立足幾何特性，突破圓錐曲線

屈芳

[摘? 要] 圓錐曲線問題中的幾何條件可作為解題的突破口，即利用平面幾何知識來構建解題思路. 中學階段常見的幾何特性包括特殊三角形、圓、矩形等圖形性質，合理利用幾何性質可實現條件、問題轉換. 文章剖析應用幾何性質解圓錐曲線問題的策略，以四類問題為例開展解題探究.

[關鍵詞] 幾何;性質;圓錐曲線;中位線;等腰三角形;勾股定理

問題綜述

圓錐曲線問題是高考壓軸題之一，由于圓錐曲線含有“數”與“形”的特點，問題解析通常有兩種策略：一是將圓錐曲線問題轉化為函數問題，利用函數性質求解;二是利用幾何意義，即由曲線定義和平面幾何的相關結論來求解. 其中策略二需把握問題本質特征的“幾何性”，然后利用圓錐曲線知識求解，是幾何性質在圓錐曲線問題中的應用體現. 平面幾何性質是中學學習的重點，應用于圓錐曲線中要關注幾何與曲線、幾何與坐標系之間的關聯，以線段、點坐標為紐帶構建思路.

利用幾何性質求解圓錐曲線問題的一般思路如下：

第一步，根據題意繪制圖像，把握問題條件，提取幾何圖形;

第二步，構建幾何模型，結合幾何性質挖掘隱含條件;

第三步，綜合圓錐曲線知識和幾何特性構建思路，從函數視角進行解析.

實例探究

平面幾何的性質定理眾多，在解析應用時可圍繞基本圖形的特殊性質來探究，如等腰、等邊三角形的“三線合一”特性，直角三角形的垂直特性，圓中的對稱、直角特性等，具體解析時采用數形結合的策略，立足幾何特性開展解法探究.

類型1：三角形中位線性質

三角形的中位線是圖形內的特殊線段，由于連接了邊的中點，使得中位線與對邊在位置和線段長兩方面具有幾何關系，解題時可利用中位線的性質來推理長度關系或平行關系，以此為中心構建解題思路.

例1：已知點P是橢圓 + =1（y≠0）上的一個動點，橢圓的左、右焦點分別為F 和F ，點O為坐標原點. 如果點M是∠F PF 的平分線上的一點，且 · =0，則 的取值范圍為________.

解析：根據題設條件繪制圖像，如圖1所示. 設F M與PF 延長線的交點為N，由于PM平分∠F PF ，可證△PF N為等腰三角形，PM⊥F N，進一步易證△PF M≌△PNM，由全等性質可得PF =PN，F M=MN.

在△F F N中，已知點O為F F 的中點，點M為F N的中點，則OM就為△F F N的中位線，所以OM= F N= PN-PF = PF -PF . 由橢圓定義可知PF +PF =8，所以OM= PF -（8-PF1）？搖=PF -4. 由橢圓方程易得4-2

評析：上述通過構圖形成了等腰三角形，進一步構建了OM為△F F N的中位線，結合中位線的性質和橢圓的性質即可推導出線段OM的長度范圍. 中位線性質在圓錐曲線問題中應用極為廣泛，解題時要充分利用圖像中的中點，合理構建幾何模型. 中位線性質中的平行關系常與直線斜率相結合，可利用平行關系推導直線解析式.

類型2：等腰三角形的性質

等腰三角形是特殊的幾何圖形，具有等邊對等角的特性，同時圖形中的“三線合一”性質將角相等、垂直、線段相等關系有機地融合在一起，解題時靈活運用可實現等量關系與位置關系的轉換.

例2：已知圓x2+y2+2x-15=0的圓心為點A，過點B（1，0）且不與x軸相重合的直線l與圓相交于點C和D. 現過點B作AC的平行線，與AD的交點設為點E，回答下列問題.

（1）試分析EA+EB是否為定值，若為定值，求出該值;若不為定值，請說明理由.

（2）求出動點E的軌跡方程.

解析：（1）由條件可知圓的圓心A坐標為（-1，0），且半徑為4，根據題意可繪制圖2所示圖像. 由于AC=AD，則△ACD為等腰三角形，則∠EBD=∠EDB，故ED=EB. 此時EA+EB=EA+ED=AD=4，所以EA+EB為定值，且定值為4.

（2）由條件可得點A（-1，0），B（1，0），點E是動點，且EA+EB=4>AB，由橢圓定義可知，點E的軌跡是以點A（-1，0），B（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，即a=2，b= ，c=1，所以點E的軌跡方程為 + =1.

評析：上述在探究定值問題時充分利用了等腰三角形的性質和判定定理，由等邊推等腰，再由等腰推等角、等邊，從而實現了線段的等量轉換.

類型3：直角三角形特性

直角三角形的直角特性應用廣泛，利用直角可以進行角度推導，也能由勾股定理構建線段關系模型. 在圓錐曲線中主要運用直角三角形特性構建線段關系方程，或在圖形中構建三角函數關系.

例3：已知橢圓 + =1的兩個焦點分別為F （-c，0），F （c，0），其中a，b，c均為正數. 已知長軸長為4，直線l經過點A（0，-b）和B（a，0），原點到直線l的距離為 .

（1）求橢圓的方程;

（2）如果點M和N是定直線x=4上的兩個動點，已知 · =0，證明：以MN為直徑的圓過定點，并求出該定點的坐標.

解析：（1）簡答，可得橢圓的方程為 + =1.

（2）根據題意可設以MN為直徑的圓的圓心為O′（4，h），半徑為R，與x軸的交點為C和D，F M與F N相交于點P，如圖3所示，連接圖中的線段. 分析可知∠OPO′=∠OPF +∠NPO′=∠OF P+∠F NE=∠NF E+∠F NE=90°，即△OPO′為直角三角形，由勾股定理可得OO′2=OP2+O′P2=1+R2. 又知OO′2=OE2+O′E2=16+h2，所以1+R2=16+h2，即 = ，則CE=DE= . 又知點E的坐標為（4，0），則點C的坐標為（4- ，0），點D的坐標為（4+ ，0），所以以MN為直徑的圓與坐標x軸相交于兩定點（4- ，0）和（4+ ，0）.

評析：上述在探究圓過定點時是引入了直角三角形，利用直角三角形的勾股定理來構建方程，進而推導出關鍵點的坐標. 勾股定理反映了直角三角形的三邊關系，在圓錐曲線問題中有兩種使用策略：一是由直角特性構建線段關系，二是由線段的平方和關系推導直角特性.

類型4：圓的幾何性質

圓是特殊的幾何圖形，含有眾多的幾何性質，如垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理等. 同時圓也是圓錐曲線重點研究的對象，解析過程可充分利用圓的性質定理進行條件推導.

例4：平面直角坐標系xOy中，點A是直線l：y=2x上位于第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l的另一交點為D. 若 · =0，則點A的坐標為________.

解析：結合題意繪制圖4所示圖像，由于 · =0，則AB⊥CD. 又知點C是AB的中點，點D位于圓上，則△ABD為等腰直角三角形，即∠ADB= ，∠BAO= . 設直線l的傾斜角為θ，則tanθ=2，可推得直線AB與x軸的夾角∠ABx= +θ，則直線斜率k =tan +θ=-3，結合點B的坐標可知直線AB的解析式為y=-3x+15，與直線l解析式聯立可得點A的坐標為（3，6）.

評析：上述在探究點A的坐標時充分利用了幾何性質，由條件推導等腰三角形，結合斜率與傾角的關系確定了直線的解析式，進而求出交點. 解題過程涉及圓中的“直徑對直角”，等腰三角形的“三線合一”定理等，利用幾何性質構建思路更為簡潔.

反思總結

幾何與代數的結合是研究圓錐曲線問題的重要策略，把握圖形的幾何特性，利用性質推導隱含條件可降低思維難度. 同時，圓錐曲線研究的對象是幾何圖形與曲線關系，解析過程顯然不能繞開幾何性質而單純進行代數推導. 上述所涉及的幾何性質在圓錐曲線問題中十分常用，考題探究要關注幾何性質解題的構建思路，下面提出幾點教學建議.

建議一：數形結合，以圖像構建為解題先導

數形結合是求解圓錐曲線問題的常用方法，數形結合解題一般分兩步進行：第一步，結合問題條件繪制或完善圖像;第二步，結合圖像推導條件，轉化問題. 其中第一步圖像構建是問題突破的先導，將直接決定思路構建的難易. 因此在解題教學中，首要任務是引導學生構建圖像，提取圖像中的特殊圖形、特殊關系. 教學中要重視培養學生的幾何直觀，以及幾何建模能力.

建議二：知識總結，以性質歸納為復習重點

利用平面幾何性質可有效降低圓錐曲線問題的解析難度，解析時要合理處理圖形與曲線的位置關系、圖形特性與函數條件的關系. 圓錐曲線問題設問形式多變，但基于問題本質可將其歸為常見的幾類，解題探究中要注重知識總結，可圍繞幾何性質來歸納解題方法. 如上述利用中位線關系、勾股定理構建線段關系，由等腰三角形特性開展等角、等邊轉換等. 教學中要引導學生挖掘圖形特性，合理進行性質拓展，提升學生的總結歸納能力.