概念教學(xué)貴在挖理辨別
——以“導(dǎo)數(shù)的概念”教學(xué)為例

孟凡敏 (江蘇豐縣中學(xué) 221700)

隨著新一輪課改的推進(jìn)以及對(duì)教學(xué)研究的深入，數(shù)學(xué)學(xué)科日顯重視對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查．透過現(xiàn)象回歸概念本質(zhì)成為教與學(xué)的必然，但課堂中重應(yīng)用輕概念形成過程的教學(xué)現(xiàn)象比比皆是，因此研究如何提高概念教與學(xué)的有效性迫在眉睫．本文以人教版選修2-2導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)為例，按照實(shí)際的課堂教學(xué)順序，結(jié)合具體的例題，從“教”和“學(xué)”兩方面闡述如何進(jìn)行挖掘、辨析，展示數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究的過程．

1 教概念貴在“挖”理

把概念教給學(xué)生不在于記憶，也不在于讓學(xué)生會(huì)簡單模仿進(jìn)而做題，而在于講清概念中所蘊(yùn)含的“道理”,包括探索概念形成的來龍去脈、品味概念表述中關(guān)鍵詞的恰到好處、挖掘概念教學(xué)中蘊(yùn)含的思想方法等.

集合、函數(shù)、數(shù)列……列舉高中數(shù)學(xué)所學(xué)的概念，無論是涉及到的知識(shí)，還是從高考考查重要性的角度，導(dǎo)數(shù)都只能算是一個(gè)“小概念”．正是有了這個(gè)理由，大多數(shù)教師在講授相關(guān)內(nèi)容時(shí)往往舍本逐末，斷章取義，甚至一筆帶過，掩蓋了許多寶貴的教學(xué)資源，以及教學(xué)過程前移的理念.只有靜下心來做個(gè)有心之人，才能夠挖掘出其中躲在這個(gè)“小概念”背后的“大道理”，而且這些也正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必需的觀點(diǎn)、品質(zhì)和思想．

1.1 挖掘概念引入，探析“事物普遍聯(lián)系的 觀點(diǎn)”

學(xué)生接受新知識(shí)的過程中，從已知到未知、從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象，這些矛盾對(duì)立的兩個(gè)方面都需要運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)加以牽線搭橋．?dāng)?shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部的各分支之間、同一教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)環(huán)節(jié)之間都有緊密的關(guān)系.只有揭示出知識(shí)間的聯(lián)系，才能有助于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的深刻理解，進(jìn)而建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，真正提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．

物理與數(shù)學(xué)是兩門息息相關(guān)的學(xué)科，數(shù)學(xué)概念的理解和掌握常常需要借助物理意義的直觀感知，而物理知識(shí)的邏輯嚴(yán)密性離不開數(shù)學(xué)的演繹推理．導(dǎo)數(shù)概念涉及抽象的極限思想，而物理中的位移、速度對(duì)高二學(xué)生來說卻是比較熟悉的概念，借助平均速度與瞬時(shí)速度的類比分析，不僅賦予了導(dǎo)數(shù)概念中平均變化率與瞬時(shí)變化率以具體的物理意義，而且使得分析更加親切、自然、充分，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．

問題的設(shè)置層層遞進(jìn)，從平均速度(變化率)的計(jì)算，到引進(jìn)瞬時(shí)速度(瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù))的必要性，再到瞬時(shí)變化率的計(jì)算，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，分析過程密切配合導(dǎo)數(shù)概念的生成．

1.2 挖掘概念表述，培養(yǎng)“咬文嚼字”的數(shù)學(xué)品質(zhì)

眾所周知，數(shù)學(xué)的定義以科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性而著稱，有多少數(shù)學(xué)人為高等數(shù)學(xué)中極限的ε-δ定義所折服．因此，學(xué)好數(shù)學(xué)、對(duì)數(shù)學(xué)定義的把握需要“咬文嚼字”的磨刀功，特別是對(duì)其中的關(guān)鍵字眼，需要多問幾個(gè)為什么——不這樣表述為什么就不行？不同定義的內(nèi)涵和外延有什么區(qū)別？等等.這個(gè)過程中，舉反例是最常用的手段．

例2判斷函數(shù)y=|x|在x=0處是否可導(dǎo).

圖1

1.3 挖掘概念題解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題中的目標(biāo)意識(shí)

從某種意義上講，數(shù)學(xué)解題就是在條件與結(jié)論之間“牽起”手來.這就不僅需要“由因?qū)Ч钡木C合思維，也需要“執(zhí)果索因”的分析思維，缺少條件的結(jié)論最后是“無源之水”，而沒有結(jié)論為目標(biāo)的條件必然失去方向，解題具有目標(biāo)意識(shí)就是這兩種思維的有機(jī)統(tǒng)一．

1.4 挖掘解題策略，提煉數(shù)學(xué)思想

提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的.數(shù)學(xué)思想的滲透是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，而概念教學(xué)正是完成這一目標(biāo)的主要路徑．中學(xué)階段最常見的數(shù)學(xué)思想有分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想等．

本題在求過點(diǎn)P的切線方程時(shí)，關(guān)鍵是求得切點(diǎn)坐標(biāo)．因此需要運(yùn)用方程思想，以設(shè)切點(diǎn)為入口、列方程組為核心、解未知數(shù)為目標(biāo)．

圖2

綜上，教師教概念需要在系統(tǒng)、辯證、聯(lián)系等高觀點(diǎn)下授人以漁．

2 學(xué)概念重在辨別

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的歷程中不僅要了解知識(shí)的形成過程，使得概念水到渠成并形成一個(gè)系統(tǒng)，更要善于對(duì)比，找出新舊概念的區(qū)別和聯(lián)系．學(xué)生需要在爭鳴和討論中理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，特別是概念的內(nèi)涵和外延，挖掘知識(shí)的內(nèi)涵，明確解題過程的科學(xué)性和嚴(yán)密性，從而有效培養(yǎng)各種數(shù)學(xué)思維和解題能力．

2.1 辨平均變化率與導(dǎo)數(shù)之別

結(jié)合定義，導(dǎo)數(shù)即瞬時(shí)變化率．從平均變化率到導(dǎo)數(shù)，這不僅僅是概念上的簡單轉(zhuǎn)變，更是從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從有限到無限、從量變到質(zhì)變?cè)谒季S方式上的突變，即極限思想．這一過程是一種趨向，非常抽象，似乎只能意會(huì)而不能言傳，所以辨析時(shí)可以借助物理中的平均速度和即時(shí)速度、幾何中的割線斜率和切線斜率．

2.2 辨函數(shù)的圖象和導(dǎo)函數(shù)圖象之別

概念教學(xué)過程要正確理解函數(shù)圖象和導(dǎo)函數(shù)圖象的區(qū)別，切勿混淆．同時(shí)要理解它們的關(guān)系，也就是導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定了函數(shù)的單調(diào)性，它的結(jié)果決定函數(shù)值的增長或減少的速度快慢，但是與函數(shù)值的大小沒有關(guān)系，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)．

例6已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖3所示，給出下列判斷：

圖3

(1)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間有[x1,x3],[x5,b]；

(2)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有[x2,x4],[x6,x7],[x8,b]；

(3)函數(shù)y=f(x)在x4,x7處取到極小值；

(4)函數(shù)y=f(x)只有在x3處取到極大值；

(5)函數(shù)y=f(x)有ymin=f(a),ymax=f(x6)；

(6)函數(shù)y=f(x)在x6處存在較快的增長率，也就是對(duì)應(yīng)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是最大的．

上述判斷結(jié)果正確的是．

解析結(jié)合上述論述分析可得到，判斷正確的是(1)，(4)，(6)；一定要注意與原函數(shù)圖象區(qū)別開，避免得出(2)，(3)，(5)這樣的錯(cuò)誤結(jié)論．

2.3 辨導(dǎo)數(shù)大(小)于零與函數(shù)單調(diào)遞增(減)之別

眾所周知，在函數(shù)可導(dǎo)的條件下，若區(qū)間上有f′(x)>0(f′(x)<0)，則函數(shù)單調(diào)遞增(減)；在區(qū)間上f′(x)=0，則f(x)=c(常數(shù))．要結(jié)合函數(shù)y=x3的單調(diào)性和其在x=0處導(dǎo)數(shù)等于零得到如下結(jié)論：若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只能在“有限”個(gè)點(diǎn)處取到零值，則函數(shù)單調(diào)性保持不變，因此導(dǎo)數(shù)大(小)于零是函數(shù)單調(diào)遞增(減)的充分非必要條件．

2.4 辨在區(qū)間[a,b]上具有單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間為[a,b]之別

由例6可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)，是指[a,b]落在單調(diào)遞增(減)的自變量范圍內(nèi)，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上大(小)于等于零恒成立.而函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增(減)區(qū)間為[a,b]，則說明[a,b]是唯一的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，特別地，對(duì)連續(xù)的初等函數(shù)而言，x=a,x=b是相關(guān)導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)=0的兩個(gè)根．

綜上，學(xué)生學(xué)概念需要在質(zhì)疑、解疑的不斷思維碰撞中辨析并理解概念.

3 結(jié)束語

3.1 教師挖掘從微研究開始

無論是數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的“挖掘”，還是其他數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的講解，初教者往往存在形式上機(jī)械傳授、內(nèi)容上使用簡單化、問題解決表面化以及教師講授與學(xué)生脫節(jié)等問題.“紙上得來總覺淺，心中悟出方知深”，年輕教師要從“教教材”向“用教材教”轉(zhuǎn)變，這個(gè)過程不能一蹴而就，需要靜心思考、潛心研究，數(shù)學(xué)研究能力的提高是一個(gè)循序漸進(jìn)的探索過程.

3.2 學(xué)生積極參與是課堂的最高境界

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)倡導(dǎo)動(dòng)手實(shí)踐、自助探索、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，而不是僅局限于被動(dòng)接受、機(jī)械記憶、單純模仿的過程．這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，真正使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變?yōu)槭窃诮處熞I(lǐng)下的“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)歷程．本文中導(dǎo)數(shù)概念辨析的對(duì)象和問題絕大部分由學(xué)生提出，而其結(jié)論基本上也是由學(xué)生自行討論并解決．在辨析過程中，學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)上對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的把握，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生追求真理、鍥而不舍的學(xué)習(xí)精神，以及辯證的數(shù)學(xué)思維方法和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．相信學(xué)生享受了這一學(xué)習(xí)的過程，其中成就感帶來的愉悅是單純的解題不能給予的，因?yàn)榕d趣永遠(yuǎn)是學(xué)生最好的老師．

3.3 搭建師生“挖”與“辨”的研究平臺(tái)

新課程教學(xué)理念指出：構(gòu)建共同基礎(chǔ)，筑建發(fā)展平臺(tái)．現(xiàn)階段由于教育行政部門對(duì)教師的短期考核(一般以學(xué)期為單位)，迫使一線教師急功近利，牢牢抓住根本沒有戰(zhàn)略但見效快的“題海戰(zhàn)術(shù)”，數(shù)學(xué)教學(xué)缺少教師研究、特別是學(xué)生參與研究的平臺(tái)．江蘇省作為新課改、考改的試點(diǎn)省份，新方案提供了大量的選修課程，這為搭建這一平臺(tái)提供了可能.我們數(shù)學(xué)工作者要以此為契機(jī)，努力倡導(dǎo)并不斷實(shí)踐，開發(fā)、開設(shè)數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”的研究課程．