例談判別式法求最值問題的類型與技巧

浙江省東陽中學(xué) (322100) 史靜曉

在一些已知等式求某個代數(shù)式的最值的問題中，如果通過變形能夠得到關(guān)于某個實變量的二次方程或二次不等式時，此時運用判別式法求最值也是一個比較好選擇，下面舉例分析幾個常見題型，旨在探索解題方法與技巧，供讀者朋友參考．

一、模型化歸

通過代數(shù)變形，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個含參數(shù)的二次方程，可抓住方程有解的條件即根的判別式大于或等于零建立不等式，求出此函數(shù)最大值和最小值．

評注：通過對所得函數(shù)模型的分析思考，成功的將目標(biāo)函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個一元二次方程，再由判別式得到一個關(guān)于參數(shù)t的不等式，求出t范圍，從而面積S的最小值．

評注：將二次分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程后，為應(yīng)用判別式法求出函數(shù)的最大值和最小值創(chuàng)造了條件，這是解題關(guān)鍵，此法也是求二次分式函數(shù)值域的重要方法．

二、消元轉(zhuǎn)化

在含有多個變元的等式中，通過等式的轉(zhuǎn)化消去一些變元，然后再利用轉(zhuǎn)化后的一元二次方程的根的判別式解決求最值問題．

例3 已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，則z的最大值是．

評注：本題中有兩個已知等式，三個實變量，消元是首要任務(wù)，這樣也就順利轉(zhuǎn)化為二次方程有實數(shù)解的問題了．

例4 設(shè)x，y，z都是實數(shù)且滿足條件x+y+z=0和xyz=2，求|x|+|y|+|z|的最小值．

評注：在利用判別式法求最大值或最小值時，要注意等號條件的分析，一般都是判別式等于零時取得，必須清楚這一點．

三、換元變形

如果題目中含有二次等式條件的，這是運用判別式法求解的一個典型信號，而換元處理是變隱為顯的有效措施．

例5 設(shè)x,y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為．

評注：通過將欲求的表達(dá)式換元后代入已給等式，得到了一個關(guān)于x的一元二次方程，再由判別式列出不等式使問題得到圓滿的解決．

評注：由于題設(shè)所給等式的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，最后得到的不等式也有些麻煩，但是只要方法正確，方向明確，處理得當(dāng)，就能順利完成解題目標(biāo)．

四、靈活構(gòu)造

若條件比較隱晦，比較難發(fā)現(xiàn)破題的方法，則可以通過構(gòu)造創(chuàng)造出一元二次方程，達(dá)到了運用判別式解題的前提條件．

例7 已知a,b∈R，a2+ab+b2=3，設(shè)a2-ab+b2的最小值和最大值分別是N、M，則M+N=．

注評：本題換元起不到減元化簡的效果，因此不能直接代入，通過重新構(gòu)造并再一次換元，終于得到了所需的一元二次方程，為后面運用判別式解題創(chuàng)造了必須的條件．

評注：本題是隱含的二次不等式恒成立問題，根據(jù)二次不等式的特點，通過不斷構(gòu)造出判別式來幫助解題，雖然過程復(fù)雜繁瑣，只要有目標(biāo)、有信心就能使問題獲得解決．