用幾何畫板 教漂亮數學

陳燕萍

[摘 要]幾何畫板是一款動態幾何工具，適用于數學的分析、作圖等，它有強大的作圖與動畫等功能.幾何畫板技術與數學課堂教學深度融合，能使靜態的數學圖形運動起來，能展示數學的動態之美、直觀之美、圖形之美、邏輯之美，激發學生學習數學的興趣，有助于發展學生的數學核心素養，打開數學課堂教學的另一扇窗.文章運用幾何畫板，探索數學課堂教學與信息技術深度融合的方式.

[關鍵詞]幾何畫板;信息技術;數學課堂教學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0012-03

數學是一門集數形關系知識于一身的學科，很多的數學課堂教學，還是以粉筆、三角板（圓規）等工具開展講授、板書等主要的教學活動，往往只能呈現變化過程中的某一靜止狀態，不容易挖掘數與形之間的關系，發現它們的變化規律，學生感覺數學學習很困難，教師感覺數學教學很辛苦.

信息技術與課堂教學深度融合，為學生提供豐富的資源，讓課堂學習變得有趣一點，輕松一些，對調動學生的學習積極性有重要作用.幾何畫板是一款動態幾何工具，適用于數學的分析、作圖等.本文嘗試運用幾何畫板探索數學課堂教學與信息技術深度融合的方式：借助幾何畫板強大的圖形處理和動畫處理功能，探索數與形之間的關系，展示數學的動態之美、直觀之美、圖形之美、邏輯之美，讓數學運動起來，使問題化難為易，激發學生學習數學的興趣，發展學生的數學核心素養，打開數學課堂教學的另一扇窗.

一、運用幾何畫板，探究幾何定理、概念的形成過程，發展學生的思維能力

數學課程標準中指出：數學教材內容要呈現數學知識的形成過程.在教學過程中，可以運用幾何畫板探究概念的形成過程.運用幾何畫板指導學生動手操作，指導學生觀察現象，度量、統計與分析數據，歸納總結各種情況，打破了傳統的“教師講授—學生練習—強化記憶—測試講評”的教學模式，改變為“問題—實驗—觀察—猜想—證明—應用”的新探究模式.通過系列探索，容易開闊思路，發展思維，提升素養.

例如，《平行線分線段成比例定理》一課的學習難度大，學生理解、記憶及應用都比較困難. 如果讓學生動手進行測量、計算、歸納，需要大量的時間，所以許多教師在上這一課時，都會直接告訴學生結論，讓學生生硬記憶，或者花上很多時間進行探究，效果并不理想.但是通過幾何畫板的測量、計算等功能，直觀地展示測量與計算結果，就能吸引學生眼球，促進學生積極參與課堂活動和思考，使得教學任務輕松愉快地完成，并達到讓學生長時間記憶不忘記的目的.

教學時，先出示圖形與題目“已知：[L1∥L2∥L3]，探究[AB]∶[BC]與[DE]∶[EF]的關系”.運用幾何畫板作出測量與計算（如圖1），不斷拖動平行線及兩條截線的位置，觀察數據.

學生發現：只要平行條件不變，無論如何變換不同的位置，兩組線段的比值始終都是相等的.由此得到的結論，學生學得輕松，記得牢固.接著再次改變圖形，讓點A與D重合（如圖2），結論同樣成立.再次移動：讓點B、E重合（如圖3），結論同樣成立.

再變：把平行線L1、L2、L3隱藏，分別得到圖4、圖5，又發現了什么？

這樣通過幾何畫板，打開數學幾何探究課堂教學的另一扇窗，學生通過操作探索發現計算結果與圖形變化無關，容易掌握圖形變換的規律，享受學習數學的快樂與感受數學的神奇.蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈.”有了強烈的求知欲望，學習數學就轉變為學生的自主行為了！

二、用幾何畫板揭示變化的圖形中不變的幾何規律，感受圖形之間各種量的關系

幾何就是在不斷變化的幾何圖形中研究不變的幾何規律.而幾何畫板工具的精髓就是“在運動中保持給定的幾何關系”，正好為幾何學習研究提供了技術支持.

例如，已知[△ABC]和[△ECD]都是等邊三角形，（1）若B、C、D在同一條直線上，結論[BE=AD]是否成立？（2）若將等邊[△EDC]繞點C旋轉一定的角度（大于0°而小于360°），結論[BE=AD]還成立嗎？

在運用幾何畫板探索圖形旋轉的過程中，學生可以直觀感受到無論怎樣將[△ECD]繞點C轉動，[△BCE]和[△ACD]都是全等的，因此[BE=AD]是不變的.由此激發了學生的探索欲望，促進學生更好地掌握證明的思路與方法，并利用變式深度探究數學幾何圖形之間的關系.

變式一：如圖7，[△ABC]和[△DEC]是兩個等腰直角三角形，（1）當A、C、E在同一條直線上，[AD]與[BE]相等嗎？（2）若[△DEC]繞點C任意旋轉一定的角度，[AD]與BE還相等嗎？

“老師，老師，這道題和前面的題目是一樣的！”當把圖作出來，把圖形轉動起來的時候，學生興奮地叫喊起來：“我知道結果是什么，知道怎么證啦！好簡單啊！”“老師，我把兩個等腰直角三角形變為兩個正方形（如圖8），同樣可以證明AG與CE是相等的.”……聽著學生自豪的聲音，看著學生興奮的表情，我由衷為他們高興，也為自己高興，因為有了幾何畫板，打開了數學課堂教學的另一扇窗，使得數學課變得快樂、簡單、有效，充滿神奇與美麗！

三、運用幾何畫板進行演示，探究圖形性質，讓學生愛上數學

在傳統的數學課堂教學中，一般是一塊黑板、一支粉筆和教師畫圖板書，呈現的是某一位置的狀態，它是靜止的.而很多數學問題卻是連續的、動態的.如果我們能化靜為動，解決傳統媒體難以解決的問題，將會讓數學學習變得容易，也將容易激發學生的學習興趣，培養學生的思維能力.

利用幾何畫板，在動態的變化中觀察體會圖形的變化規律.例如，二次函數[y=a（x-h）2+k]的圖像與性質，對于它的圖像與a，h，k的關系怎么樣，圖像是怎么樣由[y=ax2]向上、向下、向左、右平移而得，規律如何，學生非常困惑，理解和記憶起來也很困難.而教師用幾何畫板展示[y=a（x-h）2+k]的圖像（如圖9），按動各按鈕使圖形運動起來，可讓學生真觀觀察到函數圖像的變化過程及結果，使得難點得以有效突破.

四、運用幾何畫板，展示數學的神奇與美麗，讓學生享受數學

在上《勾股定理》一課時，以直角三角形三邊分別作正方形，所得三個正方形之間有這樣的關系：[S1=S2+S3 ]（如圖10），再以[S2]，[S3]的邊為斜邊作直角三角形，以直角邊再作正方形……一直作下去，最終形成了美麗的勾股樹（畢達哥拉斯樹）.

當幾何畫板制作的美麗神奇的樹（如圖11）展示在學生面前時，學生發出了感嘆聲，當讓它們運動起來時，學生尖叫了起來，在那一刻，學生感受到了數學神秘的、無窮的魅力，數學的美麗給他們留下了深刻的印象，終生難忘，他們會在很長的時間里，喜歡數學，自覺學習數學.

五、運用幾何畫板，使問題化難為易

很多數學問題難在知識的推理過程，動態的幾何問題，軌跡問題更是如此.合理運用幾何畫板的作圖及軌跡的追蹤功能，可以直觀形象地演示復雜圖形的形成過程及知識的推導過程，使問題由繁變簡，化難為易，從而有利于突破教學難點.

例如，2017年中考真題：如圖12，在菱形[ABCD]中，[∠ABC=60°]，[AB=4]，點[E]是[AB]邊上的動點，過點[B]作直線[CE]的垂線，垂足為[F]，當點[E]從點[A]運動到點[B]時，點[F]的運動路徑長是多少？

本題中，求點[F]的運動路徑長，先要知道點運動的軌跡是什么，這是學生最難想象與理解的地方，畫出圖形就是解題的難點與關鍵所在.通過幾何畫板的演示，可以非常清晰地知道點運動的軌跡是以[BC]為直徑的圓上的一段弧，再由作圖的條件與過程分解，引導學生理解分析為什么是這樣的一段弧.當沒有幾何畫板輔助時，可以怎樣思考作出圖形，由此輕松突破了難點（如圖13），余下的計算就比較簡單了.

使用幾何畫板進行數學教學及實現多媒體與課堂教學的深度融合，通過具體的感性的信息呈現，能夠把知識發生與發展的過程合理展示，與學生思維發展規律、認知特點相吻合，給學生留下更深刻的印象，激發學生積極參與學習過程.

古人有云“橫看成嶺側成峰”，角度不同，看到的風景也不同.傳統教學自有傳統教學之美，用幾何畫板進行的幾何課堂教學，打開了數學課堂教學的另一扇窗.用幾何畫板，教漂亮數學，讓我和學生感受到了數學課堂的另一種魅力，那是一種自由、開放、靈動之美！

（責任編輯 黃桂堅）