整合教材優化課程 問題導學提升素養

欒功

[摘? ?要]整合教材，優化課程，讓“四基”融入教學，提升學生素養，是教師的基本功.

[關鍵詞]整合;教材;導學;素養

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0006-04

一、 了解學生

學生是教學行為中關鍵的一個要素.為了更有效教學，教師就很有必要先了解學生，了解學生的知識基礎和活動經驗.《基本初等函數的求導公式與運算法則》這節課，是在學生學習了導數的定義，用導數的定義求簡單函數的導數后的一節新授課.通過前面課程的學習，學生經歷了由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解了導數的概念，掌握了通過導數的定義求解一些簡單冪函數導數的方法，積累了一定的求導問題的基本活動經驗，掌握了求導運算的一些基本技能，體會到了用導數刻畫解釋現實生活中一些變化率的問題，感受到了導數在解決數學問題與實際問題中的作用，具備了繼續學習初等函數求導公式的基礎知識.

二、 理解教材

思考1： 教材內容與課時內容如何合理分割？

《基本初等函數的求導公式與運算法則》包括基本初等函數的導數公式、導數運算法則、復合函數求導法則三部分內容.這些內容是要分割為兩課時講，還是用一課時講完？這是筆者思考的第一個問題.一方面從理解教材地位來講，這節課的學習是整章內容的運算基礎，求導的準確性與熟練程度影響用導數研究函數的性質、微積分等知識進一步的學習，可以說這節看似枯燥無味的公式法則課，卻是牽一發而動全身般的重要.另一方面，筆者請教了本冊教科書的編者郭慧清教授，郭教授在電話中講“能利用求導公式與法則求函數的導數是這節課的主旨”.鑒于此，筆者綜合教材地位與編者建議，將教材內容分割為兩個教學課時，第1課時為《基本初等函數的求導公式與導數運算法則》，第2課時為《復合函數及求導法則》.

思考2：如何整合不同版本的教材，如何選擇例題？

對教材內容做了合理分割后，教學課時內容明確，目標清晰.為了使學生能用基本初等函數的導數公式與運算法則求簡單函數的導數，人教A版教科書在直接給出公式和法則后，通過例題和習題引導學生模仿、操作，以熟悉和掌握導數的概念和基本運算.為了貫徹教材思想和編者意圖，筆者再三琢磨課本例題，例1和例3都為實際問題，例2為一個三次函數求導問題.筆者認為這樣的例題安排過于強調導數的實際應用，忽視了對求導公式和求導法則的練習，達不到學生對求導公式和運算法則熟悉和掌握的要求，必然導致運算基礎不牢固，也不利于培養學生的數學運算素養，繼而在后續學習中總是出現求導錯誤的問題.出于對教學活動中“四基”的理解和落實、數學運算素養逐層培養的考慮，筆者比較研究了人教A版、北師大版、蘇教版、湘教版四個版本教材的內容和課時安排（如表1）.

綜合比較四個版本教材的內容和課時設計，再次印證了筆者對課時分割的合理性，將基本初等函數的求導公式與函數和、差、積、商的運算法則設計為第1課時，復合函數求導法則為第2課時.第1課時教學中適量的練習對于熟悉公式和法則是非常必要的.因此筆者整合了四個版本教材的例題、習題，優化了課程內容，對第1課時教學內容的例題、習題做了優化（見表2）.

三、 理解教法

思考3：? 如何提升學生素養？

該怎樣組織教學，怎樣在課堂中落實“四基”，提升學生核心素養？面對新的挑戰和困惑，筆者請教了南寧三中黃河清校長，黃校長講道：不論怎樣的課型，問題都是數學的心臟，以問題為引領，盡可能挖掘知識的內涵和外延，注重數學思想方法的滲透，在潛移默化中落實“四基”，培養“四能”，提升素養.黃校長的指導讓筆者豁然開朗，“問題導學”教學法結構完整，尤其是“概念形成” “概念深化” “應用探索”三個環節層層遞進，育人于潛移默化中，真是 “眾里尋他千百度，驀然回首，教法卻在燈火闌珊處”.

四、教學過程

（一）新課引入

課件展示前幾節課主題內容，教師講述：通過前面課程的學習，同學們經歷了由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解了導數的概念，感受到了導數在解決實際問題中的作用，同時還學習了通過導數的定義求解一些常用函數的導數，例如求解[y=x]，[y=x2]等簡單的冪函數的導數.

問題1：一般的冪函數[y=xα]的導數如何計算呢？

問題2：我們學過的指數函數、對數函數和三角函數的導數又如何計算呢？

設計意圖：采用復習引入新課，是基于“四基”之間的聯系而設計，旨在讓學生重溫其親身經歷的一些有關導數的思考、探索、發現結論的基本活動經驗，并在此基礎上繼續提出新的問題，在解決新問題的過程中積累數學活動經驗，進而孕育素養，進行創新學習.

（二）概念形成

教師講述：數學家早已解決了這些函數的求導問題，將來同學們學習更多的數學知識，也會掌握這些函數求導的過程.現在，我把這些函數的求導公式列表如下（見表3），便于應用.

設計意圖：? 人教A版選修2-2教師用書中編寫意圖和教學建議中明確指出：教科書直接給出了基本初等函數的導數公式和導數運算法則，并沒有對這些公式和法則進行推導，在教學中，也應如此，不要做過多要求.

（三）概念深化

1.基本初等函數的導數公式

（1）若[ fx=c]（[c]為常數），則[ fx=0].

例如：[ fx=-2]，則[fx=0].反之，若[fx=0]，則[ fx]是一個常數函數，可以是任意的常數，函數不唯一，這在后續學習構造函數、求解積分等問題時尤為重要.

（2）若[ fx=xα]（[α∈Q?]），則[ fx=α?xα-1].

首先我們需要注意冪指數[α]的取值范圍：[α∈Q?];其次要注意冪函數導數的結構[ fx=α?xα-1].當冪指數為分數或者負數時初學者容易計算錯誤.

我們取[α]的一些值來具體看一下求導結果.

當[α=2]時，[fx=x2]，[fx=2x2-1=2x];當[α=12]時，[ fx=x12]，[fx=12x1-12=12x].

再來看上節課用導數的定義求解[fx=x]導數的過程.

[ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx=x+Δx-xΔx=x+Δx-xx+Δx+xΔxx+Δx+x=1x+Δx+x].

所以，[y=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01x+Δx+x=12x].

通過比較用定義求導的過程，讓學生感受到用公式求導的快捷和便利.

當[α=-1]時，[ fx=x-1]，[ fx=-x-2=-1x2].

設計意圖：冪函數求導公式的教學不能只是給出公式，計算一個例題.公式沒有推導證明的要求和步驟.學生第一次接觸公式，還是有些突然，教師要帶著學生一步一步地挖掘公式的內涵和外延，冪指數從正整數、分數、負數逐一分析講解，并和前面所學用定義求導過程比較，進一步讓學生感受學習求導公式的必要性，牢固冪函數求導公式，提升學生數學運算素養.

（3）若[fx=sin x]，則[fx=cos x];若[fx=cos x]，則[fx=-sin x].

需要注意的是余弦函數[y=cos x]，其中[y=-sin x≠sin x].

（4）若[fx=ax]，則[fx=axln x].

需要記準指數函數的求導結果，容易與接下來學習的對數函數的求導結果混淆.特別地，當[a=e]時，[y=ex]，[y=ex].

（5）若[fx=logax]，則[fx=1xln a].

需要和指數函數比較記憶.特殊地，當[a=e]時，[y=ln x]，[y=1x].

設計意圖：這三組求導公式更為抽象，在今后的學習中學生容易記錯，需要從公式的結構形式引導學生學習記憶.

[例1]假設某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價[p]（單位：元）與時間[t]（單位：年）有如下函數關系[pt=p01+0.05t]，其中[p0]為[t=0]時的物價，假定某種商品的[p0=1]，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？（精確到0.01）

解：根據求導公式，有[pt=1.05tln1.05]，所以[p10=1.0510ln1.05≈0.08]（元/年）.

因此，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.

設計意圖：這是一個指數型函數的實際問題.教科書通過這個例題展示了導數公式的應用.

問題3：如果上式中某種商品的[p0=5]，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？

設計意圖：“問題3”說明了為什么要引入導數運算法則，運用導數公式.已經會求[ft=5]和[gt=1.05t]的導數，現在要求[pt=5×1.05t]的導數，而[pt]的導數正是[ft]和[gt]乘積的導數.引進四則運算的求導法則，就能得到兩個函數的和、差、積、商的導數與原來兩個函數的導數的關系.應用這些法則就可以將比較復雜的函數的求導問題，化為會求的或者易求的函數的導數問題.

2.導數運算法則

法則1：? [fx±gx′=fx±gx].（兩個函數和或差的導數等于這兩個函數導數的和或差）

問題4：請同學們想一想，三個或更多和（差）函數的導數計算，類似的法則又該如何表示呢？

[f1x±f2x±…±fnx′=f′1x±f′2x±…±f′nx].

法則2：[fxgx′=fxgx+fxgx].

請同學們注意，兩個函數積的導數并不等于導數的積，[fxgx′≠fxgx]，要與兩個函數和、差的導數公式比較記憶.

問題5：如何用法則2求[y=c?fx]的導數？

[cfx′=cfx+cfx=cfx]，即[cfx′=cfx].例如[2x3′=2x3′=6x2].

法則3：[fxgx′=fxgx-fxgxgx2]（[gx≠0]）.

問題6：如何用法則3求[y=1fx]的導數？

[1fx′=1×fx-1×fxfx2=- fxfx2].例如[1x′=-1x2]，與前面公式法求導結果一致.

設計意圖：導數的運算法則的教學，從公式結構特點入手挖掘公式的內涵，要求會用兩個函數的導數關系求解兩個函數和、差、積、商的導數，求導公式兩端能相互轉化，活學活用.

（四）應用探索

[例2]求下列函數的導數.

（1）[y=x2ex];（2）[y=sin xx].

設計意圖：兩函數和、差的導數運算法則易于掌握，兩函數積、商的求導法則易錯，需要在新課學習中重點練習.我們可以改變任何一個函數組成新的乘積函數，還可以組合出類似[y=x2ex+sin xx]這樣更復雜的函數，在聯系與變化中鞏固求導的運算法則，提升學生的數學素養.

[例3]求下列函數的導數.

（1）[fx=x2ln x+sin x];（2）[y=cos x-xx2].

設計意圖：進一步鞏固基本初等函數的求導公式，熟悉導數的運算法則.

練習1：求下列函數的導數.

（1）[fx=tan x];（2）[y=12x+2sin x].

練習2：求函數[fx]的導數，已知[fx=1-x1+x+2xln x].

設計意圖：練習1面向所有學生，拒絕了簡單的重復，考查正切函數[y=tan x]的導數.練習2是本課內容的綜合應用，既能給學生帶來挑戰，也能提醒學生，數學的學習遠不止于記住公式法則那么簡單.

（五）總結歸納

設計意圖：“總結歸納”是一節課的升華，設計的主旨在于幫助學生構建知識網絡，讓知識之間形成網絡，完善學生認知結構，提高學生數學抽象、概括能力.

在教學中，如何擺脫刷題應試教育，真正在數學課堂教學中落實“立德樹人”目標，實現學科育人、教學育人？如何在課堂教學中落實“四基”，培養“四能”，提升素養，筆者試圖從教材整合與教法應用中探尋答案.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 黃河清.高中數學“問題導學”教學法[M].北京：教育科學出版社，2013.

[3]? 顏士健.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008.

[4]? 單墫.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

[5]? 張景中.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].長沙：湖南教育出版社，2005.

[6]? 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.

（責任編輯 黃桂堅）