探究教學貴在生成*
——以“點到直線的距離”探究性教學為例

劉亞平 劉全生 陳慶來 (江蘇師范大學附屬實驗學校 221011)

孫琳琳 王 強 (江蘇省豐縣中學 221700)

“探究教學法”就是以某個或某一類相似問題為載體，以探究為方式，以四基(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)為舉措，以提升學生數學核心素養為目的的一種教育教學方法．通過高一、高二的數學學習，高三學生已經逐步掌握了必備的知識框架和方法體系，對解決數學問題方法的選擇及思想的優劣有了一定的甄別能力，不再僅僅滿足于教師的“講授”，學生的“聽受”等以教師為主導的教學模式，迫切尋求以“教”為重心向以“學”為重心的學習方式的轉換，這就需要教師根據學生思維發展的需求審時度勢地調整教學方法．探究性學習是學生由“學會”轉化為“會學”的一種重要的自主學習模式．下面筆者以一節高三數學“點到直線的距離”探究性教學為例，談談對實施探究教學法的一些舉措與思考，以期拋磚引玉．

1 教學過程

“上節課后老師給同學們布置了一節‘點到直線的距離’的研究性學習課，大家可以把研究過程的所見、所聞、所思、所惑，暢所欲言地表達出來，與同學們一起分享探究歷程中的收獲與快樂．”教師的話剛說完，就有學生說出藏在心中已久的困惑.

1.1 寓教于樂，讓學生有話可說

問題1蘇教版數學必修2[1](第102頁)在推導點到直線的距離公式時，主要給出兩種方法：第一種方法是分四個步驟推導點到直線的距離公式．第一步求直線DE斜率，第二步求直線DE方程，第三步求直線DE與直線AB的垂足，第四步求兩點D,E的距離；第二種方法運用三角形等面積法推導點到直線的距離公式．方法2的確巧妙且運算量較小，但不容易想到；方法1雖然運算復雜，但是容易想到啊而教科書卻話鋒一轉：方法1運算量較大，下面我們通過構造三角形，利用面積關系求點D到直線AB的距離．我感覺教科書做法有些舍本逐末，是不是我們以后遇到復雜的計算或推理，就一定要尋找其他的計算或推理的“巧法”呢？學生1的“訴求”引起共鳴，同學們躍躍欲試、摩拳擦掌，很快推出點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式．過程如下：

師生共同反思方法1有三個閃光點：第一，思路自然；第二，方法可行；第三，操作可控．教育家愛默生曾指出：“教育成功的秘訣在于尊重學生．誰掌握了這把鑰匙，誰將獲得教育上巨大的成功．”在數學教學過程中，教師要傾聽學生的心聲和困惑，關注學生的想法，以便及時調整教學方向，做到有針對性地講解．在上課伊始，教師就沒有想到學生會質疑教材，提出問題1，看到學生由于收獲喜悅而歡呼雀躍時，教師對自己的教學行為深感欣慰．如果忽視了學生對方法1的質疑，不僅僅是喪失了一次提高學生運算能力的契機，更是剝奪了學生學習數學的追求與信仰．

學習數學離不開解題，解題才是學習數學的心臟．大家能不能給出關于點到直線的距離公式的試題？有的學生翻書，有的學生查閱高考數學參考資料，有的學生上網搜尋相關試題，有的學生拿出早已寫好試題的小紙片等，經過師生共同討論、交流、篩選、梳理，給出如下的一系列層層遞進、精彩紛呈的問題．

問題2求點P(1,1)到直線l:x-y-3=0的距離．

1.2 曲徑通幽，使學生有事可做

問題3(2011年高考數學上海卷理科第23題)已知平面上的線段l及點P，任取l上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到l的距離，記作d(P,l)．

(1)求點P(1,1)到線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距離d(P,l)；

(2)設l是長為2的線段，求點的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的圖形面積．

圖1 圖2

(2)由題意知，所求圖形面積與線段l如何擺放沒有關系，為了同學們便于觀察，我們把線段l的兩個端點分別放在E(-1,0),F(1,0)處．因為d(P,l)≤1，所以點P到線段EF上每個點都是以1為半徑的圓面．通過觀察可知，點P軌跡是一個邊長為2的正方形和兩個半徑為1的半圓(包括內部的所有點，如圖2)，所以點的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的圖形的面積為4+π．

第(1)問通過直覺觀察可以得到點P到點A的距離最小，再通過建立二次函數在特定區間上求最值得以證明；(2)先解決線段l的一個特殊擺放位置(如線段EF位置)所對應的圖形面積，當線段l任意擺放時，只是把點P對應的圖形——一個邊長為2的正方形和兩個半徑為1的半圓(包括內部的所有點)跟著改變即可，顯然面積仍為4+π．

在反思解題過程中，同學們逐漸認識到“大膽猜想、小心論證”的必要性與重要性．就在他們對此解法津津樂道之時，教師追問：同學們知道了點到線段的距離定義，那如何定義曲線到直線的距離？他們很快異口同聲說：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．

問題4(2012年高考數學浙江卷理科第16題)定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，求實數a的值．

圖3

問題5(2017年高考數學上海卷第12題)如圖4，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1,P2,P3,P4以及四個標記為“▲”的點在正方形的頂點處，設集合Ω={P1,P2,P3,P4}，點P∈Ω，過點P作直線lP，使得不在lP的“▲”的點分布在lP的兩側．用D1(lP)和D2(lP)分別表示lP一側和另一側的“▲”的點到lP的距離之和．若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1(lP)=D2(lP)，則Ω中所有這樣的P為．

圖4

心理學研究表明，一個人面臨錯綜復雜的陌生情境時，難免都會有點心慌意亂，不過有的人會立刻回歸平靜，積極尋找解決問題的方案與對策．本題條件開放，涉及字母比較多，解題方向不明，是學生最懼怕的題型之一．這怎么辦呢？教師可以先引導學生解決最簡單的問題：如圖5，ABCD是正方形，不妨設正方形的頂點A,B到直線l的距離之和等于頂點C,D到直線l的距離之和，試問直線l是否過某一定點？請說明理由．通過作圖可知直線l一定通過正方形ABCD的中心O．學生運用合情推理不難猜出問題5中的直線lP一定過以“▲”為頂點的四邊形的中心，即P2．

圖5

圖6

1.3 厚積薄發，助學生登高望遠

經過學生的動手操作、親身實踐，同學們體會到點到直線、點到線段、曲線到直線的(有向)距離本質都是點到點的距離．通過抽象這三種距離概念的共同特征，可以衍生出意味深長的“曼哈頓距離”定義[2]：設X是一個非空集，X叫做距離空間，是指在X上定義了一個雙變量的實值函數ρ(x,y)，滿足下列三個條件：(1)ρ(x,y)≥0，而且ρ(x,y)=0，當且僅當x=y；(2)ρ(x,y)=ρ(y,x)；(3)ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)(?x,y,z∈X)．

這里ρ叫做X上的一個距離，以ρ為距離的距離空間X記做(X,ρ)．由于曼哈頓距離背景新穎，形式靈活，能較好地考察學生的數學核心素養，所以備受高考數學命題專家的青睞．

問題6(2006年高考數學福建卷理科第12題)對于直角坐標平面內的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|．給出下列三個命題：①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．其中真命題的個數為( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

由于是客觀題，只要取特殊情況，答案不難揭曉．如取A(-1,0),C(0,0),B(1,0)，可驗證第1個結論正確；再取A(1,0),C(0,0),B(0,1)，可驗證第2個結論與第3個結論皆錯誤，故答案選B．如果是解答題，只需證明第1個結論正確即可，設C(x3,y3)，因為點C在線段AB上，不妨設x1≤x3≤x2，y1≤y3≤y2，代入“距離”公式可以證明第1個結論成立，同理可證其他情況也成立．

無獨有偶，2010年高考數學廣東卷再次出現蘊涵更加深厚的“曼哈頓距離”試題．此試題以“曼哈頓距離”為載體，將解析幾何的核心思想和絕對值性質、絕對值不等式、不等式證明等內容有機地聯系起來，背景新穎但源于課本，因此符合學生的認知基礎與認知能力，既體現了在知識交匯處命題的原則，又體現了高考命題的公平性原則，考查學生能否打破定勢思維，換個視角觀察問題、分析問題及解決問題的能力．

問題7(2010年高考數學廣東卷理科第21題)設A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標系xOy上的兩點，現定義由點A到點B的一種折線距離ρ(A,B)為ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|．對于平面xOy上給定的不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)．

(1)若點C(x3,y3)是平面xOy上的點，試證明：ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B)；

(2)在平面xOy上是否存在點C(x3,y3)，同時滿足①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)，②ρ(A,C)=ρ(C,B)．若存在，請求出所有符合條件的點；若不存在，請予以證明．

本題是含絕對值符號的證明題，可謂來勢洶洶、咄咄逼人，再加上考試時間的緊迫，如果同學們是當年考生的話，大家也會感到沉重的心理壓力(學生們頻頻點頭表示認可)．大家要明白“題在書外，理在書內”的道理，遇到思維障礙要聯想到書本的相關知識，點擊腦海中相關的知識結構和方法體系的格點，激活和擷取相應的知識與方法，并聯想相關的基本數學活動經驗，探尋解題的切入點與突破口．在教師循循善誘的引導下，學生通過嘗試逐漸明白：在解決每一個問題時都至少有六個絕對值符號，因此無法采用通過平方去掉絕對值符號，故本題實質是考查三角形絕對值不等式．

證明 (1)因為ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x3-x1|+ |y3-y1|+|x2-x3|+|y2-y3|≥|(x3-x1)+(x2-x3)|+|(y3-y1)+(y2-y3)|=|x2-x1|+ |y2-y1|=ρ(A,B)，當且僅當(x3-x1)(x2-x3)≥0,(y3-y1)(y2-y3)≥0時取等號．

(2)結合第(1)問取等號條件，再運用分類討論思想即可(以下教學過程略)．

2 教學思考

教育家贊可夫認為：“教學法一旦觸及學生的情緒和意志領域，觸及學生的精神需要，這種教學法就發揮高效的作用．”[3]筆者認為，探究教學法就是能觸及學生情緒和意志領域、精神需要的一種行之有效的教學方法．隨著新課改理念的逐步深入，以學生為主體的探究教學法備受數學教師的推崇，并取得了不錯的教學成效，但還有一些膚淺的“偽”探究教學的現象，如何“去‘偽’存真”實施探究教學法？筆者認為要做好以下三點：

2.1 選擇貼近學生思維實際的內涵豐富的問題是順利實施探究教學法的基礎

之所以有“偽”探究教學現象的發生，其中一個主要原因是由于探究問題選擇不當造成的，如果探究問題過于簡單，學生就會不探自明，探究就會流于形式；如果探究問題高不可攀，學生就會望而生畏，探究就會難以開展；如果探究問題內涵單一，學生就會索然無味，探究就會難以使學生意猶未盡．因此，教師要把好探究問題的質量關，探究問題可以從學生作業、考試中產生的共性錯誤、共性困惑或典型問題中選擇，也可以從學生自主學習中感興趣的、有價值的、有底蘊的問題中選擇，還可以從數學學習中學生遇到的數學知識發生發展的生長點和銜接點、數學思想方法的轉折點、數學思維的癥結點等處選擇[4]．

本節課中，教師首先從學生質疑教材能否運用四步驟推導出點到直線的距離公式開始，師生齊心協力、眾志成城地解決困擾學生心中許久的困惑，遵循學生思維發展的規律，教師引導學生循序漸進地探究了點到線段距離、曲線到直線距離、點到直線的有向距離、曼哈頓距離等五彩繽紛、雋永含蓄的一系列問題．這些平面“距離”的問題系列兼顧基礎性、多變性、生長性，反映了知識間的錯綜復雜、千絲萬縷的內在聯系，是培養學生創造性解決問題的絕佳素材．學生馳思遐想、開拓視野，研討氣氛熱烈高漲又緊張有序．

2.2 培養學生觀察問題、合情推理的能力是順利實施探究教學法的保障

普通高中數學課程標準提出要培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，還倡導學生要學會用數學的眼光觀察世界．目的是強調觀察問題能力在學習數學中應該有一席之地．在普通高中課程標準實驗教科書中，教材編者也煞費苦心地引導教師要注重對學生觀察能力的培養．如學習函數的奇偶性、單調性、指數函數的性質等，都是先讓學生觀察一些函數圖象，找出規律、看出端倪，然后再理性認知；再如學習直線與平面平行(垂直)的判定與性質定理，平面與平面平行(垂直)的判定與性質定理等，都是先讓學生動手操作、仔細觀察、直觀感知、歸納猜想、理性確認，最后納入新知．有些學生由于受定勢思維的影響，總認為演繹推理是解決問題的“正道”，習慣用因為、所以邏輯鏈來解決問題，把合情推理放在了遺忘的角落．其實，合情推理是一種發散性思維，遇到新背景、新情境、新思想、新觀點、新構想、新方法等問題時，通過合情推理可以發現一些結論，然后為下一步探索新問題提供新的研究起點與方向，這是演繹推理所無法企及的．

學生需要探究的問題往往都是其思維的困惑點、疑難點、拐角點，有時直接運用演繹推理從正面強攻硬取很難奏效，這就需要其運用觀察問題、合情推理等能力來尋找解決問題的切入點與突破點．在解決問題5時，如果直接運用點到直線的距離公式求解，思路容易受阻，但通過對特殊情況細致入微的觀察就會發現直線lP一定通過相應四邊形的中心，再運用點到直線的有向距離公式把猜想的結論進行嚴謹的證明，學生便茅塞頓開，解決問題的思路逐漸清晰明朗．數學家華羅庚說過：“我解題并沒有什么訣竅，只是在碰到難題時我就一退再退，直到退無可退．每每使題目由繁到簡，由小到大，最后找到規律，迎刃而解．”[5]這也許是華羅庚先生對等價轉化與合情推理的一種詮釋吧．

2.3 培養學生的探究興趣與成功的愉悅感是順利實施探究教學法的動力

數學探究課與新授課、練習課、評講課等都不盡相同，教師要及時由“臺前”走向“幕后”，扮演好學生學習的指導者、幫助者、協作者的角色，努力營造和諧、平等的學習心理環境，創造多維的學習空間．教師通過積極引導學生動手操作、大膽質疑、探究發現、嚴謹論證，體會發現新知與探索方法的奧秘，體驗運用新知解決問題的愉悅感與成就感，學生內心深處的情感體驗得以被喚醒、強烈的釋疑愿望得以實現，不經意間就培養了學生學習數學的濃厚興趣．蘇霍姆林斯基也曾說過：“如果你所追求的只是那種表面的、顯而易見的刺激，以引起對學習和上課的興趣，那就永遠不能培養起學生對腦力勞動的真正熱愛，你應該努力使學生自己去發現興趣的源泉，讓他們在這個過程中體會到自己的勞動和成就——這件事本身就是興趣的最重要的源泉之一．”[6]

通過“寓教于樂，讓學生有話可說”的教學環節，教師巧妙地為學生搭設交流對話平臺，使困擾學生心中的困惑得以解決，為運用點到直線的距離公式解決問題作好鋪墊；通過“曲徑通幽，使學生有事可做”的教學環節，使學生認識到“點到線段距離、曲線到直線距離、點到直線的有向距離”本質都是點到點距離；學生經歷一系列問題的順利解決，了解“曼哈頓距離”衍生的來龍去脈，正是這種在學生身上發生的知識結構建構的過程，開拓了學生的心智空間，使其解決陌生問題時的恐懼感降到最低，學習數學的興趣得到激發.解決問題的成就感與自豪感又促使學生用自己頭腦中剛發現的解決問題的辦法，去挑戰“厚積薄發，助學生登高望遠”教學環節中更加復雜抽象、意義非凡的問題．

3 結束語

布魯納說過：“探究是數學教學的生命線，沒有探索就沒有數學的發展．”探究教學法是中學數學課堂上的一種常態的教學方法，探究教學法就像調節教師的教與學生的學雙邊關系的一種潤滑劑，激發學生主動參與學習數學的一種催化劑，激勵學生致力探究新知的興奮劑．什么時候運用探究教學法？如何運用探究教學法？探究問題如何選擇？在運用探究教學法時教師的主導作用如何安排？有沒有必要每節課或整節課都要用到探究教學法？等等，這些都是數學教師必須認真思考的問題．筆者認為，選擇探究問題要符合課標要求，貼近學生的認知實際，摒棄“難、怪、偏”問題，確保學生探究能“探動”；其次，在探究問題時，教師要樹立以生為本的教育理念，及時了解學生探究問題的困難，有針對性地培養學生的認知策略與方法，確保學生探究有“方法”；最后，教師要發揮引領、輔助、“導游”的作用，恰到好處地運用“元認知提示語”啟發、暗示，不斷激發學生的探究熱情與興趣，確保學生探究有“動力”．