“做中學”理念下的數學實驗探究
——以“數格點 算面積”一課為例

薛文武 (江蘇省蘇州工業園區星匯學校 215028)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶”“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗．”[1]數學實驗是讓學生通過自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程.它突出了知識形成的過程，有助于學生經歷真正的“做數學”和“用數學”的過程.充分借助實驗的平臺不僅能激發學生的興趣和創新思維，有助于突破教學難點，有利于培養學生學習數學的應用意識，而且能讓學生在實踐操作中領悟數學知識的生成，理解數學核心概念的發展和延伸，然后用數學相關方式方法描述數學知識間的內在聯系和必要的規律，使得學生在做中學、做中悟，在做中有所得．本文是學生在初步了解幾何圖形的基礎上，通過數學實驗積極引導學生對格點多邊形面積規律展開探索，讓學生通過“做”感受數學，在做中探索格點多邊形面積的形成過程，揭示格點多邊形的數學本質．

本節課主要分為兩階段：第一階段通過層層遞進的實驗設計為學生提供較充分的“做”數學機會，實驗內容呈現采用學生做數學，然后在實踐操作中感受和體驗，主動獲取格點圖形中的數學知識與規律，再通過數學實驗明晰相關的格點算面積的生活實際．第二階段是學生通過實驗掌握了格點多邊形面積的規律后，在應有的知識基礎上不斷地思考和提升，在“做”中感受數學知識的價值，增強應用數學知識解決問題的意識和能力，進一步感受數學與生活的聯系，最終獲得情感、態度、價值觀的體驗．

1 課內活動

1.1 概念認識

如圖1，網格紙上畫著縱、橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離相等，這兩組平行線的交點稱為格點(如圖1中的點A，B，C等).如果一個多邊形的頂點都在格點上，那么這個多邊形叫做格點多邊形(如圖1中的多邊形ABCDE).

圖1

設計意圖七年級學生已經初步了解格點多邊形的簡單知識并在一些考題中體驗過，只是對概念沒有進行嚴格意義上的描述，通過對格點和格點多邊形的提前了解，為接下來的實驗探究做好鋪墊.

1.2 情景引入，激發興趣

情景1 如果小正方形的面積是1，你會求圖2中格點圖形的面積嗎?

圖2

設計意圖前兩個圖形能夠讓學生很容易地看出答案并且鞏固了格點四邊形的定義，第三個圖形充分發揮學生的能力，及時鞏固和完善了割補法，激發學生進一步學習的興趣，為接下來的游戲做好鋪墊.

情景2 你說，我猜.

請你任意畫出一個格點四邊形，計算出面積，然后告訴我邊上格點數(記為L)、內部格點數(記為N)，我就能很快算出你所畫格點多邊形的面積.

圖形序號內部格點數(N)邊上格點數(L)面積S①②③…………

設計意圖自己動手畫任意四邊形算面積的目的是培養學生的動手能力，同時感受用已有的算面積的方法(割補法)對于任意四邊形可能有難度，并且計算起來比較困難.而教師只通過邊上格點數和內部格點數就能很快算出學生所畫任意四邊形的面積，增強了學生的好奇心，激發了求知欲，也為接下來的實驗探究埋下伏筆，為營造良好的學習氛圍創造條件.

學生在探究過程中出現了計算結果和老師答案不一樣的情況，在思維碰撞的火花中，學生不僅感受到了游戲的魅力，也激發了他們求知的欲望.尤其是當任意四邊形內部格點數和邊上格點數比較多的時候，更加有利于啟發學生思考格點多邊形的面積與哪些量有聯系，促使學生繼續以探索者的身份去發現問題，總結規律，從而使得課堂教學更加精彩，最終獲得最佳的教學效果.

1.3 交流研討，高效探索

問題1：圖3中格點多邊形的面積S變化與邊上的格點數L變化有關嗎？

圖3

問題2：圖4中格點多邊形的面積S變化與邊上的格點數L變化有關嗎？

圖4

問題3：通過先前的游戲以及改變圖形的結構，我們從中發現了什么？

設計意圖探究過程是主動的深入思考而不是簡單的帶入，通過合理的情景創設，引導啟發學生自己去探究，去總結知識的發現過程和方法的形成過程，而不是簡單地告知或暗示.通過兩個設計讓學生進一步體會到格點多邊形的面積與邊上格點數和內部格點數有著密切的關系，也與前面的游戲相呼應，同時為學生進一步思考指明了方向，也為在接下來的探究中滲透“控制變量法”的思想，做好鋪墊.

生1：圖3中，邊上格點數每增加2個，面積就增加1個單位；圖4中，內部格點數每增加1個，面積就增加1個單位.

生2：從我自己畫的圖中，通過割補法求面積時有點困難，現在知道邊上格點數和內部格點數就能猜出我畫圖的面積，真的很神奇，但是自己又不敢相信.

生3：在計算過程中，我發現有兩個量與面積有關系，難以統一，怎么辦？

提出問題既然面積與兩個量有著很大的關聯，那我們一般怎么操作？

1.4 活動探究，精彩紛呈

要求：在網格紙上畫任意格點多邊形，每位同學至少畫3個以上圖形，自主探究S與L，N之間的數量關系.

圖5

設計意圖讓學生積極參與，自主探究，自主思考，由猜想到自主驗證，由淺層思考到自主思考，培養學生獨立思考的精神，鍛煉學生的思維能力.

活動1 探究N=0的格點多邊形中S與L之間的關系.

滿足N=0的格點多邊形中S，L之間存在一個什么樣的關系，你能表示出來嗎？

設計意圖結合學生的探究過程和思考方式，從學生的最近發展區出發，循序漸進，逐步引導學生做好實驗的操作.

圖6

活動2 探究N=1的格點多邊形中S與L之間的關系.

滿足N=1的格點多邊形中S，L之間存在一個什么樣的關系？

圖7

活動3 探究N=2的格點多邊形中S與L之間的關系.

圖8

活動4 探究N=3的格點多邊形中S與L之間的關系.

(1)示范引領：畫N=3的格點多邊形.

(2)合作交流：四人一組，畫圖研究N=3時S與L之間的關系.

設計意圖通過對一個變量的控制，有助于學生在已有的知識和能力范圍內對S與L之間的關系進行科學高效的猜想和合理的驗證.

活動5 猜想N=4，5，…，10，…的格點多邊形中S與L之間的關系.

設計意圖通過大量的實驗操作，讓學生的思維越來越活躍，探究過程越來越完善，從而能找到S與L之間的關系，驗證自己的猜想，讓實驗的價值凸顯出來.

活動6 歸納分析S，N，L三者關系：

設計意圖讓學生根據自己的實際操作和合理的猜想，歸納總結出本節課的重要結論，讓學生在享受實驗的過程中感受到數學探究的魅力和實驗的價值.

設計意圖讓學生了解該定理，感受定理的價值和存在意義，激發學生學習數學的熱情.

2 實際應用及推廣

2.1 應用皮克定理求格點多邊形的面積

圖9

(1)求圖9中格點多邊形的面積.

設計意圖通過熟悉的題目來驗證定理的準確性，讓學生感受到數學實驗的探索價值以及高效便捷的解題幫助.

圖10

(2)圖10中，左側多邊形的L=15，N=17，右側多邊形的L=17，N=16，則哪個多邊形的面積S較大？

設計意圖通過對L與N的變化，從視覺感知到定理的靈活運用，無不體現出皮克定理的價值.

2.2 拓展研究

(1)如圖11，如果每相鄰的四個點構成的小矩形的面積是1，那么還能用皮克定理來求多邊形的面積嗎？

(2)如圖12，如果每相鄰的四個點構成的菱形的面積是1，那么還能用皮克定理來求多邊形的面積嗎？

圖11 圖12 圖13

(3)如圖13，如果每相鄰的三個點構成的小等邊三角形的面積是1，那么還能用皮克定理來求多邊形的面積嗎？

設計意圖三個基礎圖形的變化帶來更多的思考與研究，目的是讓學生在類比中靈活運用皮克定理，同時也讓學生在不同的情景中能夠推廣皮克定理，充分激發學生學習數學的興趣，培養學生思維品質和數學素養.

2.3 應用生活

圖14

你能否運用今天所學，近似地求出一片樹葉的面積？請你設計一個解決方案.

設計意圖數學源于生活，服務于生活.學有價值的數學，讓學生進一步感受到學好數學能為自己未來生活、工作和學習奠定重要的基礎.

3 實驗教學反思

3.1 多維互動，發展思維

“做中學”的理念注重學生的動手操作能力和學生的自主能力、數學素養的培養，最為重要的是讓學生借助數學實驗調整課堂教學內外的時間，將學習的決定權和主動權從教師轉移給學生，從課堂轉到課外，從外化轉化為內在的自主學習行為和自我構建意識，讓學生從生活中學、從經驗中學、從做中學．傳統的數學教學是教師在課堂上講，布置家庭作業，讓學生回家練習．與傳統的課堂教學不同，在“做中學”的理念下，實驗教學中學生自己動手完成數學實驗相關知識的初步學習，從實驗中收獲了知識的來源和產生的過程，從而讓課堂教學變成了師生之間和學生之間互動的場所，包括答疑解惑、知識的運用等，從而達到更好的教育效果和知識構建過程，滿足了學習數學的切實需要[2]．在數學實驗中學生可以通過自己動手實踐操作去探究，去總結研究構建知識模型，不再單純地依賴授課教師去教授知識，最終達成知識體系的完善和能力的提升．通過數學實驗，課堂和教師的角色發生了變化，教師更多的責任是答疑和引導學生去運用知識解決問題，實現了數學本身的價值和學生能力的提升、思維的發展，最終達到學生學科素養和思維品質的發展．

3.2 能動自主，放飛思想

在數學實驗教學環境下，學生能夠更專注于基于動手操作的學習，在動手操作過程中獲得更深層次的理解和學會使用知識解決問題的能力．實驗探究和思考后，教師不再占用課堂的時間來講授知識，這些知識需要學生在課后完成自主探究，他們可以從身邊的生活數學出發，還能自主地研究數學知識，能在任何時候去查閱需要的材料，教師也能有更多的時間與每個人交流，實現了實驗從動手到脫手的目的和意義．在課后，學生自主規劃數學學習內容、學習節奏、風格和呈現知識的方式，教師則采用講授法和協作法來滿足學生的需要和促成他們的個性化實驗學習，其目標是為了讓學生通過實踐獲得更真實的學習．動手做數學的目的是為了讓學習更加靈活、主動，讓學習的參與度更高，讓學生更加喜歡數學，能夠自主地構建數學模型，培養學生的創新思維能力，很好地運用數學知識解決實際問題，從而給我們數學課注入了許多活力，放飛了學生的思想，展現了學生的能力，突破了教學桎梏，最終實現了使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗，給與學生一個“完整的 數學”[3]．

3.3 雙向關聯，收獲成長

通過數格點算面積的數學實驗，學生會在“游戲”“賞析”中提出猜想，進行思考，做出判斷，找尋到證明的方法.這種“外在”的操作活動與“內在”的思維活動的協調一致，就是推理能力的發展.在本次數學實驗中，學生從其自身經驗出發，動手操作、動腦思考，親身經歷真正的解決問題的過程，這就是建立模型的過程．數學實驗不僅僅是直觀地“做”，還要有意識地“用”[4]．在第二階段中聯系學生的生活實際，幫助學生進一步形成“由數學看現實，由現實想數學”的意識和習慣，發展學生的數學應用意識.數學實驗構建了發展學生創新意識的課程環境，學生在操作、觀察、猜想等活動中敢于改變，超越常規、學會創新，從而為他們學會改變、結出創新之果而奠基．