高等數(shù)學(xué)引領(lǐng)下的初等問題
——從一道八省聯(lián)考試題的探究說起

朱世杰 (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

1 問題提出

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)背景下的初等數(shù)學(xué)問題的典型，是引領(lǐng)學(xué)生開啟微積分學(xué)習(xí)的金鑰匙，是解決函數(shù)、方程和不等式等問題的有力工具，是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁和紐帶，也是高考命題的熱點(diǎn)、亮點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn)．2021年全國八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題以其科學(xué)性、前瞻性、靈活性和創(chuàng)新性而引人矚目，其中具有代表性的第8題是：

已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則( )．

A．c

C．a(chǎn)

本題以方程與函數(shù)為背景，以不等關(guān)系的判斷為目標(biāo)，以導(dǎo)數(shù)為解題工具，以等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想為依托，入口寬、方法廣、觀點(diǎn)新、立意深，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識和思想方法，具有很高的探究價值．

2 問題解法探究

通過對問題的深入思考和研究，能夠挖掘出問題的本質(zhì)和內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，同時培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力，打開通往數(shù)學(xué)科學(xué)殿堂的大門．

圖1

圖2

圖3

3 展開聯(lián)想，借題發(fā)揮

3.1 借題發(fā)揮：研究常見函數(shù)模型

圖4

A．a(chǎn)

C．c

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)在[2a,4a]上的最小值；

(3)若存在正實(shí)數(shù)a,b(a

3.2 借題發(fā)揮：構(gòu)造原函數(shù)模型

模型應(yīng)用 已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)-f(x)<0，其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(m-2 021)>(m- 2 021)f(1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

3.3 借題發(fā)揮：解決極值點(diǎn)偏移問題

極值是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.從以上六個函數(shù)模型的圖象可以看出，它們與最基本的二次函數(shù)的極值相比不具有對稱性，即極值點(diǎn)偏移了，而函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題恰恰就是全國高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若函數(shù)y=g(x)對任意x滿足g(x)=f(4-x)，證明：當(dāng)x>2時，f(x)>g(x)；

(3)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>4．

x(-∞,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘

(3)由f(x)在(-∞,2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2, +∞)內(nèi)是減函數(shù)．故當(dāng)x1≠x2且f(x1)=f(x2)時，x1,x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．不妨設(shè)x1<2g(x2)，又g(x2)=f(4-x2)且f(x1)=f(x2)，故f(x1)>f(4-x2)．因?yàn)閤2>2,44-x2，即x1+x2>4．

4 對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在對概念、性質(zhì)、定理、公式和法則等的理解和應(yīng)用，重在對基礎(chǔ)的夯實(shí)、思維的激活、方法的應(yīng)用、能力的提升和解題后的反思．具體包括：

4.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)是用概念來思考問題的，所以對數(shù)學(xué)概念的理解尤為重要．由于數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯性強(qiáng)、抽象程度高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時必須先有濃厚的興趣和刻苦鉆研的精神，其次要能獨(dú)立思考和實(shí)踐探索，還要敢于質(zhì)疑和挑戰(zhàn)權(quán)威．只有扎扎實(shí)實(shí)、循序漸進(jìn)地打好基礎(chǔ)，靜下心來去思考問題的內(nèi)涵和外延，才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．

4.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在探究

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識并不是簡單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識、經(jīng)驗(yàn)，主動加以建構(gòu)．換句話說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須以學(xué)習(xí)者的自主建構(gòu)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)探究為手段，以學(xué)會學(xué)習(xí)為核心，以實(shí)現(xiàn)探究精神和實(shí)踐能力為目標(biāo)．

4.3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貴在創(chuàng)新

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要．因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步．”理解概念、學(xué)會推理、領(lǐng)悟思想、掌握方法是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，善于發(fā)現(xiàn)和提出問題才是創(chuàng)新的源泉.當(dāng)你能夠創(chuàng)新時，創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)就猶如數(shù)學(xué)家玻利亞所說，“在你找到第一個蘑菇時，繼續(xù)觀察，你就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇．”這將是我們學(xué)習(xí)者追求的真正目標(biāo)．