溯源命題背景 厚重理性思維

金曦東 (江蘇省蘇州市吳中區(qū)東山中學(xué) 215107)

在問(wèn)題解決中，溯源問(wèn)題的背景，探索問(wèn)題的由來(lái)，分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，揭示問(wèn)題最本質(zhì)的內(nèi)核，能夠厚重解題的理性思維，讓學(xué)生的思維更加沉穩(wěn)．特別在高三復(fù)習(xí)中，很多高考原題受到教師的青睞，但很多時(shí)候教師關(guān)注的只是這個(gè)問(wèn)題怎么解，如何優(yōu)化解法．而命題的背景是什么？命題的本意是什么？這些問(wèn)題往往被淡化了．筆者認(rèn)為，通過(guò)正本溯源與命題專家心靈對(duì)話，求變求新形成自己的感悟，讓思維八方聯(lián)系渾然一體，是提升復(fù)習(xí)效率的重要途徑．

1 心靈對(duì)話，會(huì)意命題意圖

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決歷來(lái)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心．命題者要考什么和考生怎么解題，是兩個(gè)不同的思維軌道．當(dāng)這兩個(gè)思維軌道交匯的時(shí)候，才能充分達(dá)成命題者的意圖，學(xué)生也可能得到最大的解題效益，這在高三復(fù)習(xí)階段尤為突出．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的解決，有各種不同的途徑和方法，還要經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、反思構(gòu)造等一系列思維過(guò)程，以及對(duì)數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考并作出判斷，這就注定了“一千個(gè)觀眾眼中有一千個(gè)哈姆雷特”．而有的方法只能說(shuō)是就題論題，人為技巧化的痕跡很明顯，看問(wèn)題的角度也過(guò)于生冷，有的甚至過(guò)分強(qiáng)調(diào)問(wèn)題的細(xì)枝末節(jié)，這對(duì)學(xué)生形成理性思維是沒(méi)有多大幫助的．通過(guò)分析、比較，從基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、問(wèn)題模型和思想方法層面，探尋更接近命題意圖的東西，與命題專家進(jìn)行隔空心靈對(duì)話，理解專家希望考查什么知識(shí)、希望學(xué)生掌握什么思想方法，又將什么能力外顯，觸摸問(wèn)題的背景，會(huì)意命題的意圖，揭示問(wèn)題本質(zhì)，這是對(duì)問(wèn)題有針對(duì)性、深層次的觀察．

2 正本溯源，厚重理性思維

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，是高中數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)．高三復(fù)習(xí)，應(yīng)比平時(shí)的新課教學(xué)在思想上、方法上、教學(xué)行為等方面站得更高、看得更遠(yuǎn)，并嘗試性地做一些突破性的工作．“夯實(shí)基礎(chǔ)，突出主干、揭示本源、提升能力”為高三復(fù)習(xí)的核心任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是以解釋問(wèn)題為目的、而是以解決問(wèn)題為根本，問(wèn)題解決在很大層面上是對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，正本溯源才能更好地接近問(wèn)題的本質(zhì)，才能為最終解決問(wèn)題創(chuàng)造條件．正本溯源是高三復(fù)習(xí)的精神要求，是促進(jìn)學(xué)生形成理性思維，提高復(fù)習(xí)效率的有效途徑之一．當(dāng)然，正本溯源是不可能一蹴而就的，必須建立在學(xué)生基礎(chǔ)已經(jīng)夯實(shí)，知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)化初步形成，基本方法、基本技能、基本思想初步具備的前提下．同時(shí)，這對(duì)教師應(yīng)當(dāng)具備的專業(yè)素質(zhì)也提出了更高的要求，教師不僅要有“揭示本源”的準(zhǔn)備，還要有提高認(rèn)識(shí)的決心、行動(dòng)策略和付諸實(shí)踐的勇氣和耐心．

3 問(wèn)題解決，明晰思維指向

正本溯源，重在明確思維的指向．如，數(shù)學(xué)的核心概念、結(jié)構(gòu)分析、信息優(yōu)化、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)結(jié)論、法則的本質(zhì)等，都是正本溯源的重要關(guān)注點(diǎn)．高三復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)、學(xué)生檢測(cè)卷的編制以及評(píng)析等諸多環(huán)節(jié)，都需要注重從數(shù)學(xué)問(wèn)題立意的角度去分析．多角度、多層次分析解題的思維過(guò)程，并從知識(shí)層面、方法層面、能力層面加以比較，使解決問(wèn)題的方法更貼近命題者的期盼，對(duì)接命題的出發(fā)點(diǎn)、落腳點(diǎn)．

3.1 回眸概念，區(qū)分考察層次

數(shù)學(xué)概念尤其是數(shù)學(xué)的重點(diǎn)概念，歷來(lái)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)命題立意的基礎(chǔ)．高考中，很少有單獨(dú)命題去考查某個(gè)孤立的概念，比如正弦型函數(shù)問(wèn)題，往往要圍繞這個(gè)概念并輻射到有關(guān)圖象、性質(zhì)等關(guān)聯(lián)內(nèi)容，需要綜合地、系統(tǒng)地分析問(wèn)題．高三更應(yīng)體現(xiàn)“核心概念”和“概念的核心”在復(fù)習(xí)中的地位，強(qiáng)調(diào)概念對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)方面的突出作用，在回眸概念中再認(rèn)識(shí)問(wèn)題．

分析 這道題是通過(guò)三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的掌握情況，命題者的立意很明顯是建立在對(duì)f(x)=sin(2x+φ)圖象及其性質(zhì)掌握的基礎(chǔ)之上，解題方法也應(yīng)當(dāng)是直接瞄準(zhǔn)這些基本內(nèi)容．

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生采用了以下方法：

方法2 由題意知

盡管也運(yùn)用了不等式思想以及三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，但是方法2、方法3對(duì)f(x)=sin(2x+φ)根據(jù)條件所得到的函數(shù)圖象和性質(zhì)不清晰，在取值運(yùn)算的過(guò)程中，完全無(wú)視三角函數(shù)性質(zhì)和題目條件所暴露的圖形信息，有理由認(rèn)為方法2、方法3不是命題的最優(yōu)意圖，也似乎缺少一些更觸及問(wèn)題本質(zhì)的理性思維．

3.2 分析結(jié)構(gòu)，劃歸數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)模型中建構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題是命題者重視的，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題背景模型，往往會(huì)帶來(lái)“似曾相識(shí)”之感，更容易聚焦思維，給解題指明方向．特別是高考的應(yīng)用問(wèn)題，透過(guò)題目給出的一些生活、文化等信息，發(fā)現(xiàn)其背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立起解題的數(shù)學(xué)模型，有效地將“生活化”的問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”，這是解這類題的必然思維軌道．

例2在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn(n≥1)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求bn= tanantanan+1的前n項(xiàng)和Sn．

前者運(yùn)用了倒序相乘法這一模式化的方法，后者運(yùn)用了等差、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，僅從方法層面而言，盡管我們無(wú)法評(píng)判兩種解法孰優(yōu)孰劣，但是數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠模式化解決，運(yùn)用自己熟悉的范式，這是很多學(xué)生愿意而且希望看到的．

很多學(xué)生不能解決本例的根本原因，是對(duì)“裂項(xiàng)求和”模式不熟練，tanαtanβ常常在tan(α+β),tan(α-β)中見到，因此構(gòu)造兩角和、兩角差的正切函數(shù)可以說(shuō)是不二的選擇，而在兩角和與兩角差之間也只能選擇兩角差的正切，這是裂項(xiàng)求和模式的需要．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題模式化盡管不能過(guò)于強(qiáng)調(diào)，但是也不可或缺，增加數(shù)學(xué)模型的儲(chǔ)備是非常必要的．

3.3 優(yōu)化信息，顯現(xiàn)核心本質(zhì)

捕捉、提取和加工解題信息是解題活動(dòng)中最為關(guān)鍵、最為基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，勢(shì)必會(huì)成為數(shù)學(xué)問(wèn)題立意的熱點(diǎn)．從信息的來(lái)源看，一方面是從“雙基”中獲取的信息，如相關(guān)的數(shù)學(xué)定義、概念、法則、結(jié)論，數(shù)學(xué)思想方法，題型特征等．另一方面是從題設(shè)、題斷中提取的信息，如位置信息、數(shù)值信息、結(jié)構(gòu)信息等．這些是高三復(fù)習(xí)中的重要關(guān)注方向之一，決定了能不能看透問(wèn)題的本質(zhì)以準(zhǔn)確剖析問(wèn)題．

這種解題方法考查了不等式的性質(zhì)、代數(shù)恒等變形的能力和推理論證能力，而且運(yùn)用的是不等式證明中的通性、通法：作差法．私自揣摩，這或許并不違背命題意圖．但是，總感覺有些不自在和不踏實(shí)，因?yàn)檫@道題結(jié)構(gòu)特征那么明顯.

從方法2可以看出，這種解法與數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)信息相關(guān)聯(lián)，它不僅貫穿了函數(shù)的單調(diào)性并且有很“濃厚”的函數(shù)思想，思維增加了一些靈動(dòng)．

3.4 應(yīng)對(duì)沉穩(wěn)，積淀思想方法

以數(shù)學(xué)思想、方法和能力立意的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅要注重邏輯推理，更要領(lǐng)會(huì)形式化表達(dá)背后所蘊(yùn)涵的思想方法，這是數(shù)學(xué)問(wèn)題立意中最隱性也是最難以把握的．形式化表達(dá)是數(shù)學(xué)的基本特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要透過(guò)形式化的表達(dá)，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，揭示其蘊(yùn)涵的思想方法，使思維在積淀中沉穩(wěn)．

(Ⅰ)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，證明:x

分析 這道題在形式化表達(dá)的背后有幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：

(2)已知條件中有x2，而在求證中沒(méi)有x2，那么x2的作用是什么？如何發(fā)揮x2的作用？

(3)研究對(duì)象是y=f(x)還是F(x)=f(x)-x？

觀察圖象，在形式化表達(dá)上揣摩立意背后的數(shù)學(xué)思想，如不等式思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想，更進(jìn)一步探究其背后的內(nèi)在聯(lián)系，以及邏輯結(jié)構(gòu)和核心，提出幾方面的探索：

圖1

考慮到二次函數(shù)的對(duì)稱性以及00，在x∈(0,x1)時(shí)，y=f(x)在y=x上方，且最大值為f(x1)=x1，所以x

從方程、不等式的角度，可以構(gòu)造F(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，這是目前最常見的解法，這里不再贅述．

(2)x2的作用是什么？

從數(shù)形結(jié)合的角度看x2的作用，它是在確定y=f(x)對(duì)稱軸的位置上發(fā)揮了作用．但是，從不等式、方程的角度看是起放縮比較的作用．

①求證：x

設(shè)F(x)=f(x)-x,因?yàn)镕(x)=0的根是x1,x2，所以F(x)=a(x-x1)(x-x2)．當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，由于x10，故f(x)-x>0．

②求證：f(x)

這個(gè)過(guò)程也蘊(yùn)含了問(wèn)題(3)的回答．從以上分析看，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題立意的分析、探究和歸納、概括，不僅走近了數(shù)學(xué)問(wèn)題，了解了數(shù)學(xué)命題的意圖、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)．更為重要的是在這一過(guò)程中，所運(yùn)用的數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論更明確、合理，更容易判斷．同時(shí)，在這一過(guò)程中充分暴露了解題思維的全過(guò)程，以及蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，這對(duì)提高學(xué)生思維品質(zhì)，形成理性思維具有積極的意義．

4 結(jié)語(yǔ)

磨礪始得玉成，會(huì)解題只是學(xué)習(xí)的初級(jí)階段，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的正本溯源，對(duì)話命題本意，讓學(xué)生把題目做得明白，知道為什么這么做．再通過(guò)進(jìn)一步分解、組合、重構(gòu)等一系列過(guò)程，探索問(wèn)題和已知知識(shí)、熟悉問(wèn)題的聯(lián)系，建立已知和未知的通道，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行更深層次的變化，讓思維更加理性，這應(yīng)該是我們期盼的“解題教學(xué)”吧．