去探索、去研究。因此，筆者從學科內部聯系出發，創設問題情境，呈現有層次、有梯度的“問題鏈”，引導學生自主聯系正、余弦函數學習經驗進行遷移。筆者認為從正切函數研究路徑（從性質到圖像）到函數研究一般路徑（數形結合）的完善需要進行橫向遷移，而具體的函數性質的研究則需要進行縱向遷移。

復習正、余弦函數相關知識后，在橫向遷移作用下，學生很容易得出本課的研究對象是正切函數。學生不知不覺產生研究意識，自主進入數學活動。由于新舊概念的研究存在著某些共同的特征，這也給正切函數的研究帶來了困難。筆者設計讓學生思考如何進行正切函數的研究，且筆者對學生的回答不做評判性的回答，暫時將這個問題擱置，促發學生的批判性思維和發散思維。

新舊知識的相互作用產生有意義的新知識，同時，學生的認知結構不斷改組，發生了量變或質變。當學生心存疑惑時，筆者讓學生思考定義域對函數圖像的影響，引導學生進行差異比較，自主發現細節差別。正、余弦函數的定義域是R，是連續的集合，所以在用“五點做圖”法做正弦函數圖像時連線用的是“連續的、平滑的曲線”;而正切函數的定義域是xx≠π2+kπ，k∈Z，是一個不連續的集合。那么，該如何連線呢？學生的思維水平存在差異，若筆者此刻就明確連線的操作，勢必會造成部分同學對正切函數單調性知識的不理解或理解不透徹，學生會存在思維遺漏。因此，筆者將這個問題暫時擱置。而此時，學生已體會到聯系舊知可知正切函數圖像的特點。借此契機，筆者引導學生再次關聯、回憶舊知，找出正切函數圖像的其他特點，為正確做出正切函數的圖像鋪墊。

對不同的信息進行加工就能將舊知成功轉化為有用的信息。通過對已有正切函數的知識的提取、選擇、分析、組織和判斷，學生會自覺意識到正切函數的研究路徑可以由性質到圖像，數形結合思想自然生成，水到渠成。當學習者發現有關的概念或命題之間的新關系時，學習就會變得更有意義。

問題1：如何得到比較精準的正、余弦函數圖像？

問題2：正、余弦函數性質主要有哪幾個方面？

問題3：我們還需要研究哪個三角函數？如何進行研究？

問題4：研究正切函數首先需要考慮哪個要素？ 這個要素對函數圖像有什么影響？

問題5：你知道哪些和正切函數相關的知識？根據這些知識，你還能得出正切函數圖像的什么特點？

問題6：研究函數的一般路徑是怎樣的？

問題7：你選取哪個區間做正切函數圖像？為何選這個區間？

問題8：觀察視頻，說說你對正切函數的單調性的理解。

問題9：你能說出正切函數的值域是什么嗎？

問題10：你能做出整個定義域上的正切函數圖像嗎？

問題11：你能根據正切函數圖像說出正切函數的性質嗎？

問題12：正切函數在整個定義域上是單調遞增函數嗎？

在以學科內部聯系進行情境創設時，筆者認為要以“學生的最近發展區”為前提，挖掘數學知識的內在邏輯聯系，將數學知識轉化為具有潛在意義的、有層次有梯度的問題或問題鏈，不斷觸發、牽引學生自覺搜索已有的認知結構，“以舊引新”，使得以命題網絡和圖式呈現的陳述性知識向以產生式系統貯存的程序性知識過渡，完善產生式系統，實現策略性知識的發生、發展，不斷進行自我監督、反思調整，構建優良的認知結構和元認知系統，提升學生數學高階思維技能，使數學核心素養在數學教學動力牽引下真正落實。

（二）運用信息技術下的多元表征，突破學科思維難點，形成數學思維場，實現教學深度發展

數學多元表征能凸顯一個數學對象的多元屬性，積極促進理解數學和問題解決。呈現雙通道的“信息包”會提供學習者深度意義的學習機會，并促進學習者學習的深刻性。“不憤不啟，不悱不發。”對于抽象性表征，則需要多元表征來激發學習者進入“憤”“悱”狀態。在對正切函數單調性和值域的研究過程中，蘊含了豐富的數學思想，如特殊到一般、有限到無限、數形結合等。筆者結合之前的教學經驗，發現很多學生對部分內容的學習很費力，有的可能還存在思維盲點，如對正切函數的單調遞增區間是kπ-π2，kπ+π2，k∈Z，而正切函數在整個定義域上卻不是增函數，于是不少學生對此不能理解。圖形、動畫或視頻都是呈現信息的最優途徑。多元表征能提供互補性信息，且能支持互補的認知過程。因此，筆者安排了利用正弦線看正、余弦函數單調性的變化課前預習視頻，由觀察正切線的變化看正切函數的單調性的課上視頻。筆者在總結之前的教學經驗時發現，正切函數在-π2，π2或者0，π2上做圖這一環節時，有部分學生不認真做圖，或者隨意做圖，從而不知道做正切函數圖像的關鍵點。因此，筆者利用動畫演示了在一個連續的周期區間-π2，π2上做圖和在整個定義域xx≠π2+kπ，k∈Z上做圖。筆者采用解析式、正切線和正切函數曲線不同的表征方式，即符號表征和圖像表征，并以多媒體形式呈現，豐富正切函數的外在表征，形成對正切函數的理性認識，從視覺與思維的相互驗證中啟發學生理解知識的形成、發生和發展的過程，引導學生進行不同表征方式之間的聯系，提高學生在不同表征方式系統間或系統內的相互轉化和互譯，加深學生對正切函數的理解，清除思維障礙，避免思維遺漏，實現認知過程的互補，完善學生的認識結構，形成思維場，實現教學深度發展，提升學生的數學核心素養。

（三）采用多元互動反饋，優化元認知系統，智慧學習提升素養，實現課堂價值升華

數學教學應致力于培養數學學習者三大能力，即發現問題的能力、系統表述問題的能力和解決問題的能力。同時發現問題和系統表述問題較解決問題更為重要。而遷移是數學學習的有效方法。筆者通過典例的板演示范實現數學“換元法”解題的遷移，培養學生思維的嚴謹性;設計基礎性限時練習搶答激發學生的學習興趣，促使學生注意力高度集中;最大化利用智慧課堂平臺實現師生的積極互動、及時反饋、評價，培養數學思維的敏捷性，增進師生情感交流。為滿足不同層次學生學習的需要，筆者設計了分層作業，其中必做題主要是為鞏固基礎，選做題是為訓練思維，旨在將數學思維的培養延伸到課外，激發學生主動進行思維培養的意識，優化元認知系統。

及時總結是學習中必要的思維綜合、提升過程。思維導圖表達知識的層次結構，是思考后的反映，是放射性思維的具體體現，能促進學生的新舊知識關聯，并加深其緊密聯系的程度，促進知識內化，突出核心知識，使得知識結構的邏輯更清晰。在小結階段筆者設計學生總結環節，教師點評并以思維導圖的形式呈現學習收獲，引導學生重組認知結構，優化元認知系統，提升學生數學學習品質，實現課堂教學價值的升華。

典例分析

例題：求函數y=tanπ2x+π3的定義域、周期、單調區間。

限時訓練

下面檢測一下大家的學習效果。第一題，時間2分鐘。

1.函數f（x）=tan2x+π4的定義域是（? ）

A.xx≠kπ2+π8

B.xx≠kπ2-π8，k∈Z

C.x|x≠kπ2+π8，k∈Z

D.xx≠kπ2-π8

簡析：2x+π4≠π2+kπ，k∈Z

答案：C

第二題，搶答。

2.求函數f（x）=tan2x+π4的周期。

簡析：T=π|ω|

答案：π2

第三題，搶答。學生上黑板板演。

3.求函數f（x）=tan2x+π4的單調區間。

簡析：-π2+kπ<2x+π4<π2+kπ，k∈Z

答案：-3π8+kπ2，π8+kπ2，k∈Z

作業布置

必做題：人教A版課本：P47 A組 第6、7、8、9題;B組第2題。

選做題：1.請證明函數y=tan（ωx+φ），A≠0，ω≠0的周期是T=π|ω|。

2.證明π是正切函數的最小正周期。

四、結尾

通過本節課的設計、實踐與反思，筆者認為高中數學教師在設計課堂教學時，應在深刻理解教材的基礎上，著力思考數學問題的提問藝術，努力提出值得思考的具有潛在意義的數學問題;努力掌握數學專業軟件信息技術，用現代科技手段輔助數學教學，增加知識的容量，增強數學思維的可視化，化抽象為具體，促進學生數學發散思維和邏輯思維的提升;引導學生對新舊知識合理聯想并遷移，對比進行差異分析，準確使用數學語言，優化設計解決問題，使得高中數學課堂更生動、豐富;做好多元智能教學，真正落實核心素養，創造智慧的數學課堂，努力引導學生用數學的眼光多角度地觀察世界，用嚴謹的數學態度對待生命，用數學的思維創造豐富的人生。

本節課經過和多位同仁不斷商討，修改后最終得以呈現，授課效果甚好，筆者受益匪淺，在此特別感謝各位同仁的幫助。

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