高中數學結構不良問題的教學策略*

曹茂宏 從 品 劉其群 曹思齊 (江蘇省南京市金陵中學 210005)

2016年，教育部考試中心提出構建高考評價體系，高考數學科研究了基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑[1]，而在新高考的數學考試中引入、設置結構不良試題就是其路徑之一．隨著新高考的推行，結構不良試題的命制成為研究熱潮，但有關教學中結構不良試題如何進行組織及實施的研究較少，而這又是亟需解決的．

1 結構不良問題的內涵

問題的核心要素包括：初始狀態、目標狀態及算子[2]．初始狀態是指所需解決問題的信息；目標狀態是指問題所要得到的結論；算子是指問題解決中使用的方法和途徑．結構良好問題(well-structured problem)是此三者都很明確的問題，而結構不良問題(ill-structured problem)是三者中至少有一個沒有明確界定的問題．

結構不良問題并不是問題本身有錯誤或者不恰當，而是它沒有明確的結構或解決途徑．結合數學科和高考的特點，數學科的結構不良問題主要具有如下特征：(1)問題條件或數據部分缺失或冗余；(2)問題目標界定不明確；(3)具有多種解決方法、途徑；(4)具有多種評講解決方法的標準；(5)所涉及的概念、規則和原理等不確定[3]．

結構不良問題的解決過程能有效激發學生的求知欲，幫助學生多角度把握問題本質，培養學生的數學建模能力，引導學生追求知識背后的價值，形成跨學科綜合解決問題的關鍵能力．因此，基于結構不良問題的解決實施教學具有深遠意義．

2 結構不良問題促進高中數學的學習

在結構不良問題中，初始狀態、目標狀態及算子，至少其中之一不明確，這需要在解決問題的過程中聯系實際進行類比、抽象、建模，一些數據還需學生自己去測量，這些體驗過程將極大豐富學生的數學學習經歷．

從學科知識的角度看，結構不良問題是有思維空間和挑戰性的學習任務的，結構不良問題的解決需要經過類比、綜合運用所學知識．所以解決結構不良問題會讓學生認識到知識背后的邏輯、意義和價值，幫助學生深入把握知識的產生與來源、事物的本質與規律、知識的關系與結構、知識的意義與價值．

從學科思維的角度看，結構良好問題往往與學生已經解決過的問題相同或相似，學生只需調用早已知道的解決路徑就可以解決問題．而結構不良問題往往沒有明確的解題路徑，需要學生大膽猜想、大膽推測，發現和創造新的問題解決方案.這種創造性的學習調動了學生的積極性，幫助學生深入思考，提升學生的問題解決能力，發展分析、評價、批判等高階思維能力，從而讓學生深刻把握學科思想與方法．

從學科價值的角度看，數學是注重定量與確定性，講究嚴密邏輯的一門學科，而結構不良問題具有條件模糊、解決方案多樣、結果開放等特點，與數學學科本身特點產生強烈的認知沖突．能解決真實生活中的復雜問題是深入學習的根本價值，也是落實數學學科核心素養的重要標志．所以基于結構不良問題的解決來開展教學，能有效提升學生的批判性思維和解決復雜問題的能力．

3 結構不良問題解決的教學策略

以往的教學中，學生接觸的試題一般都是結構良好的，而隨著新高考的推行，結構不良試題已經成為必考題．在結構不良試題缺乏的情況下，教師如何組織結構不良問題，即對結構不良問題如何開展教學，是當下需要研究的問題．在學科考試中，受到時間和空間的限制，試題不能太難、答案不能太開放，所以考試中的結構不良問題具有一定的局限性和模式化．但實際教學中，結構不良問題可以加大開放性，這更有助于培養學生發現和提出問題的能力，以及應對現實挑戰的創新能力和實踐能力．

筆者認為，在教學中結構不良問題的設計可以從教材、原有結構良好問題及實際生活情境中組織情境和問題，以體驗式、案例式及項目式教學為主，提升學生多維度思考空間，更好地拓展學生的思維創新能力，促進學生的合作能力發展．

3.1 甄別教材中的問題，開展體驗式教學

蘇教版高中數學教材中存在大量的結構不良問題．這需要教師平時教學時留心注意，把結構不良的問題甄別出來并有效組織教學，通過讓學生親身體驗、觀察反思不定期地形成概念，獲得相應知識．

案例1蘇教版高中數學教材必修5“數列”中的例題：某種卷筒衛生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40 mm，滿盤時直徑120 mm．已知衛生紙的厚度為0.1 mm，問：滿盤時衛生紙的總長度是多少米？

體驗式教學是一個體驗、反思、概括與應用的過程，使學生以親身體驗的方式加入學習過程，融入自我體驗，有助于學生加深對所學知識的理解．學生通過這一親身體驗過程，鞏固了有關等差數列、等差數列的公差及等差數列前n項求和的書本知識，同時體驗了數學中建立模型、求解模型、檢驗模型的基本過程，真正做到“做中學”，提升解決實際問題的能力．教材中一些素材和問題可以讓學生親身體驗，從而對所學知識獲得更深層的理解．

3.2 改編結構良好問題，開展案例式教學

很多結構良好的問題在學習知識后作為鞏固所學知識提供給學生訓練，教師可以將結構良好的問題轉化為結構不良問題，在學習知識前提供給學生解決，此時將結構不良問題作為知識學習的載體和典型案例，學生在解決案例的過程中學習新知識，掌握學科思想與方法，將結構不良問題作為打開核心概念學習的鑰匙．

(1)求該地區這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數)；

(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關系數(精確到0.01)；

(3)根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得對該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．

上題是結構良好的題目，主要考查回歸方程相關知識，在學習回歸方程時可以將這一結構良好的題目改編為結構不良問題：

人口是當今世界各國普遍關注的問題．認識人口數量的變化規律，可以為有效控制人口提供依據．下表是1964—2009年我國人口數據資料：

年份1964196919741979198419891994199920042009人數/萬70 49980 67190 85997 542104 357112 704119 850125 786129 988133 450

試估計我國2021年的人口數．

該題是初始狀態明確、目標狀態和算子不明確的結構不良問題．把該案例放在學習回歸分析之前，能夠讓學生多角度思考問題，有利于促進學生的發散性思維和創造性思維．實際操作中，教師可以加入問題串：(1)請作出時間—人口的散點圖，能不能根據圖象估計2021年的人口數？(2)根據圖象，你準備選擇哪種函數擬合數據？(3)早在1789年，英國T.R.Malthus提出自然狀態下的人口增長模型y=y0erx，其中x表示經過的時間，y0表示x=0時的人口，r表示人口的平均增長率．這個模型會不會比你的模型好？上述問題串更利于課堂的把控．

通過上面的問題分析，學生初步建立數據統計知識，理論探究線性擬合、指數擬合知識，實際操作數據回歸分析．學生根據離散圖象，不會選擇線性擬合，而可能會選擇指數擬合或二次擬合，那么對于自己選擇的模型與Malthus人口模型孰優孰劣，學生自然會想到選擇一個量來刻畫擬合程度，這正是回歸分析需要解決的問題．這就實現了依靠這一個案例“點”的學習，帶動整個回歸分析“面”的學習．

案例式教學是按照案例的方式就一個對象進行專題式教學，體現為主體性、可操作性和綜合性強，給學生更為廣闊的探索空間和創新空間．這里需要學生從模糊的問題情境中發現和提出問題，需要多角度思考，對學生的創造性思維提出了更高的要求．上述分析過程正是結構不良問題所缺失的，但卻是深入學習的必要條件．學生在解決該案例的過程中，不僅學習到數據擬合和回歸分析的相關知識，還體驗到轉化與化歸的數學思想，提升了數學建模、數據分析的核心素養．

3.3 模擬實際生活情境，開展項目式教學

現實生活中存在大量的結構不良問題，很多實際問題由于空間、時間和成本巨大，無法在課堂和學生有限的時間、空間內完成，教師可以模擬相似的情境，讓學生去解決．為了模擬得更加真實，可以采取項目式教學方式，以此來培養學生的綜合思維、知識遷移能力和跨學科解決情境問題的能力．

案例3在建設城市隧道時，往往需要勘測山體一端A到另一端B的距離，如何利用高中所學知識來測量該距離呢？

在實際教學中，由于空間的限制，無法將學生帶到山前進行測量，但可以做一些示意圖來模擬上述情境．讓學生分組進行項目式學習．項目要求：在實際測量中，操作簡單易行，通過測量的基本量準確計算出AB的距離．學生在此項目式學習中，需要繪制示意圖，標出需要測量的基本量，給出AB的計算公式．

求距離兩點間不可通過又不可視兩點間可視但不可達兩點都不可達

總之，項目式教學是將學生置于解決問題的真實情境中，靈活運用知識，發展高層次思維能力，讓其成為自主的學習者和有效的合作者．在復雜、真實的實際問題中，學生往往不明確哪些概念、規則、原理對解決問題有用，需要從諸多現象中分析、確定解決方案，把所學的學科知識和技能遷移到真實的生活情境中，同時在真實情境中通過體驗、探究來建構自己的知識，逐步提升可遷移能力、高級思維能力及數學建模等核心素養．

4 結語

結構不良問題是新課程、新高考的一個亮點，可有效激發學生的求知欲，幫助學生多角度思考問題，有利于學生發現并提出問題、分析并解決問題能力的培養以及學科核心素養的形成．在教學中，教師可以甄別教材中的問題，開展體驗式教學；改編結構良好問題，開展案例式教學；模擬實際生活情境，開展項目式教學．根據結構不良問題的特性，一方面課堂的開放性可以設置得更高，更加具有情境化和生活化，為教學提供了更廣闊的空間，更利于學生的能力培養；另一方面因為教學時間和空間的限制，教學設問要指向課堂教學目

標，做到問題開放有度、解決有法，啟發性和思考性相得益彰，這對教師的能力提出了更高的要求．