發(fā)揮模式的教學功能 培養(yǎng)學生的數(shù)學思維

韓 瑋 (江蘇省無錫市輔仁高級中學 214123)

數(shù)學是一門研究模式的科學．解決數(shù)學問題，從本質上來講，就是模式識別對主體思維發(fā)生作用的過程．主體將新問題與記憶中貯存的相關信息加以匹配，通過思維再創(chuàng)造活動，使問題的解決得以實現(xiàn)．[1]模式識別，既是一種重要的解題策略，也是一種典型的思維方法．當我們面臨一個具體的數(shù)學問題時，首先要做的事情，就是辨別問題的類型，從頭腦的長時記憶中檢索到與這個問題緊密聯(lián)系的原有的知識、方法和經驗，即數(shù)學模式，然后運用解決相應數(shù)學模式的思路探索出解決問題的方法．顯然，沒有豐富的模式識別能力和解決數(shù)學模式的方法，在數(shù)學問題面前就會找不到解決問題的思路，無法展開有效的思維活動，從而顯得束手無策．因此，數(shù)學教學要充分發(fā)揮模式的功能，在指導學生運用模式識別的策略解決問題的過程中使其學會數(shù)學思維，從而有效地培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

1 運用模式識別的方法引領問題分析，培養(yǎng)學生思維的條理性和敏捷性

對問題進行分析，弄清問題的條件和結論，聯(lián)想與問題具有緊密聯(lián)系的、為解題主體所熟悉的數(shù)學基礎知識、基本思想方法和類似問題的解題活動經驗，由此尋求解決問題的突破口，得出解決問題的思路、策略和實施途徑，這是數(shù)學解題必須經歷的一個十分重要的初始環(huán)節(jié)，也是解題思維最為活躍的環(huán)節(jié)．在這個環(huán)節(jié)中，教師要善于運用模式識別的方法，通過對問題的歸類，引領學生全方位、多角度地“揭示隱含，提取信息”“靈活轉換、翻譯信息”“由已知到未知、溝通聯(lián)系并搭建橋梁”[2]，進行解題思路產生的基礎分析和解題方法形成的過程分析，周密地考慮，正確地判斷和迅速地作出結論，使學生學會演繹推理與合情推理，培養(yǎng)學生思維的條理性和敏捷性．

例1已知x,y是實數(shù)，若4x2+xy+y2=1，求2x+y的最大值和最小值．

這一問題，雖然已知的條件和求解的目標并不復雜，似乎唾手可得，但許多學生面對它時，卻又感到理不清頭緒．事實上，如果我們運用模式識別的方法，聯(lián)想曾經研究過的類似問題常用的解題方法，在此基礎上進一步認真地分析問題的條件和結論，不難發(fā)現(xiàn)，這是一個二元變量的條件最值問題，與這個問題相聯(lián)系的基礎知識和基本思想方法有基本不等式、引入中間變量和挖掘幾何意義、構造幾何圖形等，由此思維立即被激活，可以很快得出破解這一問題的以下幾種思路，使問題順利獲解．

思路1 運用基本不等式，整體處理，通過解不等式求解．

思路2 引入中間變量，運用三角換元的方法求解．

思路3 挖掘幾何意義，運用數(shù)形結合的思想方法求解．

將已知條件4x2+xy+y2=1和要求最值的二元目標函數(shù)2x+y的代數(shù)結構表征為幾何圖形——平面上的曲線，不妨記2x+y=t，為使 2x+y取得最大值和最小值，必須且只需直線 2x+y=t和曲線4x2+xy+y2=1“相切”．

在數(shù)學學習中，我們通過對所積累的知識經驗進行必要的加工，得出具有長久保存價值的相對固定的題型結構和解題策略，可以成為引領我們進行解題分析的基本模式．當我們遇到一個新問題時，先辨認它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已經解決的問題，檢索相應的方法來加以解決，這就是“模式識別”．[3]一些“形異質同”的不同問題往往歸類為同一種數(shù)學模式，同一個數(shù)學問題也可以利用不同的數(shù)學模式來加以解決．如果我們的數(shù)學教學，能夠堅持幫助學生積累“基本模式”，并善于引領學生以運用“模式識別”的方法展開思維活動，進行解題分析，那么經過長期熏陶，就能幫助學生在潛移默化中養(yǎng)成良好的思維習慣，有效地提升思維的條理性和靈活性，使他們在獨立面對一個新的研究對象時，不會感到束手無策.這樣，那種“講過練過多遍的問題還不一定會，沒有講過和沒有練過的問題一定不會”的現(xiàn)象就可以得到有效的杜絕了．

2 運用模式識別的方法進行思維調節(jié)，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和獨創(chuàng)性

數(shù)學解題、尤其是求解一些具有較強綜合性的數(shù)學問題，是一個復雜的智力活動的過程，它是解題者的一種有目的、有計劃的科學活動．在解題活動之初通過解題分析，我們所確定的解題思路往往是粗線條的、概括性的，有的則是嘗試性的，由于問題的復雜性，或者解題者思維的缺陷等原因，解題的過程有時會思路受阻或中斷，形成解題障礙，或者因運算量大、過程繁瑣而難以得出結果．此時，必須根據解題過程中顯示的有關信息，及時地進行思維的自我調節(jié)，通過改變視角重新審視問題，尋找新的解題途徑，以保證解題活動得以順利進行．[4]在教學的過程中，我們不僅要教給學生解題的基本模式，更要通過對模式的識別和比較，指導學生在運用一種數(shù)學模式解決問題思維受阻時，進行思維調節(jié)的方法，學會思維的自我調節(jié)，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和獨創(chuàng)性．

根據已知條件和解題的目標，學生很容易想到證明不等式的幾種基本模式——比較法、分析法、綜合法，等等，作出如下的解題分析：

這時，教師可引導學生運用模式識別的解題策略，抓住上面利用題設變更后得到的不等式的數(shù)學特征，借助特征模式進行思維調節(jié)，進一步地將待證的不等式變更為下面的形式：

圖1

本題中，讓學生陷入困惑的主要原因是缺乏數(shù)形結合的意識和運用數(shù)形結合的思想方法分析問題、解決問題的能力．數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的科學，數(shù)與形兩者本沒有不可逾越的鴻溝．數(shù)形結合既是一種思想方法，也是一種思維策略，更是一種解題模式．解題經驗告訴我們：在尋找解題思維發(fā)生困難時，不妨借助圖形去探索；在解題過程中遇到繁雜運算使人望而生畏時，不妨借助圖形去開辟新路；在需要檢驗結論是否正確時，不妨借助圖形去驗證．這就是“以形助數(shù)”．當然，對于具有明顯幾何特征的數(shù)學問題，我們也可以通過建立平面直角坐標系，借助代數(shù)運算的方法使其獲得解決，即“以數(shù)解形”．一個數(shù)學問題在同一個體的思維中完全可能具有多種不同的心理表征，它們分別突出了對象的某些(而不是全部)性質；而且，在不同的時刻或場合，所得到“激活”的通常又只是這些不同心理表征中的某一個．[5]因此，數(shù)學解題中，在通過初始的歸類分析解題失敗之后，可以利用模式識別解題策略達到問題解決的目的．教學中，通過長期的言傳身教、潛移默化，學生數(shù)學思維的發(fā)散性和獨創(chuàng)性可以得到有效的培養(yǎng)，解題的能力可以得到顯著的提升．

3 運用模式識別的方法指導回顧反思，培養(yǎng)學生思維的深刻性和批判性

對于數(shù)學解題的思維過程，美國著名數(shù)學教育家G·波利亞將其概括成四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧反思[6]．所謂解題后的回顧反思，指的是在解決了數(shù)學問題之后，通過對問題條件、問題特征、解題思路、解題途徑、問題結論、解題中反映出的數(shù)學思想方法、思維方式等方面的回顧、概括、總結和反思，對解題活動進行再認識，以便進一步地認清問題的本質，暴露數(shù)學解題的一般思維過程，發(fā)現(xiàn)解題活動中存在的問題和不足．解題后的回顧反思是數(shù)學解題的一個十分重要的環(huán)節(jié)，通過對解題活動整個過程的回顧與反思，揭示出問題的深層結構，總結出題目的共同特征，將問題進行變式、引申和推廣，在擴大解題成果的同時，形成解決一類問題的基本策略——解題模式，以便從中選擇最為合理和準確或者是多樣化的解題方法，完成問題的類化，實現(xiàn)問題的最優(yōu)化解決，從而開發(fā)學習者的解題智慧，以達到事半功倍、培養(yǎng)學生思維的深刻性和批判性等思維品質的目的．在這個過程中，可通過“模式識別”整合各類不同信息．

例3在平面直角坐標系xOy中，已知點A(m,0),B(m+4,0)，若⊙C：x2+(y-3m)2=8上存在點P使得∠APB=45°，求實數(shù)m的取值范圍．

這是一個解析幾何問題，結合圖形分析，點P可看作是△ABP的外接圓上的點，求出點P的軌跡方程，結合點P在⊙C上，可將問題轉化為兩圓有公共點的問題，由此建立關于m的不等式，通過解不等式求出m的取值范圍，得出如下解法．

圖2

又易知∠AMB=2∠APB=90°，且圓心M在線段AB的垂直平分線上，可求得點M的坐標為(m+2，2)或(m+2，-2)．由于點P既在⊙C上，又在⊙M上，則⊙C與⊙M有公共點．

得出了問題的結果、完成了解題過程，絕不是學習的終結，解題結束后，教師還要運用“模式識別”的策略引導學生展開更深層次的探索和回顧反思，揭示知識和方法的聯(lián)系、問題本質特征和問題解決的一般規(guī)律，進一步引導學生對類似的問題進行探究，形成解決一類問題的共性思路，實現(xiàn)知識、方法的重組和升華，達到觸類旁通、舉一反三的目的，從而有效地培養(yǎng)學生思維的深刻性和批判性．對于例3，我們可以啟發(fā)、引導學生對其數(shù)學模式作如下一些回顧、反思和引申：

回顧反思1 這是一個解析幾何的問題，我們通過建立代數(shù)關系，通過解不等式使問題獲得了解決，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想方法的妙用．數(shù)形結合不僅僅是將代數(shù)問題用幾何方法求解即以形助數(shù)，也不僅僅是將圖形問題轉化為代數(shù)問題來解決即用數(shù)解形，而是密切聯(lián)系、相互滲透的統(tǒng)一整體，解題時需要靈活加以運用．

回顧反思2 數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是實現(xiàn)數(shù)學問題解決的銳利武器．本題的求解，不僅運用了數(shù)形結合的思想方法，化歸與轉化、分類與討論的思想方法在解題中也發(fā)揮了重要作用，體現(xiàn)得淋漓盡致．數(shù)學解題時，基本模式和一般套路固然重要，但更應注意根據題目的特征，靈活地運用數(shù)學思想和方法來指導解題，避免盲目地生搬硬套．

回顧反思3 求解參數(shù)的取值范圍，在數(shù)學解題中是大量存在和經常出現(xiàn)的，其方法非常豐富也十分靈活.一種最為常見的也較易奏效的方法，就是通過挖掘出問題中的隱含信息，建立起參數(shù)關于某一變量的函數(shù)關系，轉化為求函數(shù)的值域或最值使問題獲解，或者是建立起參數(shù)所滿足的不等式(組)，轉化為解不等式(組)求出結果．

回顧反思4 本題的求解，建立起點P的軌跡方程，將問題轉化為兩圓有公共點的問題，是十分關鍵的一步．這里點P的軌跡是一個“隱形圓”，“隱形圓”在數(shù)學解題中十分活躍，你能運用求解本題的思維方法來解決下面的幾個問題嗎？

問題1已知直線l：x-y+2=0與x軸交于點A，點P在直線l上，⊙C：(x-2)2+y2=2上有且僅有一個點B，滿足AB⊥BP，求點P的橫坐標的取值范圍．

問題3已知△ABC的三個頂點A(-1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓圓心為H．

(1)若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍．

G·波利亞曾經說過：“沒有任何一道數(shù)學題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做．”[7]數(shù)學教學中，“就題論題”和“題海戰(zhàn)術”既低效又十分有害．教師要善于運用“模式識別”的策略，引導學生根據問題的特征開展解題思路的分析，針對解題受阻的原因進行思維調節(jié)，圍繞問題的解決過程進行解題的回顧和反思，在幫助學生對知識和方法進行總結歸類、形成知識網絡，優(yōu)化認知結構，形成運用基本模式解決問題的十分清晰的思維路徑圖，使得基本模式在積累的過程中越來越牢固、越來越暢通的同時，讓學生在不斷的分析—綜合、探究—比較和回顧—反思的過程中，辨認問題的基本模式，弄清問題的本質特征，揭示問題的深層意義，學會主動地搜索問題解決的策略，在解決問題后構建新的或更高層次的模式，從而有效地訓練數(shù)學思維的品質，提高分析問題和解決問題的能力，使數(shù)學解題能夠進入“隨心所欲”“得心應手”的至高境界，為數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的“落地生根”奠基領航．