以直觀體驗促知識建構

簡翠萍

將抽象的數學語言與直觀的動手操作聯結起來，能幫助學生實現從具體運算階段到形式運算階段的思維過渡。在教學中充分借助直觀操作，能使學生深度理解并系統建構有余數除法的相關知識。

一、抱一抱，實踐體驗知概念

《有余數的除法》單元主題圖呈現了學生分別用11根小棒擺出正方形、三角形、五邊形的活動情境。在用小棒擺圖形的操作過程中會出現“擺了幾個圖形后，還剩幾根”的現象，從而引出余數概念。

為了激發學生的學習興趣，更清晰、直觀地引出余數的概念。教學時，筆者將擺圖形的情境換成了“抱一抱”游戲活動。上課伊始，筆者就請6名學生到講臺前面，要求每2人抱成一組。在歡快的音樂聲中，學生兩兩抱成3組。筆者適時提問：“一共有6個小朋友，每2人抱在一起，抱了幾組？能用除法表示嗎？”學生列出除法算式6÷2=3。筆者接著問：“誰能說一說這里的6、2、3分別表示什么？”學生回答：“一共有6個人，每2人抱一組，可以抱3組?！惫P者乘機引導“平均分可以用除法表示”。隨后，筆者又邀請1名學生繼續玩2人抱一抱游戲。學生抱好后，筆者提問：“上一輪游戲剛好抱完了，這次呢？”學生說沒有抱完，還剩下1人。筆者追問：“7個小朋友，每2人抱一抱，抱了3組，還剩1人，這也是平均分，這次和剛才的6個人抱3組的平均分有什么不同？”學生回答：“剛才6個人抱完了，這次還剩1個人，平均分有時正好分完，有時會有剩余?！惫P者補充：“剩余1個人的這個1在除法算式里也有自己的名字，它叫余數?！?/p>

為了進一步理解余數概念，筆者把總人數分別增加到8和9，繼續引導學生玩2人抱一抱游戲。8個人抱成4組，說除法算式，并說一說各部分表示什么。9個人抱成4組后，還剩1人，說一說余數是幾。后續，筆者又分別組織9人、10人，玩3人抱一抱游戲，引導學生說除法算式，并說一說有沒有余數，如果有，余數是幾。最后，10人玩4人抱一抱游戲。學生發現抱成2組后，剩余2人，也就是余數是2。學生在一系列“抱一抱”游戲中，體驗有剩余、沒有剩余兩種情況，通過直觀對比去理解分完后有剩余的情況就是有余數，剩余的那個數就是余數。

二、分一分，對比分析識含義

教材中的例1借助平均分草莓的操作活動，通過與表內除法對比，使學生理解有余數除法的含義。為了便于全體學生動手操作，促進學生的思維從直觀形象向半抽象化過渡，筆者將分草莓改為分鉛筆，引導學生在分實物、圈圖形、寫算式的過程中，對比“兩種平均分”的情況，直觀地理解有余數除法的含義。

課上，筆者出示問題：“把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？”讓學生用除法算式表示并填寫表格。接著筆者提問：“這是平均分，正好分完，結果沒有剩余，也就是沒有余數的情況。除了每人分2支，想一想還可以每人分幾支？想出一種分的方法，就用小棒分一分，并在表格中填一填。”隨后，筆者根據學生的反饋板書下表，并請學生在黑板上的小棒圖中用“圈一圈”的方法表示平均分的過程。

觀察表格，筆者引導學生把這幾種平均分的情況分成有余數和沒有余數兩類。學生對比平均分的結果以及相應分法的除法橫式，并結合小棒圖說出有余數除法算式中每個數的含義，溝通了實物表征、語言表征、符號表征之間的關系，深化了對有余數除法概念的理解，突破了確定商與余數的單位名稱的學習難點。

三、擺一擺，直觀操作理關系

余數與除數的關系是教材例2的內容。教材借助用不同根數的小棒擺正方形的活動，鞏固學生對有余數除法的含義的理解，引導學生發現余數和除數的關系。教學時，筆者對操作活動進行了結構化處理，變單一的擺正方形為擺三角形、正方形、五邊形三種圖形;小棒的總根數從例題中的8～12根分別調整為6～10根、8～12根、10～16根。這樣做可以使學習材料更具結構性，使學生的操作活動更自主、開放，有利于學生發現余數比除數小的結論，體驗歸納推理的過程。

學生兩人一組自主選擇用小棒拼擺三角形、正方形、五邊形中的任意一種圖形，邊擺邊說，并填寫記錄單。擺正方形的小組記錄單如下：

我們擺的圖形是正方形，每個圖形用4根小棒。

[總根數 擺了幾個 還剩幾根 除法算式 8 2 — 8÷4=2（個） 9 2 1 9÷4=2（個）……1（根） 10 2 2 10÷4=2（個）……2（根） 11 2 3 11÷4=2（個）……3（根） 12 3 — 12÷4=3（個） ]

觀察上面算式中的余數和除數，我們的發現是：余數比除數小。

在交流反饋環節，筆者引導學生通過觀察表格中的除法算式，發現余數大于或等于除數時，就又可以擺一個圖形了，從而感悟余數必須比除數小。筆者適時追問：“13根小棒擺正方形，可以擺幾個，剩幾根？14根、15根、16根呢”“擺正方形時，剩余的根數可能是4根或者比4根多嗎，為什么”。學生有了拼擺圖形的操作經驗，就會理解“直到不能再擺一個圖形后剩余的數才是余數，等于或大于4根時，都還可以繼續擺正方形”的道理。追問的過程既是對結論的驗證，又是對余數與除數關系的深化。然后，筆者組織學生反饋擺三角形、五邊形的情況，在引導學生運用余數與除數的關系解決問題的同時，進一步驗證余數比除數小的結論。整個操作活動滲透了不完全歸納推理的數學思想方法，學生在操作中感受到擺、說的過程與算式表示的意思是相同的。

四、圈一圈，數形結合明算理

“筆算是直觀的算理，抽象的算法”。教師在教學時需要幫助學生溝通學具操作、口算與豎式之間的關系，將直觀的學具操作轉化為學生頭腦中的表象操作，促進學生深入理解算理，掌握算法。

教學有余數的除法豎式時，筆者引導學生分13根小棒，要求每人分4根。學生邊分邊說分的過程和結果，寫出除法橫式。接著，筆者請學生在黑板上演示剛剛的操作過程，以此引出有余數除法的豎式，并介紹除法豎式中各部分的名稱。然后，筆者讓學生說出豎式中每個數的含義，并在黑板上圈出相應的小棒圖。這樣做將除法豎式中的每個數與操作過程及橫式建立聯系，運用數形結合使學生理解豎式的含義，直觀地理解有余數除法豎式的計算算理，初步感知豎式計算的優勢（在豎式中能直觀地看到分完了多少支鉛筆，橫式中則不能）。

（作者單位：宜昌市夷陵區教研中心）

責任編輯??劉佳