徐炎

【摘要】數(shù)學(xué)概念課對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)至關(guān)重要，筆者所在的學(xué)校在2010年提出了“四導(dǎo)四學(xué)”教學(xué)模式.在中學(xué)數(shù)學(xué)概念課堂中實(shí)踐“四導(dǎo)四學(xué)”模式，可以讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般再到特殊的探究學(xué)習(xí)過程，從學(xué)生視角，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，實(shí)現(xiàn)教師、學(xué)生的雙元合一，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】問題;數(shù)學(xué)概念;核心素養(yǎng)

一、教材說明

蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章“二次函數(shù)”第一節(jié)“二次函數(shù)”.

二、重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次函數(shù)概念的生成過程.

難點(diǎn)：確定二次函數(shù)的表達(dá)式及自變量的取值范圍.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷探索兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的過程，會(huì)用數(shù)學(xué)式子描述某些變量之間的數(shù)量關(guān)系.

2.讓學(xué)生通過對(duì)實(shí)際問題情境的分析，確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)的意義.

3.讓學(xué)生通過實(shí)例分析，進(jìn)一步感受函數(shù)的應(yīng)用和自變量的取值范圍.

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1 課前熱身 回顧舊知 激趣課堂

教師：“函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.前面學(xué)習(xí)了一些常見的函數(shù)關(guān)系，讓我們一起走進(jìn)課前熱身.”

1.食堂原有煤120噸，每天用去5噸，x天后還剩下煤y噸，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是.

2.一個(gè)面積為6400 m2的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a（m）隨著寬b（m）的變化而變化，則a關(guān)于b 的函數(shù)關(guān)系式是.

3.水滴激起的波紋不斷向外拓展，所形成的圓的周長(zhǎng)C和半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式是.

4.圓的面積S和半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式是.

學(xué)生先獨(dú)立思考，再回答上述問題中涉及的函數(shù)關(guān)系式是什么函數(shù).教師可借此帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)一次函數(shù)、正比例函數(shù)和反比例函數(shù).二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后的又一種重要的代數(shù)函數(shù)，是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.教師帶領(lǐng)學(xué)生在熟悉的水滴激起波紋的問題中發(fā)現(xiàn)新函數(shù)關(guān)系.

教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和經(jīng)歷，展示二次函數(shù)章節(jié)知識(shí)樹，從而使學(xué)生知曉本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

環(huán)節(jié)2 導(dǎo)預(yù)疑學(xué) 預(yù)學(xué)糾錯(cuò) 生成概念

活動(dòng)：學(xué)生展示預(yù)學(xué)成果，用函數(shù)表達(dá)式表示問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

（1）水滴激起的波紋不斷向外拓展，所形成的圓的面積S與半徑r的函數(shù)關(guān)系式：S=.

（2）某產(chǎn)品年產(chǎn)量為30臺(tái)，計(jì)劃今后每年比上一年的產(chǎn)量增長(zhǎng)率為x，試寫出兩年后的產(chǎn)量y（臺(tái)）與x的函數(shù)關(guān)系式是.

（3）用長(zhǎng)16 m的籬笆圍成長(zhǎng)方形生物園飼養(yǎng)小兔，長(zhǎng)方形的面積y（m2）與長(zhǎng)x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是.

（4）某地區(qū)原有20個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)，平均每個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)養(yǎng)奶牛2000頭.后來由于市場(chǎng)原因，決定減少養(yǎng)殖場(chǎng)的數(shù)量，當(dāng)養(yǎng)殖場(chǎng)每減少1個(gè)，平均每個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)的奶牛數(shù)將增加300頭.如果養(yǎng)殖場(chǎng)減少x個(gè)，那么該地區(qū)奶牛總數(shù)y（頭）與x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式是.

思考：上述問題中有幾個(gè)變量？自變量是什么？都是關(guān)于自變量的幾次式？比較函數(shù)關(guān)系式的共同點(diǎn)，能用一般的式子表示它們的共同之處嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述問題的關(guān)系式都是關(guān)于自變量的二次式，將表達(dá)式寫成按照自變量的指數(shù)由高到低排列的形式，歸納出二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫二次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).

教師同步板書，并進(jìn)行概念的學(xué)法指導(dǎo).想要理解二次函數(shù)的定義要把握三點(diǎn)：（1）函數(shù)關(guān)系式形式上等號(hào)左邊是y，右邊是關(guān)于自變量x的整式;（2）a，b，c是常數(shù)，a≠0是定義的一部分，不能少;（3）等式右邊的自變量的最高次是2.

環(huán)節(jié)3 導(dǎo)問研學(xué) 問題探究 解決質(zhì)疑

提出問題比解決問題更重要.在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑.在問題探究中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，讓提出質(zhì)疑的學(xué)生和其他學(xué)生交流，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的能力.

教師結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題.

問題1：如何利用二次函數(shù)的定義解決問題？

出題角度1：應(yīng)用二次函數(shù)的定義識(shí)別二次函數(shù).

活動(dòng)1：下列函數(shù)表達(dá)式中，一定是二次函數(shù)的是（? ）.

A.y=3x+1B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1D.y=x2+1x

變式：下列函數(shù)：

（1）y=1-x2;

（2）y=2x;

（3）y=x（x-3）;

（4）y=ax2+bx+c;

（5）y=2x+1;

（6）y=（x+2）（x-2）-x2;

（7）y=x2-3z;

（8）y=（a2+1）x2-x+3.

其中是二次函數(shù)的有.

出題角度2：應(yīng)用二次函數(shù)的定義確定字母的取值或取值范圍.

活動(dòng)2：（1）若關(guān)于x的函數(shù)y=（a-2）x2-x+1是二次函數(shù)，則a的取值范圍是;

（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=xa2-3a+4-x+1是二次函數(shù)，則a的值是;

（3）若關(guān)于x的函數(shù)y=（a-2）xa2-3a+4-x+1是二次函數(shù)，則a的值是.

歸納：解決問題時(shí)要緊扣二次函數(shù)的定義，從整式，自變量最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0三個(gè)方面來看.

問題2：如何根據(jù)實(shí)際情境分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式及自變量的取值范圍？

活動(dòng)：寫出下列問題中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.

（1）正方形的面積是9，若邊長(zhǎng)減少x，則減少后的正方形的面積y.

（2）化肥廠10月份生產(chǎn)化肥200 t，設(shè)該廠11月、12月的月平均增長(zhǎng)率為x，12月份的化肥產(chǎn)量為y（t）.

（3）兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)和是10，設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x，兩個(gè)正方形的面積和為y.

（4）某汽車租賃公司有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車日租金每增加10元，每天出租的汽車就會(huì)減少5輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高10x元時(shí)，公司日租金收入為y元.

問題1是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)二次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，應(yīng)用概念解決問題，鞏固概念，加深對(duì)概念的理解，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用.問題2是先讓學(xué)生獨(dú)立思考后分小組解決問題，完成后小組間糾錯(cuò)整改完善，學(xué)生能解決的問題讓學(xué)生獨(dú)立合作解決，教師在過程中提醒注意點(diǎn)、提煉通法.學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)揮了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，養(yǎng)成了分析問題、語言表達(dá)、合作交流、思辨的能力以及和同學(xué)溝通交流的能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活問題，用數(shù)學(xué)的思維思考生活問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)生活問題.

環(huán)節(jié)4 導(dǎo)法慧學(xué) 回顧課堂 總結(jié)通法

教師以思維導(dǎo)圖的形式展示課堂的學(xué)習(xí)板塊，引導(dǎo)學(xué)生回顧課堂學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，提煉解決同一類問題的通法和學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念的通法，即從特殊到一般再到特殊的學(xué)習(xí)方法，達(dá)到慧學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo).

五、設(shè)計(jì)自述

章建躍博士強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)是玩概念的，數(shù)學(xué)是使用概念思維的，在概念教學(xué)中養(yǎng)成的思維能力最強(qiáng)[1].”數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)其他相關(guān)知識(shí)的前提和基礎(chǔ)，只有牢固學(xué)好數(shù)學(xué)基本概念，深入理解概念，才能提高基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成基本數(shù)學(xué)技能.一位數(shù)學(xué)教師的基本功，往往就看他引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念的能力[2].本節(jié)課是二次函數(shù)的第一節(jié)概念課，為了能夠達(dá)到概念課的預(yù)期教學(xué)效果，在備課時(shí)，筆者認(rèn)真研讀教學(xué)大綱、教材等相關(guān)資料，熟知了學(xué)生的學(xué)情、班情，結(jié)合之前函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)了本節(jié)課的教學(xué)過程.

1.從實(shí)際生活中的熟悉情境引入新問題，啟發(fā)新思考，發(fā)現(xiàn)新函數(shù)

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)的圓的周長(zhǎng)隨著半徑的變化而變化，是大家熟知的一次函數(shù)關(guān)系，從而復(fù)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念，回顧學(xué)法，接著提出新的問題：“圓的面積隨著圓的半徑的變化而變化，這又是一個(gè)什么新的函數(shù)關(guān)系呢？”為了加深學(xué)生的印象，教師又列舉了大量的有相同函數(shù)關(guān)系的實(shí)際問題，讓學(xué)生感受二次函數(shù)是生活中很常見的函數(shù)，學(xué)習(xí)二次函數(shù)可以幫助其更好地解決實(shí)際問題.

2.基于學(xué)生的問題貫穿課堂，變式訓(xùn)練，突破重難點(diǎn)，強(qiáng)化對(duì)概念的理解和應(yīng)用

顧明遠(yuǎn)先生指出：“只有會(huì)思考并能提出問題，才能培養(yǎng)學(xué)生批判性思維、創(chuàng)新思維的能力.”本節(jié)課，教師課前做了大量的問題搜集，圍繞學(xué)生的預(yù)學(xué)問題開展學(xué)習(xí).教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)主問題和三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，結(jié)合變式訓(xùn)練拓展學(xué)生的思維.為了突破確定二次函數(shù)表達(dá)式和自變量取值范圍的難點(diǎn)，教師通過大量實(shí)例，在實(shí)際問題中不斷滲透二次函數(shù)關(guān)系，逐步培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)關(guān)系式刻畫變量之間的變化關(guān)系，從而使學(xué)生能逐步嘗試描述關(guān)系，進(jìn)而思考自變量在實(shí)際問題中的限制條件，從而確定取值范圍.

3.把握概念教學(xué)的本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

教師應(yīng)把握概念教學(xué)的本質(zhì)，從促進(jìn)學(xué)生思維角度開展教學(xué)，滲透從特殊到一般的歸納、推理、建立數(shù)學(xué)模型、形成數(shù)學(xué)概念的思想，進(jìn)而形成解決一般問題的數(shù)學(xué)思想方法.教師圍繞本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，以“問題+活動(dòng)”的形式，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的概念.這樣的設(shè)計(jì)可使學(xué)生真正理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的概念并更好地運(yùn)用二次函數(shù)的概念解決問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]卜以樓.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2018.