數(shù)學(xué)內(nèi)容教與學(xué)研究的最新進(jìn)展
——《數(shù)學(xué)教育研究手冊》第二冊簡介

張艷嬌 (人民教育出版社課程教材研究所 100081)

蔡金法 (美國特拉華大學(xué)數(shù)學(xué)系和教育學(xué)院 19716)

學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？教師如何最大程度地支持學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？這些廣泛且包羅萬象的問題處于數(shù)學(xué)教育這一研究領(lǐng)域的核心位置，也吸引著眾多數(shù)學(xué)教育研究者為之付出努力．對于學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以通過研究具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教與學(xué)來回答此問題．《數(shù)學(xué)教育研究手冊》第二冊的重點(diǎn)就在于描述具體數(shù)學(xué)內(nèi)容教與學(xué)的最新進(jìn)展．繼第一冊綜述了數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)及研究方法后，第二冊綜述了學(xué)校數(shù)學(xué)中眾多知識領(lǐng)域及思維培養(yǎng)的教與學(xué)的研究，每一章都對國際上某一具體知識領(lǐng)域的教與學(xué)的研究進(jìn)行了解讀，并且對課程資源及新興的教學(xué)輔助技術(shù)對數(shù)學(xué)內(nèi)容的教與學(xué)的促進(jìn)作用也進(jìn)行了較全面的介紹，是幫助讀者整體認(rèn)識數(shù)學(xué)的教與學(xué)、獲取有效教學(xué)啟示的教育研究寶典．

本冊書包括11章內(nèi)容，內(nèi)容涵蓋小學(xué)及中學(xué)階段四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域——“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”——的主要內(nèi)容(1)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將高中數(shù)學(xué)內(nèi)容分為五個主題：“預(yù)備知識”“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計”“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”，本文為敘述上的統(tǒng)一，采用《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的關(guān)于學(xué)習(xí)領(lǐng)域的劃分，即將函數(shù)歸入數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模歸入綜合與實踐的內(nèi)容．，例如，第10、14、17章介紹“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域的教與學(xué)；第13、15、16章介紹“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域的教與學(xué)；第18章介紹“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容領(lǐng)域的教與學(xué)；第11章介紹數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)，屬于“綜合與實踐”的內(nèi)容；第19、20章介紹大學(xué)入門課程如微積分的核心概念及幾門后繼課程的教與學(xué)的研究，與高中階段學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)及大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容相掛鉤；另外，本書還專門設(shè)置了一章討論目前極受關(guān)注的認(rèn)知科學(xué)領(lǐng)域?qū)?shù)學(xué)教學(xué)研究的影響(第12章)．

本文將按如下思路對第二冊的內(nèi)容進(jìn)行介紹：首先選取四章與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系密切的內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)介紹，以使讀者對本書的內(nèi)容、研究方法及教育價值有較全面的了解，然后以比較概括的語言介紹其余七章的內(nèi)容，最后討論本書的特點(diǎn)及教育價值．

1 典型章節(jié)詳細(xì)介紹

本部分選取“第11章 數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)”“第16章 變化、協(xié)變和函數(shù)：數(shù)學(xué)地思考的基本方式”“第17章 幾何學(xué)習(xí)與幾何教學(xué)”“第18章 概率與統(tǒng)計的教與學(xué)：一種整合的觀點(diǎn)”這四章進(jìn)行詳細(xì)介紹，這四章與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系緊密，內(nèi)容組織上也比較典型地反映了本書的寫作特點(diǎn)．

1.1 “第11章 數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)”的內(nèi)容介紹

第11章主要包含四個部分．第一部分回顧了過去幾十年數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的發(fā)展．意在澄清建模是什么、建模的來源、建模的目的等問題．這一部分首先從理論上探討了數(shù)學(xué)建模的歷史發(fā)展．在回顧數(shù)學(xué)建模的起源及發(fā)展的過程中，對兩種主要的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的觀點(diǎn)——實用主義觀與科學(xué)-人文主義觀進(jìn)行了重點(diǎn)介紹．作者借助圖1和圖2分析了這兩種觀點(diǎn)的不同之處，并綜述了眾多學(xué)者針對建模研究進(jìn)行的大量調(diào)查，以及對在學(xué)校教育中引入建?；顒拥哪繕?biāo)的研究等．在回顧了建模的歷史發(fā)展后，作者梳理了關(guān)于數(shù)學(xué)建模的最新觀點(diǎn)，分析在不同的教育階段如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)，并對描述不同建模方法的框架的研究進(jìn)行了綜述．作者重點(diǎn)介紹了凱澤和斯里拉曼提出的用來描述不同方法的框架，這一框架將不同的建模方法進(jìn)行了分類，包括：(1)現(xiàn)實性建?；驊?yīng)用性建模；(2)認(rèn)識論角度的建?；蚶碚撔越?；(3)教育性建模；(4)情境性建模或模型發(fā)生論；(5)社會批判性建模和社會文化建模；(6)元認(rèn)知建模．為了闡述上述不同建模理論觀點(diǎn)的共性和差異，書中給出凱澤等以一位出租車司機(jī)的問題為例，在不同的建模觀點(diǎn)下，設(shè)計出的不同建模問題，使讀者了解諸多不同的建?；顒邮侨绾卧诓煌碚撚^點(diǎn)框架下產(chǎn)生的，不同視角下的建模研究對建模過程的理解是不同的．隨后書中對近年來廣大學(xué)者對建模過程的一些最新發(fā)現(xiàn)及建模實例進(jìn)行了闡述，在此不再詳述．

圖1

圖2

第二部分介紹了建模能力及其提升．作者首先介紹了建模能力研究的變化歷程，給出了優(yōu)秀的建模者需要掌握的建模技能：識別相關(guān)的變量、選擇重要變量、提出問題、建立變量間關(guān)系以及選擇適當(dāng)關(guān)系的能力，并且對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)能力和數(shù)學(xué)建模能力評估工具的開發(fā)成果也進(jìn)行了介紹．然后介紹了數(shù)學(xué)建模與課程的融合，討論了在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入應(yīng)用與建模的方法.作者還介紹了以數(shù)學(xué)建模為重點(diǎn)的美國課程方案，包括圍繞數(shù)學(xué)建模開發(fā)的各種課程教學(xué)材料及教師發(fā)展項目，以及數(shù)學(xué)建模在美國《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》中的地位．

第三部分介紹了學(xué)校實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實證研究結(jié)果和建模教學(xué)理論．內(nèi)容涉及在建模的不同階段，學(xué)生遇到的困難和障礙，以及教師能夠幫助學(xué)生克服這些障礙的教學(xué)干預(yù)手段．關(guān)于教師的輔助策略，作者重點(diǎn)介紹了建模教學(xué)的支架式教學(xué)法，呈現(xiàn)了教師如何支持學(xué)習(xí)者的幾種理論方法，并對這些教學(xué)輔助策略進(jìn)行了分析．

最后一部分從數(shù)學(xué)、認(rèn)知、課程、教學(xué)、教師和教師教育五個角度總結(jié)了數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的研究進(jìn)程，并提出了未來亟待研究的問題：關(guān)于數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的各種方法的有效性的研究，以及數(shù)學(xué)建模評估范例的開發(fā).

1.2 “第16章 變化、協(xié)變和函數(shù)：數(shù)學(xué)地思考的基本方式”的內(nèi)容介紹

第16章主要包含六個部分．第一部分簡要地回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展和協(xié)變推理在其中所起的核心作用，所謂協(xié)變推理，即關(guān)于兩個或多個量的值同時變化的推理,協(xié)變推理在數(shù)學(xué)家們創(chuàng)建一批重要概念的過程中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，而這些概念為現(xiàn)代函數(shù)定義的出現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)．作者描述了實分析的發(fā)展如何導(dǎo)致函數(shù)協(xié)變思維的受關(guān)注度降低．在綜述了數(shù)學(xué)中不斷演變的函數(shù)概念后，總結(jié)出變化和協(xié)變推理是學(xué)生函數(shù)思想發(fā)展的基礎(chǔ)．

第二部分介紹變化和協(xié)變推理的理論構(gòu)建，闡明變化推理和協(xié)變推理的含義及其來源．作者綜述了眾多學(xué)者對于協(xié)變推理的刻畫，并介紹了學(xué)者對協(xié)變推理研究框架的改進(jìn)．表1和表2分別給出了修正的變化推理的框架和協(xié)變推理的框架，呈現(xiàn)了變化推理和協(xié)變推理的六種不同的水平，并舉例說明每種水平的思維表現(xiàn)形式．

表1 變化推理的主要水平

表2 協(xié)變推理的主要水平

第三部分在選定的領(lǐng)域里考察有關(guān)學(xué)生和教師的變化推理和協(xié)變推理的研究，文中分別討論了變量與變化、代數(shù)中的定量推理和協(xié)變、指數(shù)增長和協(xié)變推理、微積分和三角學(xué)中的協(xié)變等主題研究，闡明協(xié)變推理促進(jìn)學(xué)生或教師的數(shù)學(xué)思維發(fā)展的各種方式．本部分呈現(xiàn)了對大量具體問題的教與學(xué)的研究．

第四部分從協(xié)變的視角簡要地評述以往關(guān)于學(xué)生和教師的函數(shù)概念的研究，說明發(fā)展學(xué)生的協(xié)變推理能力對于他們在數(shù)學(xué)上取得成功的必要性，同時簡要地評述了這樣一個事實：以往關(guān)于函數(shù)的研究大多是從函數(shù)的對應(yīng)概念出發(fā)，因此忽視了協(xié)變推理在學(xué)生理解函數(shù)概念時的作用．

第五部分再次從協(xié)變的視角討論各種課程對函數(shù)的處理．通過分析美國和日本的課程，作者得出美國的課程與教學(xué)在發(fā)展學(xué)生的定量推理和協(xié)變推理的能力方面是失敗的，而日本教科書則貢獻(xiàn)了將變化和協(xié)變?nèi)谌虢滩牡某晒ψ龇ǎ?/p>

第六部分對本章內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)，并且提出未來需要進(jìn)一步研究的方向，例如，學(xué)生在光滑連續(xù)變化和協(xié)變推理方面的發(fā)展，學(xué)生如何將兩個數(shù)量的值關(guān)聯(lián)起來(創(chuàng)建它們的乘法對象)，有關(guān)協(xié)變推理的基礎(chǔ)研究和對支持學(xué)生發(fā)展協(xié)變推理的不同課程處理方法的效果研究之間的關(guān)系，等等．

1.3 “第17章 幾何學(xué)習(xí)與幾何教學(xué)”的內(nèi)容介紹

第17章主要包含五個部分．第一部分概覽2007—2017年這十年間出現(xiàn)的理論觀點(diǎn)，以及現(xiàn)今出現(xiàn)的諸多研究方法．作者首先討論植根于數(shù)學(xué)教育理論的四種新的理論方法:斯法德的語義分析理論、巴爾托利尼·布西和馬里奧蒂的符號調(diào)解理論、杜瓦爾的符號學(xué)方法和庫茲尼亞克的三個幾何范式的方法,并對這四種理論所呈現(xiàn)的幾何學(xué)習(xí)的不同方式進(jìn)行了總結(jié)；然后討論那些最初產(chǎn)生于認(rèn)知科學(xué)和心理學(xué)的理論，如感覺運(yùn)動活動(如視覺的、動覺的)在數(shù)學(xué)推理中的作用，空間推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，以及與動態(tài)任務(wù)表現(xiàn)相關(guān)的心理旋轉(zhuǎn)能力與幾何成績的關(guān)系．隨后，書中介紹了在幾何研究的過程中采用的諸多方法，例如，測量學(xué)生對給定任務(wù)的反應(yīng)或臨床式訪談，研究教師或?qū)W生在進(jìn)行幾何教學(xué)或?qū)W習(xí)時的肢體動作或手勢，以及各種課堂干預(yù)方法等．

第二部分概覽學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中具體的幾何主題，包括平面幾何、立體幾何、非歐幾何和幾何問題解決等內(nèi)容．在平面幾何的研究中，作者首先討論學(xué)生如何識別和比較二維圖形．以“三角形”“四邊形”為例，作者梳理了學(xué)者們對學(xué)生學(xué)習(xí)這些平面圖形的研究，并給出了多種教學(xué)建議．隨后又分別對分類和定義二維圖形、角的學(xué)習(xí)、變換和對稱的學(xué)習(xí)以及小學(xué)課程創(chuàng)新研究進(jìn)行了梳理．在呈現(xiàn)內(nèi)容時，作者力圖對內(nèi)容進(jìn)行全面、清晰的解讀．例如，在介紹角的學(xué)習(xí)時，作者首先指出角的概念呈現(xiàn)多面性，列出角的五種不同概念；然后列舉兒童在學(xué)習(xí)角的概念時容易遇到的困難，之后提出可以幫助學(xué)生認(rèn)識和表述角的方法，如使用編程語言Logo或幾何畫板．通過這樣的梳理，讀者對角的教與學(xué)將會有比較全面的認(rèn)識．在立體幾何的研究中，文章討論了有助于學(xué)生學(xué)習(xí)各種立體圖形的方法以及可用的多媒體軟件．在非歐幾何和其他幾何及幾何問題的解決這兩個主題下，作者也詳述了目前被廣泛研究的問題，在此不再詳述．

第三部分闡述了與幾何證明過程相關(guān)的各方面的研究．包括對證明過程的猜想、圖解及手勢的研究，利用動態(tài)幾何軟件中的拖動及測量等工具來構(gòu)建證明過程的研究，以及在證明過程中使用動態(tài)幾何環(huán)境所帶來挑戰(zhàn)的研究，例證都比較翔實、具體．

第四部分梳理了幾何教師與幾何教學(xué)相關(guān)問題的研究.作者從研究教師關(guān)于幾何的知識和信念開始，然后轉(zhuǎn)到研究幾何教學(xué)，接著討論了關(guān)于應(yīng)用不同方法去改進(jìn)教師幾何教學(xué)的研究，最后是教師對幾何證明的看法．

最后一部分討論了幾何教學(xué)與幾何學(xué)習(xí)的未來研究方向．作者對已經(jīng)富有成效的研究領(lǐng)域進(jìn)行了總結(jié)，對研究很少的領(lǐng)域進(jìn)行了列舉，例如，針對學(xué)生推翻猜想或證明猜想錯誤的能力的研究，針對學(xué)生識別和糾正有問題的幾何定義的研究，對屬于國際數(shù)學(xué)奧林匹克層次的挑戰(zhàn)性問題的研究，學(xué)生對高度理想化的幾何模型假設(shè)的理解的研究，以及關(guān)于幾何作圖的研究，等等．

1.4 “第18章 概率與統(tǒng)計的教與學(xué)：一種整合的觀點(diǎn)”的內(nèi)容介紹

第18章主要包含五個部分．第一部分介紹概率與統(tǒng)計整合的觀點(diǎn)．作者綜述了有關(guān)變異性、分布、統(tǒng)計推斷和建模的研究，它們都體現(xiàn)出概率與統(tǒng)計固有的內(nèi)在聯(lián)系．作者在組織文獻(xiàn)綜述時采用了整合的觀點(diǎn)，以強(qiáng)調(diào)推斷觀點(diǎn)在概率和統(tǒng)計教學(xué)中的價值．在“變異性與分布”這一小節(jié)，作者首先介紹了變異性與分布的概念，然后回顧了研究人員用來刻畫學(xué)生對概念理解的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)的框架，并對框架所反映的思維水平進(jìn)行了分析．在“統(tǒng)計推斷”這一小節(jié)，作者首先對描述統(tǒng)計學(xué)和推斷統(tǒng)計學(xué)進(jìn)行了區(qū)分，隨后研究了推斷統(tǒng)計教學(xué)的一些方法策略．第三小節(jié)介紹“非形式化的統(tǒng)計推斷”，作者首先介紹非形式化統(tǒng)計推斷的幾種常見表述，概括出其主要特點(diǎn)，然后給出將描述性的統(tǒng)計問題改編為更像推斷問題的案例(表3)．推斷被認(rèn)為是避免把概率與統(tǒng)計學(xué)習(xí)割裂開來，通向整體而連貫的課程的一條有效途徑．作者列舉了支持學(xué)生學(xué)習(xí)使用非形式化的統(tǒng)計推斷的重要策略．第四小節(jié)介紹“概率與統(tǒng)計中的建模”，作者分別從數(shù)學(xué)建模與統(tǒng)計建模、通過建模途徑教概率與統(tǒng)計、在復(fù)雜數(shù)據(jù)集情況下的建模問題等方面對建模在概率與統(tǒng)計學(xué)習(xí)中的作用進(jìn)行了研究綜述．作者列舉了一些統(tǒng)計建模的案例，探討應(yīng)該教給學(xué)生什么樣的統(tǒng)計建模技能．

表3 假設(shè)提供了數(shù)據(jù)，可將描述性的問題改編成更像推斷性的問題

第二部分將概率與統(tǒng)計作為獨(dú)立的研究領(lǐng)域進(jìn)行綜述．作者提出承認(rèn)概率與統(tǒng)計是不同的研究領(lǐng)域也很重要，在它們各自的領(lǐng)域都有一些概念和技能在數(shù)學(xué)課程中要得到特別關(guān)注，從而需要重點(diǎn)研究．本部分重點(diǎn)綜述了2007—2017年這十年間一些新的研究方向，例如，利用符號學(xué)理論對概率教學(xué)的研究、與風(fēng)險有關(guān)的主觀概率問題的研究等．

第三部分介紹支持學(xué)生學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計的手段．本部分重點(diǎn)研究了三個跨界領(lǐng)域：(1)技術(shù)；(2)任務(wù)設(shè)計；(3)外在表征的作用．在第一小節(jié)“技術(shù)”中，作者綜述了對使用動態(tài)技術(shù)工具及模擬實驗工具來輔助概率與統(tǒng)計教學(xué)的研究．信息技術(shù)工具如何支持統(tǒng)計學(xué)習(xí)？作者歸納出了四種方式．對動態(tài)技術(shù)工具的用途和使用局限的研究，書中也有涉獵．在“任務(wù)設(shè)計”這一小節(jié)，作者對促進(jìn)學(xué)生有意義地(而不是人為地)運(yùn)用概率與統(tǒng)計概念的任務(wù)及任務(wù)類型進(jìn)行了介紹．在“外在表征的作用”這一小節(jié)，作者綜述了學(xué)生在進(jìn)行與概率統(tǒng)計有關(guān)的任務(wù)時外在表征對學(xué)生表現(xiàn)的影響，并且指出不同的任務(wù)適合選取的外在表征類型．

第四部分介紹“教師的概率統(tǒng)計知識”．在第一小節(jié)“面向教學(xué)的統(tǒng)計與概率知識模型”中，作者對面向教學(xué)的統(tǒng)計知識模型的現(xiàn)有研究進(jìn)行了綜述，展示了教師應(yīng)該知道的知識以及需要掌握的策略．在第二小節(jié)“教師的概率與統(tǒng)計知識”中，作者首先指出教師的概率與統(tǒng)計知識包括兩方面，一是教師自己對學(xué)科知識的理解，二是教師對學(xué)生在學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計內(nèi)容時遇到的問題以及相應(yīng)的教學(xué)策略方法的了解與掌握．通過綜述發(fā)現(xiàn)，教師對于預(yù)估學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)及采取相應(yīng)的教學(xué)干預(yù)措施方面能力比較薄弱，作者還指出研究人員還需要進(jìn)一步思考教師知識、教學(xué)實踐和學(xué)生學(xué)習(xí)之間的聯(lián)系．

第五部分回顧了本章內(nèi)容，并對未來需要進(jìn)行的研究作了展望．例如，新技術(shù)對概率與統(tǒng)計教與學(xué)的幫助、從符號學(xué)視角或基于符號學(xué)理論開展概率與統(tǒng)計教與學(xué)的研究、對中小學(xué)統(tǒng)計課程開展理論研究和實際開發(fā)，等等．

2 其他章節(jié)內(nèi)容簡要介紹

為了讓讀者對本書內(nèi)容有更全面的了解，我們對其余7章內(nèi)容作一簡短介紹．

第10章對證明的教與學(xué)的研究進(jìn)行了綜述．作者首先從三個不同的視角——問題解決視角、說服視角、社會嵌入活動視角綜述了有關(guān)證明的研究，然后探討了證明在日常學(xué)校數(shù)學(xué)課堂實踐中的邊緣化地位，并且討論導(dǎo)致這一問題的原因．之后，作者綜述了證明領(lǐng)域中基于課堂的干預(yù)研究，并且詳細(xì)討論了有關(guān)證明教學(xué)干預(yù)的最新的六項研究．這些課堂干預(yù)研究是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，對于課堂教學(xué)有直接的指導(dǎo)作用．作者在最后一部分討論了證明領(lǐng)域中課堂干預(yù)的未來研究方向．

第12章從心理學(xué)特別是認(rèn)知科學(xué)角度來探尋可以啟發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)的方法．作者討論了認(rèn)知科學(xué)領(lǐng)域最近被認(rèn)為對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起積極作用的三項研究：(1)解釋性提問的加入；(2)教學(xué)范例的使用；(3)元認(rèn)知策略的訓(xùn)練．隨后作者討論了將這些建議成功融入數(shù)學(xué)課堂的嘗試，并特別說明了為什么心理學(xué)研究結(jié)果無法像認(rèn)知科學(xué)家所期望的那樣被數(shù)學(xué)教育者廣泛應(yīng)用．

第13章關(guān)注整數(shù)學(xué)習(xí)和整數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)的相互聯(lián)系．作者首先討論了整數(shù)及其運(yùn)算的早期學(xué)習(xí)如何為學(xué)校教育奠定了基礎(chǔ)，然后闡述了如何在學(xué)生的早期數(shù)感的基礎(chǔ)上，通過學(xué)校的數(shù)學(xué)教育促進(jìn)學(xué)生熟練掌握基本的加、減法內(nèi)容．書中表13.1給出了學(xué)生從數(shù)數(shù)到熟練掌握基本的加法和減法的學(xué)習(xí)軌跡，并對學(xué)習(xí)軌跡中每一階段的研究進(jìn)行了詳細(xì)介紹，包括針對某一水平的已有研究、研究方法、未解決的教學(xué)問題及未來的研究方向．在研究了上述學(xué)習(xí)軌跡后，作者討論了數(shù)學(xué)教育工作者要關(guān)注有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，即考慮如何基于兒童早期的知識來設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)．最后一部分給出了未來需要進(jìn)一步研究的方向．

第14章綜述了關(guān)于測量的學(xué)習(xí)和教學(xué)的相關(guān)研究．作者主要綜述了關(guān)于長度、面積、體積、角和時間這五個物理量的教與學(xué)的研究，每一主題分別圍繞以下三個核心問題來組織：(1)學(xué)生對相關(guān)測量的理解力的發(fā)展，包括在學(xué)習(xí)中遇到的困難；(2)教科書及課程文件對測量的呈現(xiàn)方式及要求；(3)教師對測量的理解及常用的教學(xué)方法．最后一部分提出了未來的研究展望．

第15章關(guān)注從學(xué)前到8年級學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)．作者首先介紹了本章的研究方法，即卡帕特對代數(shù)與代數(shù)思維的分析框架(書中表15.1)，然后以此為線索回顧了2007—2017年這十年間學(xué)者們對學(xué)前到8年級學(xué)生代數(shù)思維培養(yǎng)的研究．作者選取一般化的算術(shù)、函數(shù)思想、定量推理這三個內(nèi)容領(lǐng)域，首先簡要地指明它們與代數(shù)思維相關(guān)的一些基本理念，然后考察領(lǐng)域內(nèi)近年來圍繞核心內(nèi)容所作的研究．最后簡要總結(jié)了書中所報告的研究結(jié)果，并指出未來研究的方向．

第19章關(guān)注學(xué)生如何理解微積分內(nèi)容的研究．極限、導(dǎo)數(shù)與積分是微積分的三個核心概念，作者圍繞這三個概念的教與學(xué)的研究進(jìn)行綜述．首先關(guān)注學(xué)生如何理解極限、微分與積分的概念，然后轉(zhuǎn)向與改善微積分教與學(xué)有關(guān)的研究．最后提出關(guān)于微積分概念理解的一些問題，并指出未來需要進(jìn)一步研究的方向．

第20章關(guān)注了2005—2017年這十多年間大學(xué)數(shù)學(xué)微積分后繼課程的教育研究，限于篇幅，本章主要綜述了對線性代數(shù)、微分方程、分析和抽象代數(shù)這

幾門課程的教與學(xué)的研究．作者首先聚焦于那些考察學(xué)生學(xué)習(xí)這幾門課程的研究，并分析了作者所采取的不同的理論觀點(diǎn)和方法．之后關(guān)注了關(guān)于微積分后繼課程教學(xué)的研究，包括講授式教學(xué)、探究式教學(xué)和教師的專業(yè)發(fā)展．最后提出對未來研究的展望．

3 小結(jié)及期望

本書作為《數(shù)學(xué)教育研究手冊》叢書的第二冊，聚焦于數(shù)學(xué)內(nèi)容及過程的教與學(xué)的研究，是四冊書中與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)聯(lián)系最緊密的一本書．通過上面的內(nèi)容介紹，讀者可以發(fā)現(xiàn)本書涉及面廣，基本涵蓋了小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)關(guān)鍵內(nèi)容領(lǐng)域的教與學(xué)的研究，堪稱是一本數(shù)學(xué)教育的“寶藏書”．

本書在介紹具體內(nèi)容的教與學(xué)時，舉了很多實際教學(xué)中的例子，如17章介紹學(xué)生對“三角形”的認(rèn)識和比較時，書中舉了教學(xué)中采取的各種干預(yù)方式及學(xué)生的反應(yīng)．對于比較抽象的理論方法，作者也通過引入具體問題來降低理論的理解難度．又如，在第11章介紹描述不同建模方法的理論框架時，作者以出租車問題為例，在不同的建模觀下提出了不同的建模問題，使讀者對不同的建模觀有了比較清晰的認(rèn)識．再如在表2中給出協(xié)變推理的6種水平之后，作者使用“瓶子問題”來詳細(xì)闡述每個水平的思維表現(xiàn)形式，變抽象為具體．

本書對各內(nèi)容領(lǐng)域的教與學(xué)的研究進(jìn)行了比較全面的綜述，并對未來的研究方向進(jìn)行了展望．對于研究者來說，通過閱讀本書，可以全面而迅速地了解各領(lǐng)域內(nèi)大家廣泛關(guān)注的問題，以及需要進(jìn)一步研究的問題，對于確定自己的研究規(guī)劃很有幫助．另外，書中對于重要的文獻(xiàn)不僅介紹研究結(jié)果，對于研究方法、研究過程也介紹得比較詳細(xì)，因此讀者可以從中獲得研究過程及研究方法的指導(dǎo)．對于一線教師來說，本書有很多實證的教學(xué)指導(dǎo)．通過閱讀本書，讀者能夠明確學(xué)生學(xué)習(xí)及教學(xué)過程中存在的問題及障礙，并且獲取相應(yīng)的教學(xué)策略的指導(dǎo)．