例談斐波那契數列的性質與應用*

陳瀟春 惠 宇 (江蘇省無錫市第一女子中學 214002)

1 引言

在新的高考改革中，與數學文化相結合的題目可謂百花齊放、百家爭鳴，從鱉臑到日冕，從幾何原本到九章算術，從維納斯身高到故宮臺階級數，不僅檢驗學生的知識儲備水平，更考查學生對所學知識的調用、遷移、轉換、應用以及創新的能力，由點到面地考查學生的數學核心素養．本文試圖通過對學生熟悉的數列研究方法的探究，例析斐波那契數列的相關性質與應用，并談談對此類與數學文化相結合問題的教學思考，以期拋磚引玉．如有不當之處，敬請批評指正．

2 斐波那契數列的性質及應用

斐波那契數列(Fibonacci sequence)是由 13世紀意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時提出的，其獨特魅力不僅在于它源于生活的現實應用之美，更在于它獨有的數學理性之美．在探究性質、找尋規律的過程中所散發的理性與智慧，正是它流傳至今并活躍于各地高考模考的重要原因．

設數列{an}為斐波那契數列，根據定義，數列{an}滿足遞推關系an=an-2+an-1(n≥3)，其前n項和記作Sn．

性質1Sn=an+2-1．

證明方法1(迭代法)an+2-1=an+an+1-1=an-2+an-1+an-1+an-1=an-2+(an-3+an-2)+an-1+an-1=…=a1+a2+a2+a3+a4+…+an=Sn.

方法2(定義法) 因為Sn-Sn-1=an=an+2-an+1，所以Sn-an+2=Sn-1-an+1(n≥2)，即{Sn-an+2}為常數列．從而Sn-an+2=S2-a4= -1，即Sn=an+2-1．

方法3(錯位相加法)Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an，錯位相加得2Sn=a1+(a2+a1)+(a3+a2)+…+(an+an-1)+an=a1+a3+a4+…+an+an+1+an，因此2Sn=(a1+a3+a4+…+an)+(an+1+an)=Sn-1+an+2，即Sn=an+2-1．

例1(2017—2018全國高三模擬訓練改編)“斐波那契數列”是由十三世紀意大利數學家斐波那契發現的，數列中的一系列數字被人們稱為神奇數．該數列的第三項數字開始，每個數字等于前兩個相鄰數字之和．已知數列{an}為“斐波那契數列”，Sn為數列{an}的前n項的和，若a2 017=m，則S2 015的值為( )．

評析等差數列和等比數列是學生系統學習與探究的兩類基本數列．在數列問題的研究中，迭代法、累加法、倒序相加或錯位相減是常用的處理方法．此題以斐波那契數列為探究起點，需要學生靈活運用已有的解決數列問題的方法與技巧，在數學思想方法引領下創造性地探究該數列前n項和與an之間所滿足的關系．不僅考查學生對知識的理解，也考查學生對數學思想方法的貫通、對數學思維方式的內化，體現從知識到能力、從技能到素養的評價方式的轉變．

性質2a1+a3+…+a2n-1=a2n，a2+a3+…+a2n=a2n+1-1．

證明方法1(迭代法) 同性質1，略．

方法2(累加法) 以奇數項求和為例，a2n-1=a2n-3+a2n-2,a2n-3=a2n-5+a2n-4，…，a3=a2+a1，累加得a3+a5+…+a2n-1=a1+a2+…+a2n-2=S2n-2．由性質1，S2n-2=a2n-1，故a1+a3+…+a2n-1=a2n．

例2(2019湖北省隨州高一調研改編)“斐波那契數列”又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”．在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方法定義：a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)，則a2+a4+a6+…+a2 018-a2 019=．

評析探究數列奇數項或偶數項的和是研究數列的基本問題之一．斐波那契數列并非教材中的基本數列類型．因此，對該數列前n項和的研究必然需要學生在掌握等差、等比數列求和公式的基礎上，熟練掌握數列求和的基本方法，深入理解具體數列的本質特征，靈活應用數列求和的基本思想，實現知識的融合與思維的貫通.這樣的問題綜合考查學生知識的應用性、思維的創造性及素養的內化性．

證明方法1(迭代法) 同性質1，略.

評析本題的處理關鍵是對代數式中分子上的數列各項的平方進行求和探究．此處，我們推導了斐波那契數列具有的性質3，不難將分子上的求和結果轉化為a100a101，即可得到所求為斐波那契數列中的第101項．迭代法和累加法是研究此類數列問題的基本方法，斐波那契數列的遞推關系不僅揭示了該數列的本質屬性，即an=an-1+an-2(n≥3)，而且也為數列求和、數列性質的探究提供本源性的依據，并在探究過程中體現數學的創造性、思辨性、統一性，體現從知識評價到素養評價的評價方式的轉變．

3 探究斐波那契數列性質與應用的教學思考

近年來，與數學文化相結合的考題屢次出現在全國各省模考和高考中，是評價學生數學學科素養的重要依據．據筆者不完全統計，斐波那契數列2019年出現在各省市高考模考中的次數有10余次之多，考查范圍從對數列遞推關系的理解到數列性質的綜合探究，可謂靈活多樣．在教學實踐中，教師不可能將數學文化以知識的形式全然授予學生，數學文化更不應成為學生“甜蜜的負擔”而喪失其寶貴的價值．筆者認為應從以下兩點挖掘數學文化的育人價值，實現文化育人、立德樹人的教學目標．

(1)以數學文化為依托，確立素養發展的生長點

數學文化是人類智慧的結晶，是數學學科得以發展、數學思想得以流傳的重要依托．其蘊含知識的多樣性、數學思想的豐富性、探究方法的開放性，正是培養學生創造性地使用所學知識，學會以數學的思維模式思考和解決問題的重要載體．因此，數學文化不僅是教學評價體系的重要組成部分，也是學科教學中不可或缺的一部分．在教學中，數學文化的合理有效的使用是學生素養形成和培養的重要起點．

新教材與原有的教材體系相比，進一步加強了數學文化在正文中的滲透．例如教材利用探究第24屆國際數學家大會的會標，即趙爽的弦圖，來研究相等關系和不等關系，實現基本不等式的一種圖形表達．此外，新的課程體系更加注重學生課后的拓展性閱讀和開放性探究，以“拓廣探索”“閱讀與思考”“探究與發現”“文獻閱讀與數學寫作”為載體，將數學文化的浸潤延伸到課堂之外．以數學文化為依托，學生創造性地使用所學知識解決新問題，思考新的探究方向，逐步形成理性思維、發散性思維和創新精神、思辨意識，實現由知識的習得到思維品質的提升，再到素養能力內化的自然提升．

(2)以數學文化為紐帶，找準思維培養的關鍵點

數學思想方法的形成是數學核心素養內化的重要組成部分．數學文化中蘊含豐富的數學思想，然而數學文化如浩渺煙海，教學中我們應抓住其本質特征，在體現數學思想的本源性問題上引導學生深入探究，從思維立意的高度上高屋建瓴地對知識的本質進行理解和掌握．例如根據等比數列遞推關系所揭示的數列特征，我們采用錯位相減的方法對其進行求和．而斐波那契數列從第三個數起，每一個數都等于它前兩個數的和，即an=an-1+an-2(n≥3)，類比錯位相減的求和方法，學生很自然地想到通過錯位相加進行求和．

4 結語

斐波那契數列并非學生熟悉的基本數列，但探究中所需要的能力水平與思維模式正是學生對所學知識的遷移、對所學思想的理解、對數學學科素養內化程度的外在表現．在教學中，我們應鼓勵學生從最基本的特征出發，以數學探究為起點，以數學文化為紐帶，運用研究數學問題的基本方法去發現新的結論，拓展新思維，提升對新知的挖掘能力．這一過程也能讓學生體會先賢對數學發展作出的卓越貢獻、感受數學的理性之美，并賦予他們叩開數學之門所需的思維品質和精神動力．