定位分析策略探索 核心探討教學微設

李欣榮

[摘? 要] 圓錐曲線是高考的重難點，引導學生掌握解題流程，形成解題策略極為重要. 教學中建議立足考題開展過程探究，圍繞核心之問進行教學微設計，關注學生的思維活動，重視解題方法講解. 文章以一道考題為例進行教學探究，基于教學實踐提出相應建議.

[關鍵詞] 圓;三角形;面積;線段;最值;平面幾何

考題探究是數學教學的重要方式，通過引導學生探究問題，總結解法，可有效提升學生的解題思維. 而在探究過程中要關注兩方面內容：一是問題的解析策略，二是學生的思維活動. 下面基于一道考題開展教學探究.

呈現問題，定位分析

問題：已知圓C經過坐標原點O，并且與x軸和y軸分別交于點A和B，設圓心C的坐標為t， （t∈R，t≠0），試回答下列問題.

（1）求證：△AOB的面積為定值.

（2）若直線2x+y-4=0與圓C交于點M和N，且OM=ON，試求圓C的方程.

（3）在（2）成立的條件下，設點P是直線l：x+y+2=0上的動點，點Q是圓C上的動點，探究PB+PQ是否存在最小值，若存在請求出該最小值，以及點P的坐標;若不存在，請說明理由.

定位分析：本題目中以圓為背景，探究直線與圓的位置關系、三角形的面積模型、線段和的最值，其中涉及直線、三角形等幾何圖形，問題的綜合性極強. 探究過程要注重讀圖審題，策略分析，思路構建.

思路構建，問題詳解

考題共分三小問，每一問各自獨立，又相互依存，思路構建過程可采用分步探究的方式，立足設問條件，探索構建方法.

第一問：構建幾何模型，解析面積最值

審題：設定點A和B為圓與坐標軸的交點，并給出圓心坐標，求證△AOB的面積為定值.

策略分析：分析三角形特征，構建面積模型，設定坐標參數求證面積定值. 可按照“構建模型→定值解析”的思路來逐步突破.

過程突破：已知圓心C的坐標為t， ，設圓的半徑為r，則可將圓的方程表示為（x-t）2+y-? =r2. 由于圓C經過坐標原點，故t2+ =r2，化簡圓的方程可得x2-2tx+y2- y=0. 由于點A和B分別是圓與坐標x軸和y軸的交點，結合圓的方程可得點A（2t，0），B0， . 結合圖像可將△AOB的面積表示為S = OAOB，由點坐標可知OA=2t，OB= ，所以S = 2t· =4，所以△AOB的面積為定值4.

第二問：轉化等量關系，解析圓的方程

審題：題干設定直線2x+y-4=0與圓C的交點為M和N，且OM=ON，顯然△OMN是以點O為頂點的等腰三角形，存在幾何特性.

策略分析：根據上述幾何條件可知點C位于線段MN的中垂線上，OC與MN就為垂直關系，根據斜率之積為-1，可求出圓心的坐標，后續對直線與圓的位置關系加以論證即可. 分如下兩步求解，第一步，把握幾何特性，提取斜率關系，推導圓心坐標;第二步論證直線與圓的相交關系.

過程突破：設定MN的中點為H，根據等腰三角形特性可知CH⊥MN，且C，O，H三點共線，故直線2x+y-4=0與直線OC為垂直關系. 已知直線2x+y-4=0的斜率為k =-2，則直線OC的斜率k = = ，可解得t=2或t=-2，因此圓心分別為（2，1）或（-2，-1）.

①當圓心為（2，1）時，圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，則圓心到直線的距離為 = < ，此時直線與圓C為相交關系，符合題意;②而當圓心為（-2，-1）時，C的方程為（x+2）2+（y+1）2=5，此時圓心到直線的距離為 = > ，此時直線與圓為相離關系，不滿足題意，舍去.

綜上可知，圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5.

過程分析：實際上對于第二步的“相交關系論證”還可以采用方程聯立的方式進行化簡，由于直線與圓C相交，故有兩個不同的交點，則聯立Δ>0，即可做出排除.

第三問：處理動點條件，探究線段最值

審題：該問在第（2）問的基礎上構建，核心條件是點P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，則分別滿足對應的方程. 探究PB+PQ的最小值，屬于雙動點問題，需要關注圓與直線的位置特性.

策略分析：PB+PQ中的點P和Q分別為動點，故屬于雙動點最值問題. 可以采用單動點轉化的策略，先設點P為定點，點Q在圓上運動，根據圓與直線的距離特性確定最小值;然后分析點P在直線l上運動時的最值情形.

過程突破：設點P為定點，當點Q在圓上運動時，易知PQ的最小值為PC- ，則PB+PQ的最小值為PB+PC- . 而當點P在直線l上運動時，求PB+PC- 的最小值，只需PB+PC取得最小值即可，點B和C位于定直線l的同一側，顯然滿足幾何最值中的“將軍飲馬”模型，作點B關于直線l的對稱點，設為點B′，顯然當B′，P和C三點共線時，PB+PC可取得最小值，此PB+PC=B′C，B′C與直線l的交點可設為P . 點B（0，2），其對稱點B′（-4，-2），則線段B′C=3 ，所以PB+PQ的最小值為B′C- =2 . 由點B′和點C的坐標可求直線B′C的表達式為y= x，聯立方程y= x，x+y+2=0，可得點P - ，- .

綜上可知點，PB+PQ存在最小值，最小值為2 ，此時點P的坐標為- ，- .

核心探討，教學“微設”

上述在解析圓錐曲線問題時，立足考題條件，開展策略分析，詳盡地呈現了解題過程，有利于培養學生的解題思維. 而在實際教學中，建議立足核心之問開展教學微設計，下面基于第（3）問進行階梯設問，引導思考.

環節（一）——單動點回顧，最值初探

題設：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，與坐標y軸的交點為B，點P是直線l：x+y+2=0上的定點，點Q是圓C上的一個動點.

設問：如何求PQ的最小值.

教學引導：引導學生設定點P的位置，結合圖像分析，當點Q位于點P和點C中間，且三點共線時PQ取得最小值，連接PC，與⊙C的交點就為點Q. 由于圓的半徑為 ，則PQ的最小值為PC- . 分析過程要引導學生總結解題策略，掌握數形結合的分析方法，活用“三點共線”確定點的位置.

環節（二）——模型回顧，突破最值

題設：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，與坐標y軸的交點為B，點P是直線l：x+y+2=0上的一個動點，點Q是圓C上的一個動點.

設問：按照上述思路如何求PB+PQ的最小值.

教學引導：教學中引導學生將PB+PQ轉化為求PB+PC- ，讓學生關注PB+PC中點與直線的位置情形，引入“將軍飲馬”模型，引導學生回顧模型的解析方法，充分利用軸對稱變換和“兩點之間，線段最短”原理進行最值求解.

環節（三）——問題變式，思維拓展

變式：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，與坐標y軸的交點為B，點P是直線l：x+y+2=0上的動點，試求△PBC周長的最小值.

教學引導：引導學生根據周長公式轉化為求PB+PC+BC的最小值，其中BC為定值 ，則本質上就是求PB+PC的最小值，同樣可結合“將軍飲馬”模型進行突破. 教學中要引導學生關注問題本質，總結常見模型的知識原理.

解后探討，教學反思

1. 注重解題引導，提升解題技巧

圓錐曲線考題的解析難度較大，引導學生掌握解題技巧十分重要. 以上述綜合題的突破過程為例，教學中建議按照“條件審視→策略分析→過程探究”的流程逐步突破，在“條件審視”環節引導學生關注條件特征，挖掘問題本質;“策略分析”時基于問題本質思考類型問題的突破策略及知識原理;而在“過程探究”中注重設問引導，結合解題策略分步突破. 教學引導中要注重解題的方法技巧總結，必要時可開展多解探究，充分提升學生的解題能力.

2. 挖掘幾何特性，構建直觀模型

圓錐曲線問題具有“數”與“形”的特點，充分挖掘其中的幾何特性，構建直觀的模型可降低問題的思維難度，也是該類問題突破的重要手段. 如上述第（2）問基于幾何垂直構建斜率關系，第（3）問挖掘其中的“將軍飲馬”模型，直接確定最值情形，平面幾何知識在問題突破中發揮了重要的作用. 教學中可引導學生采用數形結合的方法分析問題，挖掘圖像中的幾何特性，利用幾何特性轉化問題，構建思路. 同時，注重挖掘函數知識的幾何意義，借用模型探究培養學生的幾何直觀性.

3. 關注學生思維，發展數學素養

學生的思維活動是教學關注的重點，教學中要引導學生充分思考，參與探究過程，親歷解題過程，形成解題策略. 以上述考題探究為例，基于核心之問進行教學微設計，由易到難，剖析問題本質，思考解題策略，同時基于問題開展變式探究，拓展學生思維. 教學中可合理滲透數學的思想方法，圍繞解題探索感悟數學思想，如數形結合思想、分類討論、化歸轉化、模型思想等，讓學生掌握解題方法的同時獲得思想上的提升，后者對于發展學生的數學素養極為重要.