空間幾何體外接球問題模型化及備考策略化

盧妮 蔡海濤 潘敬貞

[摘? 要] 縱觀近年高考題，立體幾何中外接球問題的試題頻頻出現.文章研究求解外接球問題最適應的方法，探究其解題策略.

[關鍵詞] 高考立體幾何;外接球;模型化

近年高考悄然興起立體幾何與多面體相關的外接球問題，如2020年全國卷Ⅰ理科第10題、2020年全國卷Ⅰ文科第12題、2020年全國卷Ⅱ理科第10題、2020年全國卷Ⅱ文科科第11題、2019年全國卷Ⅰ理科第12題、2018年全國卷Ⅲ文科第12題、2017年全國卷Ⅰ文科第16題、2017年全國卷Ⅲ理科第8題、2015年全國卷Ⅱ理科第9題、2015年全國卷Ⅲ文科第10題……從題型上看是5分小題，可能是選擇題，也可能是填空題;從難易程度上看，屬于中、低檔難度問題.這類試題對學生來說，是個不小的挑戰，實測情況考生得分率較低.

著名數學教育家波利亞認為解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃、反思回顧等四個階段，并據此給出了頗具啟發性的“怎樣解題”表. 波利亞把傳統的單純解題發展為通過解題獲得新知識、新技能的學習過程，他的目標不是找出可以機械地用于解決一切問題的“萬能方法”，而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是，由已有的成功實踐，總結出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發作用[1] . 另外，我們該如何避免在考場現找思路，進行復雜的運算？

基于此，本文從外接球的相關知識，引導學生解題時有條理地思考，尋找一個模型，把不熟悉的問題轉化為熟悉的模型，幫助學生有效積累解題經驗和解題策略.

外接球的相關知識點

1. 外接球的定義

若一個多面體的各個頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球.

2. 性質

性質（1）：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）;

性質（2）：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應的圓面的直線相交，交點是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點是圓心）.

試題模型化與解題策略化

1. 長方體模型

例1：（2019年高考全國卷Ⅰ理科第12題）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（? ）

A. 8 π B. 4 π

C. 2 π D.? π

分析：如圖1，先證得PB⊥平面PAC，再求得PA=PB=PC= ，從而得P-ABC為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑.

簡解：如圖1，因為PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以P-ABC為正三棱錐，所以PB⊥AC. 又E，F分別是PA，AB的中點，所以EF∥PB，所以EF⊥AC.又EF⊥CE，CE∩AC=C，所以EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，所以∠APB=90°，所以PA=PB=PC= ，所以P-ABC為正方體一部分，2R= = ，即R= ，所以V= πR3= π× = π. 故選D.

解題策略：

如圖2至圖5，三條棱兩兩垂直，可以看成長方體的一部分，不找球心的位置也可求出球半徑.因為長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中點是球心.

找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2，即2R= ，求出R.

2. 對棱相等三棱錐模型

例2：正四面體的各條棱長都為 ，求該正四面體外接球的體積.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

分析：如圖6，正四面體對棱相等的模式，放入正方體中，2R= ， R= ，V= π· = π.

解題策略：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑.如圖7，構造一個長方體，使得三棱錐的六條棱分別是長方體各個面的對角線，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z.設長方體的長寬高分別為a，b，c，根據長方體模型，2R= = ，求出R.

3. 定位球心位置模型

例3：（2020年高考全國卷Ⅰ理科第10題/2020年高考全國卷Ⅰ文科第12題）

已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O 為△ABC的外接圓，若⊙O 的面積為4π，AB=BC=AC=OO ，則球O的表面積為（? ）

A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π

分析：如圖8，由已知可得等邊三角形ABC的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出OO 的值，根據球的截面性質（1），求出球的半徑，即可得出結論. 故選A.

例4：（2020年高考全國卷Ⅱ理科第10題/2020年高考全國卷Ⅱ文科第11題）

已知△ABC是面積為 的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（? ）

A.? B.

C. 1 D.

分析：如圖9，根據球O的表面積和△ABC的面積可求得球O的半徑R和△ABC外接圓半徑r，由球的性質可知所求距離d= . 故選C.

解題策略：取△ABC的外心O ，過O 作平面ABC的垂線，在該垂線上取點O，連接OA，OA即為外接球半徑，由性質（1）得：R2=OA2=O A2+O O2.

例5：（2017年高考全國卷Ⅲ理科第8題）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（? ）

A. π B.? ?C.? ?D.

分析：如圖10，畫出圓柱的軸截面，AC=1，AB= ，所以r=BC= ，那么圓柱的體積是V=πr2h=π× 2×1= π，故選B.

解題策略：如圖11至12，一條棱垂直于一個面的棱錐、直棱柱、圓柱.

h為高，r為底面半徑或外接圓半徑，遇到后者，補形成圓柱，三角形外接圓半徑可用正弦定理求解，外接球的半徑R= .

例6：在邊長為2 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則此四面體的外接球表面積為________.

分析：如圖14，取BD的中點M，△ABD和△BCD的外接圓半徑為r =r =2，△ABD和△BCD的外心O ，O 到弦BD的距離（弦心距）為d =d =1，四邊形OO MO 的外接圓直徑OM=2，R= ，S=28π.

解題策略：如果找到球心位置，自然就找到了半徑，外接球的問題也就自然可以解決.

第一步：先畫出如圖15所示的圖形，將△BCD畫在小圓上，找出△BCD和△A′BD的外心H1與H2;

第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面A′BD的垂線，由性質（2），兩垂線的交點即為球心O，連接OE，OC;

第三步：解△OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，由勾股定理有OH +CH =OC2.

注：易知O，H1，E，H2四點共面且四點共圓，證略.

在高三復習中，教師可從全國各地高考真題中抽取出以上題型的試題，并組成相應的題庫，進行試題模式化與策略化教學，有意識地引導學生在解題中識別題型，有效地促進學生將陌生問題轉化為熟悉問題，加快解題速度.

參考文獻：

[1]? 波利亞. 怎樣解題：數學思維的新方法[M]. 上海：科技教育出版社，2007.