應(yīng)用GeoGebra軟件處理高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)難點(diǎn)

楊玉明

【摘要】幾何畫板是數(shù)學(xué)老師常用的教學(xué)輔助軟件，其規(guī)范和準(zhǔn)備的繪圖功能，能把一些抽象的圖形運(yùn)動(dòng)過程直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前。隨著科技和信息化地日益發(fā)展，Markus Hohenwarter設(shè)計(jì)了一款新的動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件：GeoGebra。GeoGebra由Geometry和Algebra組合而成（以下簡(jiǎn)稱GGB），同時(shí)擁有處理幾何繪圖與代數(shù)運(yùn)算的能力，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的有力工具。

【關(guān)鍵詞】GeoGebra;高中數(shù)學(xué);課堂教學(xué)

GGB軟件功能強(qiáng)大、繪圖工具齊全、使用簡(jiǎn)單、交互性強(qiáng)，可以創(chuàng)作出許多數(shù)學(xué)藝術(shù)作品，特別是利用它可以揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)魅力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。該軟件是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的助手、數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的工具。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中很多老師碰到抽象的數(shù)學(xué)概念往往不知如何講解，講解了學(xué)生也無法理解。正所謂數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，運(yùn)用GGB軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)可以幫助我們解決這個(gè)難題。

一、GGB在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分。初入高一的學(xué)生，對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)常常感到不知所措，難于理解和掌握。如果使用傳統(tǒng)板書教學(xué)，不利于學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，這時(shí)使用GGB軟件將三角函數(shù)概念、公式、性質(zhì)通過圖像精確表達(dá)，可以減輕教師的教學(xué)壓力，降低學(xué)生的思維難度，將抽象的數(shù)學(xué)公式圖形化也有利于學(xué)生理解和掌握新知識(shí)。

例如在講解三角函數(shù)y=Asin（ωx+ρ）的圖像時(shí)，運(yùn)用GGB軟件教學(xué)可以讓學(xué)生直觀的觀察到A，ω，ρ變化時(shí)三角函數(shù)圖像是如何變化的。如圖，先畫出 y=sinx的圖像，再插入三條滑動(dòng)條A，ω，ρ，再輸入函數(shù)y=Asin（ωx+ρ） 。

情形一、首先讓固定ω=1，ρ=0，讓A變動(dòng)，讓學(xué)生觀察y=Asinx圖像隨A變化的變化情況，以及與y=sinx圖像的不同。接著固定A的值，令ω=1，讓?duì)炎儎?dòng)，讓學(xué)生觀察y=Asin（ωx+ρ）圖像隨ρ變化的變化情況，以及與y=sinx圖像的不同。最后固定A及ρ的值，讓?duì)刈儎?dòng)，學(xué)生觀察y=Asin（ωx+ρ）圖像隨ω變化的變化情況，以及與y=sinx圖像的不同。

情形二、首先讓固定ω=1，ρ=0，讓A變動(dòng)，讓學(xué)生觀察y=Asinx圖像隨A變化的變化情況，以及與y=sinx圖像的不同。

接著固定A的值，令ρ=0，讓?duì)刈儎?dòng)，學(xué)生觀察y=Asinωx圖像隨ω變化的變化情況，以及與 y=sinx圖像的不同。最后固定A、ω的值，讓?duì)炎儎?dòng)，讓學(xué)生觀察y=Asin（ωx+ρ）圖像隨ρ變化的變化情況，以及與y=sinx圖像的不同。

二、GGB在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分，也是高考重要的考點(diǎn)之一。但是大部分學(xué)生特別是女生在初學(xué)立體幾何時(shí)，空間想象能力欠缺，教師用傳統(tǒng)板書畫圖教授新知時(shí)，學(xué)生的思維還停留在平面幾何中。立體幾何具有較強(qiáng)的抽象性，空間概念和關(guān)系的建立，需要嚴(yán)密周到的思維和想象，如何幫助學(xué)生快速地從平面過渡到立體，從二維過渡到三維，我們可以利用GGB軟件中的3D繪圖功能構(gòu)建三維立體圖形應(yīng)用到實(shí)際教學(xué)中。

例如在立體幾何中碰到講解用一個(gè)動(dòng)態(tài)的平面去截一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的形成的截面形態(tài)問題時(shí)，教師要在黑板上畫出這個(gè)動(dòng)態(tài)過程非常困難，學(xué)生要抽象出截面的形成過程也是十分困難，此時(shí)利用GGB軟件進(jìn)行教學(xué)可以輕松地破解這一難題。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，J是棱CC1上一點(diǎn)，平面過點(diǎn)A1，D，J，則平面截正方體的截面可以是什么圖形？如圖，在GGB的3D繪圖功能下，選擇正六面體工具畫出正方體ABCD-A1B1C1D1，在棱CC1上取一點(diǎn)J，利用過三點(diǎn)平面工具畫出過點(diǎn)A1，D，J的平面，利用交點(diǎn)工具畫出平面與正方體ABCD-A1B1C1D1各棱的交點(diǎn)，分別用線段工具連接A1，D，J與各棱的交點(diǎn)形成截面多邊形，然后點(diǎn)擊J點(diǎn)的動(dòng)畫功能實(shí)現(xiàn)J點(diǎn)在棱CC1上動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)，觀察J點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面的情況。

在立體幾何中，求幾何體的外接球半徑的題目，在學(xué)生心中是一類困難非常大的題目。教師在黑板上畫出空間位置關(guān)系進(jìn)行講解時(shí)，學(xué)生在腦中抽象出所求幾何體的外接球是非常困難的，教師的教與學(xué)生的學(xué)不能順利的銜接。GGB的3D繪圖功能為我們進(jìn)行這類題目的教學(xué)提供了強(qiáng)有力的工具。我們可以逐一構(gòu)建長(zhǎng)方體、正方體的外接球的3D模型、直三棱柱的外接球的3D模型、一側(cè)棱垂直于底面的棱錐的外接球的3D模型、正三棱錐的外接球的3D模型，讓學(xué)生直觀地觀察，體會(huì)此類題目圖形間的位置關(guān)系，數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、GGB在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

在解析幾何的教學(xué)中，傳統(tǒng)的板書教學(xué)往往是使用純粹代數(shù)演算的方式來開展數(shù)學(xué)教學(xué)工作的。解析幾何的本質(zhì)是幾何問題，圓錐曲線題目的設(shè)計(jì)脫離不了其平面幾何的背景。在進(jìn)行解析幾何的教學(xué)中，教師要注重其幾何背景，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合往往能事半功倍。

GGB軟件繪圖工具齊全，同時(shí)具備很多軟件沒有的字母運(yùn)算能力，交互性強(qiáng)，內(nèi)置了圓錐曲線（同時(shí)會(huì)給出方程）、極線（反演）、切線（可以是圓、圓錐曲線或函數(shù)），在指令欄中直接輸入圓、圓錐曲線的方程即可繪制相應(yīng)圖形。在進(jìn)行圓錐曲線的定點(diǎn)、定形、定值問題的教學(xué)過程中，可以利用GGB軟件快速地繪制出圓錐曲線的圖形，根據(jù)題目的條件，利用GGB軟件的軌跡追蹤功能讓學(xué)生先觀察，再進(jìn)行數(shù)學(xué)演算講解，能夠讓學(xué)生更容易地、更深刻地吸收知識(shí)。利用GGB軟件進(jìn)行圓錐曲線教學(xué)研究，試題研究，可以舉一反三，可以從一道題擴(kuò)展到一類題，可以驗(yàn)證圓錐曲線試題設(shè)計(jì)的正確性，題目答案的正確性，這是傳統(tǒng)的教學(xué)方式所不能比擬的。

四、總結(jié)

GeoGebra作為一款融幾何、代數(shù)于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)科軟件，可以為我們構(gòu)建所見即所得的情境。在技術(shù)的支持下，特別是在一些抽象問題的教學(xué)中，我們的教學(xué)可以更直觀的，這是傳統(tǒng)的教學(xué)模式是無法比擬的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]GeoGebra官方網(wǎng)站 http：//www.GeoGebra.org.

[2]王貴軍.GeoGebra與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2020年10月