小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理能力的滲透與發(fā)展

李鵬 朱敏

[摘? 要] 小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)演繹推理能力的關(guān)鍵期，教師要準(zhǔn)確解讀演繹推理內(nèi)涵，在教學(xué)中充分挖掘教材中有利于發(fā)展學(xué)生演繹推理能力的潛在因素，根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為學(xué)生推理思維的形成創(chuàng)造良好的條件。文章以幾何教學(xué)、計(jì)算教學(xué)和數(shù)學(xué)思考教學(xué)為例，探索在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生演繹推理能力的教學(xué)策略。

[關(guān)鍵詞] 演繹推理;數(shù)學(xué)思想方法;教學(xué)策略

快放學(xué)了，天空出現(xiàn)了連片的烏云，天色漸漸地暗淡了下來(lái)，不一會(huì)兒又呼呼地刮起了大風(fēng)，突然空中一道亮光劃過(guò)，接著天際傳來(lái)了轟隆隆的聲音。看到這樣的景象，教室里的學(xué)生異口同聲地說(shuō)：“要下大雨了！”其實(shí)，在學(xué)生做出判斷的時(shí)候，已經(jīng)產(chǎn)生了類似演繹推理的過(guò)程：“天空中出現(xiàn)了烏云，刮起了大風(fēng)，又有閃電又打雷”是觀察到的現(xiàn)象，也是給出結(jié)論的理由，可以稱之為“前提”;“要下大雨了”是學(xué)生在當(dāng)前條件下最合理的一種推斷，可以稱之為“結(jié)論”。

以上是生活中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的情景，為在小學(xué)階段進(jìn)行演繹推理思想的滲透與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。筆者在教學(xué)實(shí)踐中挖掘蘊(yùn)涵演繹推理思想的教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的不同學(xué)情，探索在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行演繹推理的教學(xué)模式。

一、演繹推理在教材中的呈現(xiàn)

演繹推理的分類復(fù)雜，在小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)的有以下幾種：

1. 三段論

三段論是一種由兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論構(gòu)成的演繹論證。三段論推理是演繹推理最經(jīng)典的形式，核心思想是一類對(duì)象的全部具有或不具有某種屬性，那么該類對(duì)象的部分也具有或不具有某種屬性。例如，第一種情況：2的倍數(shù)都是偶數(shù)，4的倍數(shù)都是2的倍數(shù)，所以4的倍數(shù)也都是偶數(shù);第二種情況：2的倍數(shù)都不是奇數(shù)，4的倍數(shù)加1的和是奇數(shù)，所以4的倍數(shù)加1的和不是2的倍數(shù)。

教學(xué)實(shí)踐中要引領(lǐng)學(xué)生找準(zhǔn)前提，求其所以然。

2. 選言推理

選言推理是以選言陳述（“或者……或者……”）作為前提之一的三段論，又稱選言三段論，它根據(jù)選言陳述的邏輯特性進(jìn)行演繹推理。選言推理分為相容選言推理和不相容選言推理。在小學(xué)階段比較常用的是不相容選言推理：大前提是一個(gè)不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個(gè)選言支，結(jié)論則否定其他選言支，小前提否定除其中一個(gè)以外的選言支，結(jié)論則肯定剩下的那個(gè)選言支。例如，判斷一根電線桿的高度是8厘米還是8米。讓學(xué)生感受選言推理的方法：一根電線桿的高度是8厘米還是8米。因?yàn)橐恢Э曜拥拈L(zhǎng)度已經(jīng)超過(guò)8厘米，所以電線桿的高度肯定不是8厘米，應(yīng)該是8米。

教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)要求學(xué)生有條理地思考和敘述，不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)推理的形式。

3. 假言推理

假言推理是以條件陳述（“如果……那么……”）作為它的一個(gè)或者兩個(gè)前提的三段論，又稱假言三段論。在小學(xué)階段比較常用的是充分條件假言推理：前提有一個(gè)充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如，如果把一個(gè)圖形對(duì)折后兩邊完全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，圓對(duì)折后兩邊完全重合，圓是軸對(duì)稱圖形。

教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)要求學(xué)生描述判斷的依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生言必有據(jù)的數(shù)學(xué)品質(zhì)。

4. 關(guān)系推理

關(guān)系推理是前提中至少有一個(gè)是關(guān)系命題的推理，以關(guān)系判斷作為前提或結(jié)論。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，小學(xué)階段比較常用的有以下幾種形式：①對(duì)稱性關(guān)系推理，如因?yàn)?元=10角，所以10角=1元;②反對(duì)稱性關(guān)系推理，如因?yàn)閄大于Y，所以Y不大于X;③傳遞性關(guān)系推理，如因?yàn)閄=Y，Y=Z，所以X=Z。

教學(xué)實(shí)踐中要讓學(xué)生尋找數(shù)量之間的關(guān)系，再用關(guān)系推理解決問(wèn)題。

以上，筆者較多的從低年級(jí)數(shù)學(xué)教材中選取案例，想表達(dá)的觀點(diǎn)是教師從低年級(jí)開(kāi)始就應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生有根據(jù)、有條理地思考問(wèn)題的習(xí)慣，進(jìn)行演繹推理思想的熏陶。實(shí)踐證明，這樣的蘊(yùn)含推理思維的思考過(guò)程及語(yǔ)言描述學(xué)生是可以接受的，并且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推究事理的習(xí)慣大有裨益。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理能力的滲透與發(fā)展

1. 以“計(jì)算”教學(xué)為例

感悟算理和掌握算法是形成運(yùn)算能力的兩條主線，計(jì)算里蘊(yùn)藏了方法，方法中呈現(xiàn)出推理。如：

計(jì)算：891÷36=24……27

學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，并將豎式改寫(xiě)成橫式。

組織學(xué)生觀察、對(duì)比、判斷、推理：

第一個(gè)判斷是“891等于89個(gè)10加一個(gè)1”，依據(jù)是多位數(shù)的組成（十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的位值）。

第二個(gè)判斷是“89個(gè)10里面有20個(gè)36，余17個(gè)10”。

第三個(gè)判斷是“17個(gè)10加個(gè)位的一個(gè)1，也就是171里面有4個(gè)36，余27”。

這兩個(gè)判斷的依據(jù)是位值和有余數(shù)除法的意義。

最后把兩次除得商加起來(lái)得24，891里面一共有24個(gè)36，余27。

利用豎式計(jì)算，實(shí)質(zhì)上是一種便于計(jì)算的書(shū)寫(xiě)形式，以上改寫(xiě)和口述既是一個(gè)計(jì)算過(guò)程，也是一個(gè)演繹推理的過(guò)程。

2. 以幾何教學(xué)為例

在小學(xué)的幾何教學(xué)內(nèi)容中，并沒(méi)有明確提出需要運(yùn)用演繹推理教學(xué)的要求，但教師可以聚焦學(xué)生的視角，只要推理的前提和過(guò)程是兒童能夠理解、接受并認(rèn)可的，就能進(jìn)行嘗試，培養(yǎng)學(xué)生推理的意識(shí)和能力。如：證明“三角形內(nèi)角和等于180度”。

比較：哪個(gè)三角形的內(nèi)角和更大？

質(zhì)疑：所有三角形的內(nèi)角和都是180度嗎？

操作：通過(guò)量、拼、折等操作證明三角形的內(nèi)角和等于180度。

觀察：利用幾何畫(huà)板，讓三角形“動(dòng)”起來(lái)。拖動(dòng)三角形的某一個(gè)頂點(diǎn)，無(wú)論三角形的邊長(zhǎng)和大小怎樣變化，其內(nèi)角和永遠(yuǎn)不變。通過(guò)對(duì)各種三角形內(nèi)角和的比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“在同一個(gè)三角形中，如果有角增大，那么就有角減小;如果有角減小，那么就有角增大”。依此可以確信，所有三角形的內(nèi)角和相等，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180度。

接著，可以運(yùn)用演繹推理的方式得出結(jié)論：

因?yàn)槠矫嫔纤腥切蝺?nèi)角和都相等，又因?yàn)榇嬖谌切蔚膬?nèi)角和等于180度，所以平面上所有三角形內(nèi)角和是180度。

以上過(guò)程對(duì)小學(xué)生的教育價(jià)值體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面是推理的前提是否正確并能得到大家的認(rèn)可？另一方面，推理的過(guò)程是否嚴(yán)密并能讓大家理解？

3. 以數(shù)學(xué)思考教學(xué)為例

人教版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)思考小節(jié)部分，編排了演繹推理證明的例題和習(xí)題，這是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)史上的第一次探索。筆者在教學(xué)中進(jìn)行了如下嘗試：

問(wèn)題：六年級(jí)有三個(gè)班，每班有2個(gè)班長(zhǎng)，開(kāi)班會(huì)時(shí)，每次每班只要一個(gè)班長(zhǎng)參加。第一次到會(huì)的有A、B、C;第二次有B、D、E;第三次有A、E、F。請(qǐng)問(wèn)：哪兩位班長(zhǎng)是同班的？

（1）怎樣判斷哪兩位班長(zhǎng)在一個(gè)班？

（2）你有什么辦法把題意整理、表示出來(lái)。

①學(xué)生使用列表法整理信息、表示題意。

②畫(huà)“○”表示到會(huì)，畫(huà)“×”表示沒(méi)到會(huì)。

③學(xué)生匯報(bào)，表格如下：

（3）引導(dǎo)提問(wèn)：

師：我們?cè)谕评頃r(shí)，哪個(gè)條件是非常重要的？

生：每次每班只有一個(gè)班長(zhǎng)參加。

師：也就是說(shuō)，每個(gè)班長(zhǎng)只能和其他班的班長(zhǎng)同時(shí)出現(xiàn)。

師：觀察上表，能否推理出哪兩位班長(zhǎng)是一個(gè)班的？怎樣推理？

生1：第一次A和B、C同時(shí)到會(huì)，可以看出A只可能和D、E、F同班。

生2：從第二次的情況判斷，A不可能和F同班。

生3：從第三次的情況可以確定，A只可能和D同班。

（4）學(xué)生小組合作，用剛才得出的方法，推出B、C分別與誰(shuí)同班。

學(xué)生匯報(bào)推導(dǎo)結(jié)果。

師：你是如何進(jìn)行判斷與推理的？

……

學(xué)生在這個(gè)數(shù)學(xué)思考的過(guò)程中，沒(méi)有用到特定的數(shù)學(xué)知識(shí)，只用演繹推理和已有的生活常識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、綜合、判斷。

總之，演繹推理思想深度融合在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)版塊，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，給學(xué)生提供步入演繹推理的機(jī)會(huì)，為學(xué)生演繹推理思想的形成創(chuàng)造良好的條件。如此，學(xué)生的理性思維在小學(xué)階段萌芽，演繹推理思想得以生根，才能在未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生長(zhǎng)出更加嚴(yán)格的演繹推理。