基于知識構成的結構化教學主張
——以“合并同類項”為例

陳學軍 (江蘇省蘇州高新區教研室 215163)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《課標》)強調，數學知識的教學要注重知識的生長點與延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性．[1]章建躍多次指出“在課堂教學中，要以數學地認識問題和解決問題為核心任務，以數學知識的發生發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生建構前后一致、邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程當中學會思考”[2]．基于知識構成的結構化教學主張就是在數學課程目標的指導下，把科學形態的數學知識(主要是事實性知識、概念性知識)加工成體現思想方法、數學價值的數學教育形態的知識；通過對數學內容的整合與開發，使目標、知識、任務、活動形成一個相互一致的整體，在學生認知最近發展區內縱向連接數學核心內容與數學方法、思想，橫向凝聚數學學科關鍵能力，引導學生在背景和過程中主動探究、構建認知結構、積累獲取知識的經驗，應用和內化數學思想方法，形成以在問題解決過程中理解數學學習內容本質為指向的心理特征，并培育其后繼發展所需要的必備品格和關鍵能力．

1 把握教材中學科知識的構成

教材是學科知識的重要載體，決定著教師教什么、學生學什么，教材的學科知識由陳述性知識(事實性知識、概念性知識)、程序性知識、方法性知識和價值性知識構成[3]．其中陳述性知識、程序性知識是以一定的邏輯結構來表征的，是學科知識的骨架．而方法性知識和價值性知識是隱性的知識，是學科觀念和靈魂．不同知識的教學策略不同，只有挖掘教材中的隱性知識，洞察到事實性知識、概念性知識和程序性知識背后的過程與方法以及情感與價值觀，才能激活學生的知識與技能，逐漸形成學科素養．本節課中的同類項定義為概念性知識，合并同類項則是程序性知識，而為什么研究合并同類項、如何從實際背景中抽象出同類項概念以及合并同類項的法則、建立以“運算”為主線的探究框架，這些關于如何學的策略需要數學的觀念方法等隱性的知識去支撐．

2 教學任務結構化分析

在分析課程標準、教材內容以及學情的基礎上，根據本節課知識的構成、其背后隱含的科學觀點方法、價值觀以及與數學學科關鍵能力的關聯，來設計承載它們的任務與情景．

核心詞陳述性知識程序性知識隱性知識預設結果教學活動預設抽象意識生活中的“同類項”;同類項的定義;合并同類項法則感受情景-對象-內容-方法-結果的探究過程和數學的統一性,形成學科觀念從“運算”角度類比猜想新課探究內容;能由特例概括同類項的定義、合并同類項法則問題1發揮先行組織者的功能,獲取研究對象;片斷2、片斷3由生活情景到數學情景,引導學生從感性到理性、特殊到一般進行抽象概括推理能力合并同類項法則在“做—感受—明晰法則”中理解原理能說出每一步的依據學生獨立思考片斷2和片斷4,明確例題中計算的依據運算能力合并同類項法則的步驟經歷“數→式→數”的學習過程,體會數、式的統一知道合并同類項本質上是轉化為數的計算師生共同完成片斷3、片斷4

在此基礎上，確定教學目標為：(1)理解同類項的概念，能識別同類項；(2)知道合并同類項的依據，掌握合并同類項的法則，會合并同類項；(3)在探究同類項的概念和合并同類項法則的過程當中，體會一般觀念指導下數學探究的一般途徑，感受“數式通性”的內在和諧統一，提升數學審美意識和理性思維．

這樣結構化的教學任務框架進一步準確地把握教學的起點和歸宿，規定了教與學的進程與方向，將知識、活動、目標等進行邏輯化和具體化，引導教學的全過程，確保了教學目標與過程之間的一致性．

3 基于知識構成的結構化教學實施

教學中為了更好地實現認知思路和核心觀念的結構化設計，針對知識類型，通過知識的梳理與整合、數學思維的程序優化、數學學科觀念等的建構來提升學生知識結構化水平，發展數學學科關鍵能力．

3.1 策略性知識——以學科觀念的角度建構教學內容

策略性知識指如何學習和思維的知識，是對如何進行問題探究、觀念建構與“一般套路”的思維模式的認知．教學中將蘊含在概念、法則形成過程中的數學知識的建構、數學方法的運用、數學思維的訓練等“如何學”的隱性而又有統攝性的知識進行顯性化，使其融入核心知識的教學內容中，可進一步優化學習策略，提升自主學習能力．

片斷1 同類項概念的引入(策略性知識——構建研究過程的認知)．

問題1上一章我們學習了有理數，把數進行了分類，從特殊入手，歸納了有理數的運算法則和運算律．本章在學習了用字母表示數以后又出現了代數式，接下來我們該研究哪些內容？怎么研究？

生1：代數式的運算．

生2：可以類比數的研究，先探究代數式的加減法．

師：對，我們可以類比數的研究，先從簡單又熟悉的單項式入手．

問題1是本節課研究的核心問題，也是關于如何學習的問題，起到了先行組織者的作用．

本節課的教學起點究竟在哪里？很多教師往往是先展示一些現實的情景，然后從中抽象出研究對象，課本也是從“計算校園總體規劃圖的占地面積”入手的.這樣做常常是可行的，但學生困惑的是，作為一個探究者怎樣想到這一“從天而降的”現實問題的？另一方面，學生也很難從一些支離破碎的現實情景中體會數學發現的一般方法．而從“運算”的角度發現問題和提出問題，既是數學知識自然發展過程中的“數學現實問題”，也是發展學生一般觀念的需要．讓學生類比“數→式”的學習過程，系統地發現問題、提出問題并解決問題符合“建構前后一致、邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程當中學會思考”的理念(圖1)．同時，也為后續的為什么要學、學習什么、如何學積累了經驗，幫助學生進一步體會數學探究的“一般套路”，自覺地運用一般觀念指導數學學習與探究活動，發展理性思維．

圖1

片斷2 合并同類項法則的探究(策略性知識——構建研究過程的認知)．

生活情景：小明去買早點.爸爸：兩個包子，一個大餅；媽媽：一個包子，一個大餅；小明：一個包子，兩個大餅．他該如何表達？

生：把“單位”相同的分別合起來，共買四個包子、四個大餅．

熟悉的生活問題，讓學生隱約感受到同類型的量是可以合并的，現在學生已學習了同類項，那么是否也可以合并同類項呢？假如可以的話，應該遵循怎樣的法則？

數學情景：圖2是某學校的總體規劃圖(單位：m)，試計算出這個學校的占地面積．

圖2

比較小麗和小明的算法：

小麗：學校的占地面積可表示為(100a+200a+240b+60b)m2．

小明：學校的占地面積可表示為[(100+200)a+(240+60)b]m2．

師：你認為小麗和小明的計算合理嗎？

生1：都對的，小麗是分四小塊計算的，小明是分上、下兩大塊合并計算的．

師：還可以怎么計算？

生2：直接合并得到(300a+300b)m2．

師：小麗、小明還有生2的計算結果相等嗎？依據是什么？

生3：三位同學的計算是相等的，依據是乘法的分配律．

師：從小麗的分塊計算到生2的合并以后的簡潔表達，你能把隱約感覺到的法則進一步明晰嗎？可以分組討論．

生：同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母或字母的指數不變．

3.2 陳述性知識——以知識關聯的角度建構教學內容

陳述性知識是關于事實及其關系的知識，數學概念和事實是關于“是什么”的陳述性知識．教學中對分散孤立的數學事實建立起邏輯關聯的概念，使教學內容結構化，可以更好地引導學生用整體聯系的觀念理解概念，建構知識體系．同類項概念的學習過程如下：

片斷3 生活情景(事實性知識——生活中的同類項)．

問題1某公司A大樓一周產生其他垃圾100袋，可回收物240千克；B大樓產生其他垃圾200袋，可回收物60千克．合計是多少？

生1：100袋+240千克+200袋+60千克．

生2：300袋+300千克．

師：生2你是怎么想的？

生2：“單位”相同的可以合并起來．

師：還可以繼續合并嗎？

生3：不行了，“袋”和“千克”不是同一個類型的“單位”，所以不能再合并．

師：生活中常常把具有共同特征的事物合并在一起，如“垃圾分類”等．數學也是這樣．

數學情景(概念性知識——同類項的定義)

問題2觀察下列單項式，把你認為相同類型的式子歸為一類：

2,3t,4xy,3x2y,-7xy,-3,-3t,2x2y．

生1：按系數符號分，可以分為兩類：2,3t,4xy,3x2y,2x2y；-7xy,-3,-3t．

生2：還可以按所含字母分成三類：2,-3；3t,-3t；4xy,3x2y,-7xy,2x2y．

生3：更細一點，把“單位”相同的看作一類：2,-3；3t,-3t；4xy,-7xy；3x2y,2x2y．

師：生3的你“單位”相同的含義是什么？

生3：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同．

師：我們對事物的分類可以有不同的標準，以上三種分類你們認為哪個更有意義？

生：根據今天學習的項的合并，應該是生3的分類更有意義．

師：我們把所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項．幾個常數項也是同類項．

教學中從學生頭腦中零散的生活情景入手，通過建立起生活中的相同“單位”和數學的同類項之間的聯系，引導學生用數學的眼光觀察世界，增強了學生的抽象概括能力(圖3)．

圖3

3.3 程序性知識——以認識思路的角度建構數學內容

程序性知識是關于完成某項任務的行為或措施步驟的知識．數學中的運算、解決問題的探索步驟、解決的方法及操作流程等都是關于“如何做”的程序性知識．

片斷4 (例)合并同類項：a2-3ab+5-2a2+4ab-7．

分析：先找出同類項，并標注不同的標記；再用加法交換律把同類項移在一起；然后利用乘法的分配律進行合并，最后將式的合并轉化成數的計算．

a2-3ab+5-2a2+4ab-7

尋找

=a2-2a2-3ab+4ab+5-7

交換

=(1-2)a2+(-3+4)ab+(5-7)

合并

=-a2+ab-2．

計算

其思考流程為如圖4所示．

圖4

在幫助學生理解題意的基礎上，搭建認知思路層面上的程序性支架，可引導學生用數學的思維系統縝密地分析問題、規范高效地解決問題，提高推理和運算能力．

師：合并同類項的依據是乘法的分配律，本質上是將“式”的合并轉化為“數”的計算．根據剛才的研究，我們怎么完善圖5的結構？

圖5

在結構化的教學主張中我們要注重概念的聯系和統一，突出對研究思路的剖析以形成認知程序，體會研究方法和研究結論的類比．由此，幫助學生站在更高、更寬的視野下理解知識的背景、生長點，準確地把握核心概念之間的邏輯關聯、體會知識背后所隱含的科學方法與理性思維，逐步提升數學學科關鍵能力．