同道相謀 同構相解

江蘇省興化市楚水實驗學校 (225700) 袁小強

所謂同構式，即為除了變量不同，具有結構相同的兩個代數式.常見的處理策略是：(1)通過觀察分析式子結構特點；(2)將式子的兩邊整理為結構一致的代數式，從中抽象構造出母函數；(3)借助研究母函數的單調性，轉化為整體自變量的大小關系.同構思想的考查是近幾年高考的熱點，考查了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等綜合能力，提高了學生的發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，提升升了學生的數學核心素養，培養了學生的善于思考的科學精神和創新意識.同構思想在函數、方程、不等式、數列、解析幾何中均有應用.

一、在方程中應用

評注：方程兩個變量不易求解，同構移項變換，得到同一種結構，構造函數y=xex，同構函數圖像發現只有唯一解2x+y=4，從而該題迎刃而解.

二、在不等式中應用

例2 (2020全國Ⅱ卷理)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln(x-y)>0 D.ln(x-y)<0

解：由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y.構造函數y=2x-3-x，且在(-∞,+∞)上單調遞增，因此x1，ln(y-x+1)>0，故選A.

評注：不等式兩個變量求解不易，通過觀察發現移項后得到同構式，構造函數y=2x-3-x，通過研究單調性求解.

三、在數列中應用

例3 已知Sn是數列{an}的前n項和，滿足a1=1，a2=2，且an+2Sn-anSn+1=0，則數列{an}的通項公式an=.

評注：由數列遞推關系式求通項，首先觀察遞推公式結構特點，通過適當變形得到同構式，構造常數列，從而通過新數列研究通項公式.

四、在解析幾何中應用

(1)橢圓C的標準方程；

五、在函數中應用

評注：這是一道典型的參數范圍中恒成立問題，也是近幾年高考的熱點，通常位于填空題或解答題的壓軸題，常規處理策略是分離參數，分離討論，但在本題處理顯得繁瑣，通過移項、添項、指對數恒等式等手段，將其變形，可以構造函數y=ex+x，使其左右兩邊形式完全相同，從而利用函數單調性轉化為熟悉的函數恒成立問題.

六、綜合應用

例6 (2015全國II卷理)設函數f(x)=emx+x2-mx.

(1)證明：f(x)在(-∞,0)上單調減，在(0,+∞)上單調增；

(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

綜上所述，m的取值范圍為-1≤m≤1.

例7 已知函數f(x)=tetx(t>0)，g(x)=lnx.

(1)若f(x)在x=0處切線與g(x)在x=1處切線平行，求實數t的值；

同構思想有利于培養學生的辯證思維能力，提高學生數學批判思維，讓學生學會運用對立統一的觀點去看待與分析數學問題，對不同的數學問題的認識進行深入分析與適當整合，形成整體性的觀點，從而提高學生發現解決問題的方向和方法的能力.