到兩定點連線斜率之和（差、積、商）為定值的點的軌跡研究

徐輝

[摘? 要] 文章研究了在平面直角坐標系中，到兩定點連線斜率之和（差、積、商）為定值的點的軌跡問題.

[關鍵詞] 斜率;定值;軌跡

在學習橢圓的時候，我們知道，橢圓與雙曲線上任意一點到其一條過原點的弦兩端點的連線斜率之積為定值，由此想到，在平面直角坐標系中，到兩定點連線斜率之和（差、積、商）為定值的點的軌跡是什么呢？我們來研究一下.

命題1：在平面直角坐標系內，到兩定點連線斜率之和為定值的點的軌跡是除去一個點的一條直線（如圖1），或是除去兩個點的兩條直線（如圖2），或是除去兩個點的雙曲線（如圖3、圖4、圖5）.

證明：不失一般性，不妨設兩定點A（a，b）與B（-a，-b）（其中a，b不同時為0），動點P（x，y），且直線PA，PB的斜率均存在，分別記為k = ，k = （以下命題2-4同）.

若點P滿足k +k =m（定值），即 + =m.

可化為（y-b）（x+a）+（y+b）（x-a）=m（x-a）（x+a），

即2xy=mx2+a（2b-ma）（x≠±a）（*）.

（1）當a（2b-ma）=0時，

①若a=0，則（*）即為2xy=mx2？圯y= x（x≠0）（x=0舍去，因x≠±a），點P的軌跡為除去原點的一條直線（如圖1）;

②若a≠0且m= 時，（*）可化為x=0或y= x（x≠±a），點P的軌跡為除去兩個點的兩條相交直線（如圖2）.

（2）當a（2b-ma）≠0時，

（*）可化為y= mx+ ，由m（2ab-ma2）=-a2mm- 知：

①若m=0，此時2ab-ma2=2ab≠0，（*）為y= ，點P的軌跡為除去A，B兩個點的雙曲線（如圖3）;

②若mm- >0，此時m（2ab-ma2）<0，點P的軌跡為除去A，B兩個點的雙曲線（如圖4）;

③若mm- <0，此時m（2ab-ma2）>0，點P的軌跡為除去A，B兩個點的雙曲線（如圖5）.

綜合以上幾種情況可得：當2ab-ma2≠0時，點P的軌跡為除去A，B兩個點的雙曲線.

命題2：在平面直角坐標系內，到兩定點連線斜率之差的絕對值為定值的點的軌跡是除去兩個點的一條直線（如圖6），或兩條直線（如圖7），或除去兩個點的兩條拋物線（如圖8），或不存在.

證明：若點P滿足k -k =m（定值m≥0），即 - =m， =m（x≠±a）.

（1）當m=0時，上式可化為2ay-2bx=0？圯bx-ay=0，

①若a=0，則x=0，但x≠±a，故此時滿足題意的點不存在;

②若a≠0，則y= x（x≠±a），此時點P的軌跡為除去兩個點的一條直線（如圖6）.

（2）當m≠0時，可化為： - =m（#）或 - =-m（##），

①若a=0，則b≠0，由（#）可得x= - ，由（##）可得x= ，故此時點P的軌跡是兩條直線（如圖7）.

②若a≠0，則由（#）可得2ay=mx2+2bx-ma2？圯y= x2+ x- （x≠±a）;由（##）可得y=- x2+ x+ （x≠±a）.

故點P的軌跡為除去兩個點的兩條拋物線（如圖8）.

命題3：在平面直角坐標系內，到兩定點連線斜率之積為定值的點的軌跡是除去兩個點或四個點的一條直線（如圖9、圖10），或除去四個點的兩條直線（如圖11），或除去兩個點或四個點的一個圓（如圖12、圖13），或除去兩個點或四個點的一個橢圓（如圖14、圖15），或除去兩點或四個點的雙曲線（如圖16、圖17）.

證明：若點P滿足k k =m（定值），即 · =m（x≠±a）.

（1）當m=0時，上式可化為y=±b（x≠±a）.

①若b=0，則上式可化為y=0（x≠ ±a），此時點P的軌跡是除去兩個點的一條直線（如圖9）;

②若b≠0，則上式為y=±b（x≠±a），此時點P的軌跡是除去四個點（a≠0）或兩個點（a=0）的兩條直線（如圖10）.

（2）當m≠0時， · =m可化為mx2-y2=ma2-b2.

①若ma2-b2=0，此時a≠0，m= >0，

mx2-y2=ma2-b2即為mx2-y2=0？圯y2=mx2？圯y=± x，即y=± x（x≠±a），故當m= >0時，點P的軌跡為除去四個點的兩條直線（如圖11）.

②若ma2-b2≠0，mx2-y2=ma2-b2即為 - =1（**）.

（Ⅰ）當 >0，ma2-b2<0， =-（ma2-b2），即m=-1時，（**）即為x2+y2=a2+b2（x≠±a），

故當m=-1且a=0時，點P的軌跡為除去兩個點的一個圓（如圖12）;

當m=-1且a≠0時，點P的軌跡為除去四個點的一個圓（如圖13）.

（Ⅱ）當 >0，ma2-b2<0， ≠-（ma2-b2），即m∈（-∞，-1）∪（-1，0）時，

（**）即為 + =1，

故當m∈（-∞，-1）∪（-1，0）且a=0時，點P的軌跡為除去兩個點的一個橢圓（如圖14），當m∈（-∞，-1）∪（-1，0）且a≠0時，點P的軌跡為除去四個點的一個橢圓（如圖15）. 繼續研究可知當m∈（-∞，-1）時，圖14、15的橢圓焦點在y軸上，當m∈（-1，0）時，圖14、15的橢圓焦點在x軸上.

（Ⅲ）當 （ma2-b2）>0時，故當m>0且a=0時，（**）即為 - =1（x≠0），點P的軌跡是除去兩點的雙曲線（如圖16），且此雙曲線的焦點在y軸上;當m>0且m≠ （a≠0）時，點P的軌跡是除去四點的雙曲線（如圖17），且當m> 時，此雙曲線的焦點在x軸上，當m< 時，此雙曲線的焦點在y軸上.

（Ⅳ）當 <0，ma2-b2>0時，（**）無意義，點P不存在.

命題4：在平面直角坐標系內，到兩定點連線斜率之比為定值的點的軌跡是除去一個點或兩個點的一條直線（如圖18、圖19、圖20、圖21、圖22），或除去兩個點的雙曲線（如圖23、圖24、圖25）.

證明：若點P滿足 =m（定值），即 =m（x≠±a，y≠-b）（***）.

（1）當m=0時，（***）即y=b（x≠±a，y≠0）.

若b=0，則滿足題意的點P不存在;

若b≠0，則當a=0，則點P的軌跡是除去一個點的一條直線（如圖18）;

當a≠0，則點P的軌跡是除去兩個點的一條直線（如圖19）.

（2）當m=1時，（***）即 =1（x≠±a，y≠-b）.

若a=0，則b≠0，此時滿足題意的點P不存在;

若b=0，則a≠0，此時滿足題意的點P也不存在;

若ab≠0，則（***）可化為y= x（x≠±a），點P的軌跡為除去兩個點的一條直線（如圖20）.

（3）當m≠0且m≠1時，

若a=0，則（***）可化為：y= （x≠0），點P的軌跡為除去一個點的一條直線（如圖21）;

若b=0，則（***）可化為：x= （y≠0），點P的軌跡為除去一個點的一條直線（如圖22）;

若ab≠0，則（***）可化為：y= ，點P的軌跡為除去兩個點的雙曲線（如圖23、圖24、圖25），三個圖分別對應m∈（-∞，0），m∈（0，1）及m∈（1，+∞）的情況.