旨在培養數據分析素養的PBL活動建構與實施

吳子昊 (上海市曹楊第二中學 200062)

吳莖潔 (華東師范大學第一附屬中學 200086)

徐斌艷 (華東師范大學教師教育學院 200062；上海市“立德樹人”數學教育教學研究基地 200241；華東師范大學課程與教學研究所 200062)

1 研究背景

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)中提出高中階段六大數學核心素養，其中《標準》將數據分析素養列為六項數學學科核心素養之一，特別指出數據分析的作用：這是一種在大數據時代下非常重要的研究隨機現象的數學技術、工具或是方法[1]，可見其在數學學科核心素養中的重要地位.與數據分析素養最相關的數學內容為概率統計，而我國的概率統計教育在21世紀初期有所缺失，學生對于隨機現象的理解較差[2].在經過多次課程改革后，概率統計內容在我國中學數學課程中的地位得到了明顯的提升，我國數學課程越來越重視學生數據分析素養的培養[3]，這與新課程標準下的數學課程改革需求相契合.課程改革的目標不僅需要嵌入或增添概率統計教學內容，還旨在通過多樣的學習方式培養學生的隨機思想，滲透對數據進行整理、定量分析、推斷的意識和能力，以達到對數據分析素養的有效培育.

有研究指出，學習過程具有如下特點：有明確的目標指引，并進一步積極搜尋信息和問題空間.好的學習往往來源于學習者主動地對知識進行自我建構，而不是通過教師找到了一種好的教學方法[4].從這個意義上來說，學科核心素養的培養不僅可以在課堂教學中得到落實，還可以通過整合、開發豐富的課程資源，使學生在真實情景中得到素養的提升.

項目式學習即是這樣一種學習方式.項目式學習(Projected-Based Learning)(以下簡稱PBL)發源于20世紀美國著名哲學家、教育家John Dewey的實用主義教育思想，包括“三中心論”——經驗中心、兒童中心、活動中心，“從做中學”等[5].PBL與建構主義、情境學習、社會交互等理論有密切的聯系[6].PBL以學生為中心，以學科概念和原理為基礎，其主要形式是學生以小組為單位圍繞驅動問題或任務進行相互協作、研究、解決問題，制作項目產品或形成解決方案，從而建構知識.PBL是一種學習方式的變革，是21世紀的學習策略之一.有別于傳統學習方式的被動性、機械性、獨立性，PBL在學習性質上具有主動性、有意義性、合作性.因此在核心素養導向的背景下，PBL是一種有效指向學生核心素養培養的學習方式.

數學PBL對數學核心素養(或能力)在一定程度上是有促進作用的，并集中于數學建模、數學運算、直觀想象以及數據分析這四個領域[7].而與數據分析素養最相關的數學內容是概率統計，這是一門兼具理論性與應用性的數學分支學科，與日常生活緊密相關，因此這個領域具有更強的情境性和直覺性，從理論上說應對數學PBL有良好的適應性[8].從已有研究來看，數學PBL確實可以對概率內容的學習產生較為積極的影響，相關研究多集中于國外[9].

在現階段，我國數學PBL的設計、開發、實施、評價等各環節并不成熟，其體系亟待完善[10].這對傳統教學提出了一定程度的挑戰，數學PBL的建構需要數學學科教育研究人員與基礎教育工作者群策群力，共同研究探索培育核心素養的新途徑.

2 活動設計

本研究將以某中學高一學生為對象，在基于PBL相關理論以及高一學生的認知與數學知識基礎，設計并實施旨在培養學生數據分析素養的概率統計PBL活動.

2.1 活動建議與驅動問題

中學階段的概率統計是一塊兼具理論性與應用性的知識內容，且其更偏向于在現實生活中的應用.在中學數學課堂中，概率統計教學將精力較多地放在了公式的推導以及計算、解題能力的訓練上，而對知識的實際應用有所忽視，許多學生對于為什么要學概率統計往往沒有較為清晰的認識.本研究設計的PBL活動嘗試凸顯概率統計知識點在生活中的綜合應用，提高學生的數據分析素養以及利用概率統計的思維方式解決實際生活中的(數學)問題的綜合能力.

此活動分為五個子活動，每個子活動中設計有若干驅動問題供學生小組選擇并進行研究.

活動一：數學，讓我歡喜讓我憂！

(1)如果數學是一種食物，它像什么？為什么？

(2)目前我們常用的數據統計分析方法有哪些？它們的優缺點各是什么？

(3)你能選擇一種或幾種統計分析方法進行一項研究嗎？

所需數學知識或能力：抽樣統計，數據的收集、整理、分析.

在活動一中，學生需要學會設計數學情感調查問卷，結合基本的抽樣統計方法收集數據，并對其進行編碼，而后運用統計工具對結果進行處理與分析得出結論.

活動二：來呀！一起撒豆子，扔牙簽！

(1)自行搜集資料，梳理古代數學家是如何通過統計學的方法估算圓周率π的數值，并對計算方法進行歸類.

(2)如何用綠豆和牙簽估算圓周率的數值？請你設計兩個隨機試驗進行估算并對結果進行誤差比較與分析.

所需數學知識或能力：幾何概型，隨機試驗，測量與讀數，數據處理及誤差分析.

在活動二中，學生需要在互聯網或者數學雜志等課外資源中搜集數學史資料并對其進行梳理歸類；設計用隨機模擬的方法估計圓周率π的數值相關隨機試驗并實施(如蒲豐投針等)，同時對誤差進行分析，撰寫實驗報告，并在報告中闡述其背后的概率學原理.

活動三：我們現在使用的鍵盤合理嗎？

(1)基于你收集到的信息、中文語言習慣和一些你自己的功能需求，你可以自行設計一個鍵盤嗎？

(2)你可以通過數據直觀地顯示自己設計的鍵盤比目前的鍵盤好在哪里嗎？

所需數學知識或能力：頻率與概率，樣本估計總體，統計圖表的繪制.

在活動三中，學生需要用統計的眼光去觀察日常生活中頻繁接觸到的鍵盤，查閱相關資料，收集信息，并應用基本的抽樣統計方法收集數據并繪制統計圖表，基于統計結果設計一個符合國人使用習慣的鍵盤.

活動四：神奇的高爾頓釘板！

(1)什么是高爾頓釘板？你能制作高爾頓釘板嗎？

(2)你能解釋高爾頓釘板試驗的結果嗎？它蘊含著怎樣的奧秘？

所需數學知識或能力：二項分布，正態分布，大數定律.

在活動四中，學生需要查閱資料了解高爾頓釘板，以及二項分布、正態分布等數學知識；制作高爾頓釘板并通過動手實際操作驗證結果，簡要解釋高爾頓釘板背后蘊含的概率學原理.

活動五：不可思議的本福特定律！

(1)什么是本福特定律？它蘊含在生活中的哪些領域？

(2)你能結合生活中的具體實例驗證本福特定律的有效性嗎？

所需數學知識或能力：抽樣統計，概率分布，對數函數.

在活動五中，學生需要查閱資料來了解本福特定律的數學原理、實際應用等；選取生活中的具體實例，收集、整理、分析數據，驗證本福特定律的有效性并撰寫報告闡述驗證過程.

五個子活動的開展均需要扎實的概率統計知識作為理論基礎，本項目主要涉及如下概率統計知識點(圖1)：

圖1 活動所涉及知識點

2.2 活動成果建議

PBL活動成果可以是一個具體實物、一份調查報告、一個設計等.活動成果充分展示了學生在參與活動期間表現出的創造力，同時也體現了學生的團隊分工協作與交流表達能力.學生可在活動結束后的展示匯報中對自己小組的作品進行講解、交流、相互評價.表1結合活動建議，給出若干活動成果建議.

表1 活動成果建議

2.3 活動特點

PBL活動基于學生的主體地位，強調學生自愿自主選擇活動任務、制定活動目標、設計活動過程并展示活動成果.活動的主要組織形式是小組活動，學生通過小組協作在活動過程中交流數學經驗與學習心得，使數學交流意識得以較好地凸顯.

2.4 活動評價

在活動結束后，教師要依據活動成果進行評價，主要關注兩方面內容：自評與互評.自評側重于學生在活動中表現出的九個方面的能力：數學軟件、數學交流、動手實踐、數學寫作、自主探究、文獻搜集、數學興趣、項目興趣、團隊協作，并將其定量描述為“高(5分)”“較高(4分)”“中(3分)”“較低(2分)”“低(1分)”，主要通過學生自我評分的形式來完成；互評主要指的是學生以小組為單位在活動最后以口頭或書面報告的形式進行活動成果展示，其他小組同學與教師對其作出評價.

3 活動實施

3.1 活動過程

上述活動以拓展課的形式在某中學高一年級開展，23名選修數學拓展課的學生被分為5組，每個小組4到5人.活動周期為5天，每天2課時.

在活動過程中，各小組成員分工協作，逐步確定每個成員所要完成的工作，發揮各自所長，一起經歷確定活動目標、設計活動過程、制作活動成果并交流展示成果的過程(見圖2).

圖2 活動過程示意圖

為了更好地溝通活動進展，小組成員采用線上微信群的形式進行課后線上交流，及時反饋、交流想法，跟進項目進度.另外，學生在活動過程中展現了較強的自主學習能力與學習興趣，主要體現于在圖書館查閱文獻、在網絡上積極搜尋科普短視頻進行學習、學員們在組內及組間熱烈地討論等，說明活動較好地激發了學生的內在學習動機，并在數學學習情感、態度、興趣等非認知因素方面對學生產生了積極的影響.

3.2 活動成果

PBL活動不同于傳統的數學解題活動，其最終不存在唯一正確的“標準答案”，成果形式與內容具有多樣性和開放性.學生的“數學作品”是在活動中將學科知識融入真實的情境中，經歷分析問題、解決問題、優化方案等一系列過程得到的最終成果，這一成果(包括對作品的展示、匯報、講解)凝練了學生深度學習及自主進行知識建構的過程，是學生核心素養和關鍵能力提升的重要體現.在本次活動最后的展示階段，各組學生分享了他們關于各自子活動的精彩成果.

(1)活動一(數學，讓我歡喜讓我憂！)的成果

第一小組探究子活動“數學，讓我歡喜讓我憂！”學生首先設計發放數學情感調查問卷，采用分層抽樣方法，分別在線上(問卷星)、線下隨機選取本校高一不同班級學生進行問卷發放、填寫與收集.

根據回收的回答及其特征，小組成員反復討論，對問題回答類型進行細化分類.自制編碼表對收集到的數據進行統計性編碼，運用統計軟件對數據進行處理、分析，在這一過程中學生復習了初中學習過的條形統計圖與餅圖，使其應用于真實情境中并作了優缺點的比較.學生們在本次活動中首次學會編寫具有統計學意義的調查問卷和編碼量表，數據分析素養得以發展.

另外，小組成員首次接觸并學習統計軟件SPSS，用于分析數學情感與性別、成績、對數學的重視程度等因素的相關性，得出“情感和性別相關但不明顯”“情感與重視程度無關”“重視程度與成績無關”等結論.

最后，小組成員充分發揮團隊協作能力，整理活動過程、結論，制作并展示了精美的數學海報.

(2)活動二(來呀！一起撒豆子、扔牙簽！)的成果

第二小組探究子活動“來呀！一起撒豆子、扔牙簽！”學生依據幾何概型設計了兩個隨機試驗來估算圓周率π的數值.

其一是投擲綠豆試驗.圓面積和圓外切正方形面積的比值等于隨機掉下的綠豆落在圓內的概率比上落在圓外切正方形內的概率，即

根據此原理，小組成員設計并實施了投擲綠豆試驗，在一邊長為20 cm的正方形區域內均勻撒豆，并采取兩種辦法(分別測得綠豆的數量和重量)得到一系列圓周率π的近似值.接著，小組成員對結果進行誤差分析并對試驗進行改進，進一步使用米粒進行試驗并得到了更精確的數據.在這一過程中，學生收集、整理、分析數據的能力得到強化.

其二是蒲豐投針試驗.小組成員設計并再現了18世紀博物學家蒲豐依靠隨機投針法計算圓周率π的經典試驗.根據蒲豐投針試驗的原理，當牙簽長度L與平行線間距d的關系滿足L=0.5d時，有

根據此結論，小組成員分別投擲了50根、217根牙簽得到了圓周率的近似值(圖3).學生還試驗了不同數量的平行線(4根、5根、11根)，經探索，發現平行線的數量對結果并無影響.

圖3 蒲豐投針試驗

在此基礎上，小組成員整理試驗結果、撰寫報告并提出若干反思，由此培養了數學寫作能力.

(3)活動三(我們現在使用的鍵盤合理嗎？)的成果

第三小組探究子活動“我們現在使用的鍵盤合理嗎？”經過小組成員的探索，改進后的新鍵盤面向以中文為第一語言的使用者，根據拼音字母使用頻率的統計數據，設計出了一種較為合理的、更適用于漢字拼音輸入法及中國人使用習慣的鍵盤字母布局.

小組成員采用對各種體裁、題材的文本資料進行隨機抽樣統計的方法，以選取的文本資料最大限度地接近日常使用的情況為標準.同時為使所選取的文本資料更加全面，小組對娛樂性新聞、學術類論文、政治新聞、當紅網絡小說等多類文本進行調查，得到字母頻率表，劃出了最常使用的字母.

根據此結論，小組成員重新編排了鍵盤布局，得到了新型鍵盤概念圖(圖4)并制作了實物模型(圖5).

圖4 鍵盤概念圖

圖5 鍵盤實物模型

活動結束后，小組成員整理設計思路，撰寫了基于統計結果的鍵盤改進報告，詳細說明了新鍵盤的設計思路與原理.

(4)活動四(神奇的高爾頓釘板！)的成果

第四小組探究子活動“神奇的高爾頓釘板！”經查證相關資料與文獻，小組成員學習了有關正態分布與高爾頓釘板的統計學知識，了解到雖然高爾頓釘板的本質是離散的二項分布，但由于二項分布的極限形式是連續的正態分布，因此高爾頓釘板可以很好地模擬正態分布.在對相關知識進行梳理、學習后，小組成員用泡沫塑料板、小木棍、牙簽、塑料薄膜等材料制作了一個高爾頓釘板實物模型(圖6).

圖6 高爾頓釘板實物模型

接著，小組成員采用綠豆作為實驗工具，在課程最后的匯報中演示了綠豆落下的實驗并取得了較為不錯的效果，綠豆落下生成的分布曲線比較接近中間高、兩邊低的正態分布，且學生在報告中簡要闡述了該模型的概率學原理.

在整個項目活動過程中，學生鍛煉了數據收集、整理、分析能力以及勞動技術能力，同時由于高爾頓釘板原理的思維復雜性，在實驗過程中還滲透了基于數據進行推理判斷的能力的培養，使學生體會到統計規律在生活中的應用.

(5)活動五(不可思議的本福特定律！)的成果

更進一步地，小組成員結合文本資料和視頻學習網站兩種形式學習并理解了本福特定律背后的原理及其在生活中的應用(例如檢驗公司的財報是否作假)，基于此撰寫了“本福特定律研究報告”.學生通過自主學習經歷了分析問題、解決問題的一般過程，提高了數據分析、邏輯推理、數學寫作等多方面素養與能力.

4 活動評價

4.1 自評

對于自評，主要采用發放自評表讓學生自評的形式對學生自己的表現進行量化評分.經向學生發放、填寫自評表，總共收回有效樣本23份，將統計數據錄入Excel中可得如下結果(圖7).

圖7 自評反饋結果

從圖7中可以直觀地看到各個維度的均分情況.由圖7可知，在眾多維度中，學生對團隊協作、項目興趣、數學興趣等維度評價較高，分別達到了4.35，4.17，4.這說明項目式學習對學生數學學習情感、態度有積極的促進作用，并且使學生意識到開展數學項目最為關鍵的要素之一是團隊配合與協作.

4.2 互評

互評的評價內容主要為小組成員與教師對被評小組的評語.根據活動安排，學生在最后兩課時展示匯報項目活動成果并交流感想，期間在各小組匯報完畢后穿插評價環節.以下是關于課堂評價的部分記錄：

(1)第二小組成員評價第一小組(活動一：數學，讓我歡喜讓我憂！)

“把數學比作各種食物，出現了那么多好玩的答案，真沒想到同學們的想象力那么豐富！從第一小組的研究結果中也可以看出同學們對數學不同的情感與態度，非常有趣.”

(2)教師評價第三小組(活動三：我們使用的鍵盤合理嗎？)

“第三小組在研究中的抽樣、統計、數據處理等環節都具備了基本的統計學研究規范，是一個不錯的、可供大家學習參考的范例.”

5 結論與啟示

5.1 PBL活動對數據分析素養培養的作用

本研究設計的PBL活動旨在培養學生數據分析素養，項目活動以其多樣性、情境性為學生提供了一個廣闊的學習平臺，使學生在分析與解決問題的過程中融合新知識、新技能.更進一步地說，活動較好地將概率統計知識遷移至項目推進過程中，例如活動一中對問卷數據的收集涉及抽樣統計方法，對數據的編碼以及統計結果的相關性分析涉及統計學分析方法；活動二中對圓周率的估算涉及隨機試驗、幾何概型、誤差分析等內容；活動三中對文本數據的收集、處理、分析涉及抽樣統計方法和統計圖表的應用；活動四中對高爾頓釘板原理的梳理、匯報涉及概率分布、隨機試驗等內容；活動五中對本福特定律的驗證過程涉及抽樣統計、概率分布等內容.學生在每個項目中都運用了統計方法對數據中的有用信息進行收集、整理、分析、推斷，培養了數據分析素養.

5.2 小結

本文通過對旨在培養數據分析素養的PBL活動和建構與實施的具體描述揭示其一般性與特殊性的特征.

一般性體現在其活動特點：較為廣泛的知識覆蓋面，小組探究，多樣的成果形式，多種評價方式相結合等；特殊性體現在基于不同內容載體還有更加豐富的項目活動值得開發，同時應注意在設計活動時應盡量避免項目式學習通常會帶來的知識離散化、碎片化問題，盡量使知識的傳授具有其原有的邏輯體系，使其真正落實到數據分析素養的培養中去.