問題導學下高中數學高效課堂教學探究

花新礦

[摘? ?要]數學課堂教學的高效源于“問題”的解決.以“問題”為主線，從多方面、多角度引導學生自主探究解決問題的方法，可以拓寬學生解題思路，開闊學生思維.

[關鍵詞]問題導學;高效課堂;高中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0025-02

一、問題的提出

題目：在雙曲線[x23-y2=1]上，求一點P，使它和兩焦點[F1、 F2]的連線互相垂直.

教師：本題是課本中一道具有代表性的習題，可以說它是圓錐曲線問題的典例之一，涉及探究曲線上特殊點問題.通過對該問題的探究，讓學生掌握此類問題的解決辦法，進而歸納出問題解決的通法，對變式問題的探究具有指導意義.

問題一：請同學們想一想，本題有幾種解題方法？（開門見山，提出學習任務）

二、解題方法的探究

教師悉心引導學生思考問題，并按要求寫出解題過程.為了合作學習，教師特地請幾位學生代表口述其解法，分享研究成果，教師板書.

解法一：[a=3]，[b=1]，[c=2]，設[Px0 ， y0]，[F1-2， 0]，[F22， 0]，由[PF1⊥PF2]得，[k1k2=-1]，即[y0x0+2?y0x0-2=-1?x20+y20=4.]又[x203-y20=1]，解方程組[x20+y20=4，x203-y20=1，]得[x20=154，y20=14，]所以滿足題意的點P共有4個，即

[P1152，? 12] ，[P2152，-12] ，[P3-152，? 12] ，[P4-152，-12].

解法二：由[PF1⊥PF2]可知，點P是在以[F1F2]為直徑的圓上，且[F1F2=2c=4]，[x20+y20=4].又[x203-y20=1]，以下解題過程同上.（略）

解法三：由[PF1⊥PF2]得，[PF1?PF2=0]，[PF1=-2-x0，-y0]，[PF2=2-x0，-y0]，由[PF1?PF2=0]得[-2-x0?2-x0+y20=0]，即[x20+y20=4].以下解題過程同上.

解法四：因為[PF1=ex0+a]，[PF2=ex0-a]，其中[e=23]，[a=3]，所以[PF1=23x0+3]，[PF2=23x0-3]，由[PF12+PF22=F1F22]，[23x0+32+23x0-32=4]，解得[x20=154].又[x203-y20=1]，所以[y20=14].以下解題過程與解法一相同.

解法五：設[PF1=m]，[PF2=n]，則由[PF1⊥PF2]得[m2+n2=16]，不妨設[m>n]，則由雙曲線定義可知，[m-n=23]，[F1F2=4]，由方程組[m2+n2=16，m-n=23，]得[mn=2].設[△PF1F2]的面積為S，則[S=12mn=1].又[S=12F1F2×y0=2y0]，所以[y0=12].以下解題過程同上.

教師針對以上五種解法，可提出下面的問題.

問題二：你能說說以上解法的理論依據嗎？

解法一是根據平面解析幾何中當兩條直線的斜率之積為-1時，它們才互相垂直.

解法二是利用點P是直徑為[F1F2]的圓上的移動點，又知點P在已知曲線上，可以根據點P滿足的方程組解出其解.

解法三是根據平面向量的數量積運算公式和兩向量互相垂直的充要條件解決問題.

解法四是巧妙地應用二次曲線的焦點半徑公式來解決問題，簡化了操作過程.

解法五是利用雙曲線的定義和勾股定理計算出[mn=2]，然后用三角形面積公式進行變換，進而求出點P的坐標.

問題三：通過上述解法，你有什么收獲？

學生甲：解法一是常規方法，容易想到，不足之處是運算量比較大;解法二是不容易想到用圓的性質來解題，這種方法技巧性比較強.

學生乙：解法三還是比較容易想到的，可操作性合理，而且解題思路很清晰，容易理解.解法四是利用雙曲線的焦半徑公式解題使得運算過程簡單化.

學生丙：對于解法一至解法四，我與以上兩位同學的想法是一致的.解法五是將問題轉化為求解直角三角形問題，難度比較大，原因是所用的公式變形不易，技巧性較大，涉及許多知識點，如三角形面積公式、勾股定理、完全平方公式以及雙曲線定義等.因此這種方法難以接受.在這五種解法中，本人更加傾向于解法一、解法三和解法四.

教師：這三位同學分析得非常好，我很贊同.下面我就以上解法談談自己的看法.本題考查“垂直”問題，可以從直線方程入手，考慮兩直線的位置關系，兩條線之間的垂直關系當且僅當[k1k2=-1]，通過點坐標代入即可.當然也可以從平面向量方面著手，利用[PF1?PF2=0]和相關公式即可求解.另外，還可以把問題轉化為解三角形，利用雙曲線定義、勾股定理、完全平方公式以及三角形面積公式等知識解題.以上這些方法的特點是通過“轉化”的思想方法來解題.這也是我們解題需要具有的一種基本的技能和方法.

三、問題升華，總結規律

問題四：在上面解法五中，應用面積公式計算得到[S△PF1F2=1]，請同學們思考一下，這個結果是否有一定的規律性？（教師在黑板上寫上雙曲線方程[x23-y2=1]，引起學生的注意）

學生丁：老師，我認為三角形的面積是[S△PF1F2=b2]，其中b是雙曲線的虛半軸長.

教師：為什么？你能推理你的研究成果嗎？

學生丁：好的.

題目：已知點P在雙曲線[x2a2-y2b2=1]上，焦點是F1和F2，且[∠F1PF2=α]，求[△PF1F2]的面積.

解析：設[PF1=m]，[PF2=n]，不妨設[m>n]，則[m-n=2a]，由余弦定理得

4c2 = m2 + n2 - 2mncos [α]=（m-n）2+2mn（1-cos [α]）=4a2+2mn（1-cos [α]）

即[mn=2b21-cos α]，[S△PF1F2=12mnsinα=b2·sin α1-cos α=b2tanα2]，特別地，當[α=90°]時，[S△PF1F2=b2].

教師：這位同學推理很完美.老師還有這樣的疑惑，如果把題目進行變式，你能解嗎？

變式題：已知點P在雙曲線[x2a2-y2b2=1]左支上，焦點為F1和F2，且[∠PF1F2=θ]，求[△PF1F2]的面積.

此時教室里安靜下來，學生認真演算.過了五分鐘，學生乙舉手示意，教師叫他上黑板板書.

解析：設[PF1=r1]，[PF2=r2]，且[r2>r1]，則[r2-r1=2a]，由余弦定理得[r22=r21+4c2-4r1ccosθ]，將[r2=r1+2a]代入可得[r1=b2a+ccos θ]，

[S△PF1F2=12r1·2c·sinα=b2csin θa+ccos θ]，特別地，當[θ=90°]時，[S△PF1F2=b2ca].

四、總結歸納

本題多種解法中，我們應用了哪些重要的數學思想方法？你得到哪些收獲？

【課例評析】

下面就本課例談談教師課堂教學的體會.

1.“問題的提出”是課堂教學的首要條件，問題設計的合理性直接影響教學效果.教師所選的題目很好，原因有二：一是從特殊點入手，符合事物的發展規律（特殊到一般）;二是對通解通法的總結、歸納.

2.解題方法的探究，也就是平常說的“通法”.所謂“通法”，即對一類問題的共同特征進行處理的通用策略.教師課堂教學的開放性為學生提供了廣闊的研究空間，把學習的主動權還給學生，讓他們自主研究問題，做到提出問題、分析問題和解決問題.更為重要的是，學生在教師的精心引導之下，知識面得到了拓寬，完善自我，豐富了他們認識事物的內涵.

3.學生通過自主探究改善知識結構，總結出解決問題的新方法.本節課里，教師大膽地把問題進行變式，讓學生探索.變式問題使得題目難度加大，讓學生嘗試不同條件下的問題解決方法.同時，學生在“問題”的探索中成長，不斷提高自己.

4.高效課堂教學要有歸納、總結，這個環節不能忽視.在本節課中，教師所設計的問題，不僅提供解決問題的方法，而且還對方法進行歸納、總結，這樣有助于優化學生的知識結構，提高他們的解題速度，提升他們解決問題的能力.

總之，構建有效課堂是教學改革的一個重要任務，這種課堂要求“為學而教”，學生團結互助，共同學習，共同進步，教學效果是高效的.構建高效的課堂，最終目標將轉移到學生的全面發展上.因此，構建高效課堂是一個漫長而有意義的過程，需要不懈的努力.

（責任編輯 黃桂堅）