長(zhǎng)方體模型在立體幾何中的應(yīng)用

徐沛池

【摘要】“問渠那得清如許，為有源頭活水來。”立體幾何中，通過對(duì)長(zhǎng)方體切割，再旋轉(zhuǎn)、變換等得到多面體，構(gòu)建長(zhǎng)方體模型不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力和邏輯推理能力，也有利于學(xué)生轉(zhuǎn)換和化歸思想方法的培養(yǎng)，而且更是讓學(xué)生追溯知識(shí)源頭，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】長(zhǎng)方體模型;立體幾何;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

2019版《高中數(shù)學(xué)教材必修二（A版）》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形;再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。

正如高考命題組的專家所說：“高考題源自課本，要追溯源頭，方可把握和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。”立體幾何是歷年高考的重點(diǎn)，選擇題、填空題的難度低、中、難都有考查，解答題穩(wěn)定在中檔題，難度以低、中檔難度為主，點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)、空間幾何的計(jì)算是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，著重考查推理能力和空間想象能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿始終。

經(jīng)筆者探究，多數(shù)多面體可通過補(bǔ)形，構(gòu)建長(zhǎng)方體模型，厘清點(diǎn)、線、面的關(guān)系，認(rèn)清本質(zhì)，形成空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力和邏輯推理能力，以下是筆者的分析和見解：

2019版新教材普通高中教科書（A版）第96頁第八章立體幾何初步開篇就強(qiáng)調(diào)了“借助長(zhǎng)方體，從構(gòu)成立體圖形的基本元素——點(diǎn)、直線、平面入手，研究他們的性質(zhì)以及相互之間的位置關(guān)系，特別是對(duì)直線、平面的平行與垂直的關(guān)系展開研究，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間幾何體的性質(zhì)”;在近幾年高考真題中以長(zhǎng)（正）方體為模型，通過切割、旋轉(zhuǎn)等形成多面體考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

一、對(duì)長(zhǎng)方體、正方體直接切割

將正方體A1B1C1D1—ABCD（圖1）的側(cè)面進(jìn)行切割，設(shè)M、N分別是A1D1、AD中點(diǎn)，在MN上取點(diǎn)P將正方體切割后，得到的四棱錐（圖1-1）就是2017年高考全國(guó)卷（Ⅰ）理數(shù)第18題;將圖1正方體切割后，得圖1-2實(shí)線部分便是2016年高考全國(guó)卷（Ⅰ）理數(shù)第18題。

分析2010-2020年新課標(biāo)1的理數(shù)真題，易知2018年第18題、2017年第18題、2016年第18題、2015年第18題、2011年第18題、2010年第18題是多面體的題型，可構(gòu)建長(zhǎng)方體模型，2019年第18題、2012年第19題直接考查長(zhǎng)方體以直棱柱形式呈現(xiàn)。下面以2016年新課標(biāo)1理科第18題為例分析：

【題目】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°。

（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC;

（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值。

【剖析】

本題的第一問考查線面位置關(guān)系，空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系，其中推理論證的關(guān)鍵是平面幾何的運(yùn)算和結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理，要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面，該類題目難度不大，以中檔題為主。

第二問考查角度問題，多用空間向量解決，借助向量解決角的問題關(guān)鍵是建系和找點(diǎn)的坐標(biāo)。本題隱含條件較多，不易發(fā)掘直線、平面的關(guān)系，尤其是CD的位置確定，由AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，得AB∥平面EFDC，又∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB平面ABCD，得AB∥CD，即CD∥EF，四邊形EFDC為等腰梯形，利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，這一隱含信息學(xué)生經(jīng)常發(fā)掘不出來，很難讀懂這一信息的關(guān)鍵;由第一問的結(jié)論可知平面ABEF與平面CDFE的位置關(guān)系，得到平面ABEF⊥平面CDFE。為了學(xué)生更直觀理解空間關(guān)系可還原到長(zhǎng)方體中，建立長(zhǎng)方體模型如圖2-1，進(jìn)一步，建直角坐標(biāo)系如圖2-2，求點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解答。

構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。本題補(bǔ)成長(zhǎng)方體，構(gòu)造長(zhǎng)方體模型，增強(qiáng)學(xué)生的空間立體感，確定點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

對(duì)于長(zhǎng)方體模型，學(xué)生熟悉，立體感強(qiáng)，重點(diǎn)在以長(zhǎng)方體模型為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;解決立體幾何問題時(shí)，關(guān)注對(duì)整體圖形的把握，培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力、數(shù)據(jù)處理能力、邏輯推理能力、抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)會(huì)及感悟化歸思想，歸納類比思想、數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，培養(yǎng)探究精神。

二、對(duì)長(zhǎng)方體、正方體切割、旋轉(zhuǎn)

在立體幾何中，對(duì)長(zhǎng)方體、正方體切割后可得到多面體，往往試題還要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)增加難度，以以下幾道新課標(biāo)真題為例來闡述：

【題目1】（2019年新課標(biāo)1理科數(shù)學(xué)第12題 ）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，（下轉(zhuǎn)第46版）? ? ?（上接第45版）E，F(xiàn)分別是PA、AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（ ）

A.? ?B.? ?C.? ? ?D.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年）》指出，邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。有條件“PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形”推斷出該三棱錐為正三棱錐，涉及到的考點(diǎn)有直線與直線平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定及其性質(zhì)定理等，證得PB⊥平面PAC，求得PA=PB=PC=，得P-ABC為正方體一部分，根據(jù)正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，從而得解。

此方法，利用割補(bǔ)思想解決外接球問題，可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，補(bǔ)體成正方體解決，此方法也是割補(bǔ)成長(zhǎng)（正）方體的通法。通過本題，檢驗(yàn)學(xué)生掌握此類題目的程度，對(duì)立體幾何教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。