小學生數數活動的教育意蘊

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

華羅庚先生曾經說過：“數（shǔ）產生數（shù），量（liánɡ）產生量（liànɡ）”。數“計數單位”的個數產生數，數“計量單位”的個數產生量。數數即獲知集合元素個數的多少，它是認識自然數的前提，也是認識四則運算、測量、探索規律以及倍比關系的重要抓手。數數內涵豐富而深刻，它貫穿小學數學內容的始終，是最重要、最基礎的活動，甚至可以說“沒有‘數數解決不了的問題”。小學生數數活動的不同發展階段各有其教育意蘊。

一、利用“唱數”，初步感知十進制思想

數數活動的第一階段是“唱數”（也叫記憶計數），即像唱歌似的一個接一個地“唱出”各個數詞。由于漢語一字一音，有節奏、有韻律，兒童初始“數數”行為類似于念歌謠，并不理解自然數的意義。但是，兒童通過唱數能夠初步感知自然數的順序與大小——先唱的在前面（小），后唱的在后面（大），挨著唱的兩個數相鄰。唱數是正確“數出”物品個數的基礎。中國家庭和幼兒園都非常重視唱數，很多兒童在上小學前就能較順利地“唱到50”（可能在唱數“拐彎數”時會有停頓或者出現個別錯誤），初步感知自然數遵循十進制原則，這為他們進一步學習數學奠定了基礎。

唱數需要用漢語正確地讀數，但是讀數與寫數不完全一致，尤其數中有“0”時。讀數符合伊夫斯在《數學史概論》中提出的“乘法分群記數法”，即在選定10作為數基后，用一組符號表示1、2……9、0（用漢語說就是一、二……九、零），再用第二組符號表示10、102、103、104……，即十、百、千、萬，等等。把這兩組符號按照從高位到低位的順序從左到右（古代是從上到下）排列出來，就能表示出任意自然數。例如，25讀作“二十五”;2003讀作“二千零三”。讀數蘊含十進制原理，但沒有位值制思想，因此不能用數字所在“位置”表示其大小，需要創造無數個“詞”來表示計數單位。例如“千億”的下一個計數單位是“兆”，然后是“十兆、百兆、千兆”（四位一級）;再下一個計數單位是“京”，等等。目前最大的計數單位是“古戈爾”，即10的10次冪，“谷歌”就是根據這個詞命名的。當然，若有需要，還可創造“新詞”以表示更大的計數單位。

目前全世界通用印度—阿拉伯十進位值制記數法來寫數，這種記數法同時遵循十進制（滿十進一，每個“位置”上的最大數字是9）與位值制（數字所在的“位置”決定其大?。┰瓌t，因此，0的“占位作用”非常重要。由于讀數時“0”有一些特殊讀法，所以讀、寫帶“0”的數是學習難點。例如，將讀數“十一”錯寫成“101”，“五萬零四十”錯寫成“50000040”。

會讀數和寫數（記錄數）是數數活動的意義所在。讀數的法則到底是什么，目前有一定爭議，筆者認為只要能夠正確表達、交流、運用“數”，沒有必要一定按照某種讀數法則讀數（考試不應該考讀數、寫數）。例如，20003讀作“二萬零三”，也可以讀作“二個萬零個千零個百零個十加三”，雖然讀起來麻煩，但清楚地表達了各個計數單位及其個數，這是數概念的本質。

二、數“計數單位”，理解數概念的本質

“數出”自然數不同計數單位的個數，再累加起來就得到這個自然數。例如，235就是“2個百+3個十+5個一”。小數的構成與此完全相同，也遵循十進位值制原則。分數也是通過數“分數單位”的個數得到的，例如[78]就是7個[18]。由于每一個分數的計數單位不唯一且有無數個計數單位，相應地計數單位的個數也有無數個，即分數具有它獨特的性質（分子、分母同時乘或除以同一個非零的數，其大小不變），所以分數的構成比自然數、小數更復雜。分數的這一特性導致每一個分數都“靈活多變”，有無數個“替身（等值分數）”，所以掌握分數的意義、性質以及四則運算等都比較困難。數學直覺派代表人物克羅內克提出，自然數是上帝創造的，其他的數都是人造的。自然數是認識小數、分數及其他數學知識的根基，其發展經歷手指計數、結繩計數、象形符號表示數等過程，是非常漫長的。

瑞士心理學家皮亞杰指出，數（自然數）不是某個東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關系，表明的是一個物體在一個序列中的位置以及一組物體中包含了多少個物體，這種關系不是直接用語言來教的，而是兒童通過感知、操作活動，在動作中體驗、發現、創造的。因此，小學生自然數概念的形成不是可以教會的，必須經歷邊實際操作邊數數的過程，通過對具體數量的體驗和感悟抽象而來。理解自然數的多重含義離不開數數活動。

在唱數基礎上，數出物品的個數，抽象出自然數，理解自然數的基數含義，是數數活動的第二重教育意蘊。此階段兒童的數數活動必須遵循以下原則，否則得不到物品總個數：一個數詞對應一個數過的物品;按正確順序說出數詞;計數可以從所數物品中的任何一個開始，但不要重復和遺漏;基數原則，即最后一個數詞是所有數過物品的總數。

小學生的數數活動有不同階段，具體可以分為：①感知計數階段：0～4個以內的物品不需要數數也能知道其多少。②理解計數階段：5個及以上的物品需要數一數才能知道有多少。該階段主要有一一點數和按群計數（例如2個2個地數、4個4個地繼續數。這種方法需要不斷地“做加法”，學生極容易得出錯誤結果）兩種數數方法。③在半形象半抽象的數尺、數線或數軸上數數：“數”與數軸上的“點”建立一一對應關系。這樣既可以在數軸上表示數，也可以在數軸上通過“數數”進行四則運算。

后文將進一步論述上述第三個階段，下面筆者深入分析影響第一、二個階段數數活動的因素：所數對象的物理屬性、個數多少、排列方式、結構化程度等。如前所述，0～4個物品不需要逐一點數，憑借人的本能即可知道個數;當數目大于5個時，遵循一一對應思想數數，就不會數重、數漏。所數對象的排列方式、密集程度等因素影響小學生的數數能力，所數對象如果有順序、有結構地擺放就容易計數，如果無結構、散亂地擺放則容易數錯。另外，所數對象的物理屬性要相同，例如數教室里有多少人、多少盞燈等相同物品的個數。

教學中，為學生提供可操作的直觀化學具（最好不用帶“圖”的卡片以及糖果等，這些材料的某些特征容易分散學生的注意力）非常重要。這樣的學具分三個層次：一是齊性（每一個的物理特征都相同，表示的意義也相同）、無結構的直觀化學具，例如散的小棒、豆子、紐扣、第納斯（Dienes）木塊等;二是有結構的直觀化學具，例如十根一小捆、百根一大捆的小棒;三是有結構的半直觀半抽象化學具，例如算盤、計數器。這些學具，能幫助小學生在操作與數數活動中逐步理解“數位”，進而深入理解用印度—阿拉伯十進位值制記數法表示出來的自然數。

三、在數軸上“數出”四則運算的結果，多視角理解運算

“數”在數尺、數線或數軸上有兩種含義：一是表示數軸上的點，一個數與一個點建立一一對應關系;二是用數表示數軸上線段的長度。當以“0”為起點時，這兩種含義相同。在數軸上表示數，只能刻畫數的大小順序，蘊含著數形結合思想，但不能凸顯“數”概念所蘊含的十進制、位值制思想。例如，下述問題“誰離胡蘿卜更近（如圖1）”“填上數（如圖2）”就是在數尺上認識數的相對大小，這個內容較為抽象，能豐富小學生對“數”概念的理解。

數數活動與四則運算密切相關。例如，向前（右）繼續數就是加法;往后（左）倒著數就是減法;幾個幾個地往前數就是乘法;幾個幾個地往后數就是除法，能夠數到“0”就是整除，不能數到“0”且還剩幾個就是有余數除法。通過數數得到計算結果是“最原始”的方法，其思維含量較高。例如求“6+3=？”用數數的方法獲得結果就需要學生進行“二重計數”（此概念出自朱莉婭·安吉萊瑞《如何培養學生的數感》）：繼續數3個數，數到了9，所以結果是9。在此過程中還有一個難點，即要從7而不是6開始數。

在數尺（數線、數軸）上進行數數活動，為學生理解四則運算提供了新視角（滲透數形結合思想），很多教材都設計了該類學習任務（如圖3、圖4）。

這類學習任務對很多學生來說都有難度，解題時要把算式中的一個加數（被減數）看作數尺上的“點”，另一個加數（減數）看作“線段”，計算的結果又是數尺上的“點”。

弗賴登塔爾認為，這種解釋缺乏對稱性，從文法上分析，一個是運算的直接對象，另一個卻是間接的，有的數是“點”，有的數是“線段”，這種方法對學生而言很難?；诖?，他提出了運算的“算子解釋”法，即用數軸上的“有向線段（剛性的小棒）”表示算式中的每一個數。例如“3”不是數軸上的“點”，而是將每一“點”向右移動3個單位的映射，也就是用長度是3的帶箭頭的線段表示，3+5就是長度是3和5的兩個有向線段首位相接，得到長度是8的有向線段。

數數活動具有豐富的教育意蘊。數數活動除了數出集合元素的個數，進一步理解運算以外，2個2個地數、5個5個地數等方法，還可以幫助小學生感悟數列的變化規律，進一步認識數的特性。例如5個一數，末尾的數要么是0，要么是5。數數活動蘊含著豐富的數學思想。例如“點數”時，學生必然要用到一一對應原則，一一對應是學習函數的思想方法儲備。另外，在數數時，學生必須有序地數，有序地觀察，有序地思考，“有序”也是數學的重要思想方法。

責任編輯??劉佳