一道解幾調(diào)研題的探究及思考

江蘇省海門(mén)中學(xué) (226100) 顧旭東

本文以一道解析幾何調(diào)研題為載體，通過(guò)層層推進(jìn)揭示問(wèn)題的背景與本質(zhì)，在提升學(xué)生思維的同時(shí)達(dá)到釋放困惑的目的.

(1)求圓C的方程；(2)設(shè)P是直線l:x=4上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M,N.

(ⅰ)求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)(記為Q)；

分析：本題是一條原創(chuàng)題，入手容易，前二問(wèn)中規(guī)中矩有梯度，作為壓軸題，最后一問(wèn)“求λ+μ的值”設(shè)置巧妙，在解析幾何范疇內(nèi)前后呼應(yīng)，令人拍案叫絕，撥開(kāi)云霧，讓我們層層推進(jìn)，多角度的來(lái)打磨這道調(diào)研試題.

對(duì)于原題，首先我們可以從特殊到一般進(jìn)行分析.

圖1

解：不妨設(shè)A(x1,y1),

圖2

圖3

圖4

收獲成果的同時(shí)，以下一些結(jié)論就自然而然的浮出水面.

結(jié)論1 如圖4，已知拋物線y2=2Px(P>0)，過(guò)定點(diǎn)Q(t,0)的直線與拋物線分別交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，過(guò)A作x軸的垂線(垂足為H)，連BO并延長(zhǎng)和Q點(diǎn)處與x軸垂直的直線交于G點(diǎn)，則四邊形AQGH為平行四邊形.

結(jié)論2 如圖5，已知拋物線y2=2Px(P>0)，過(guò)定點(diǎn)Q(t,0)的直線與拋物線切于A(x1,y1)，過(guò)A作x軸的垂線(垂足為H)，連AO并延長(zhǎng)和Q點(diǎn)處與x軸垂直的直線交于G點(diǎn)，則kAQ=kGH.

圖5

結(jié)論3 已知拋物線y2=2Px(P>0)，A(x0,y0)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)A作拋物線的切線l,l與x軸交于(x1,0)，則x0+x1=0.

結(jié)語(yǔ)：以上這些是對(duì)調(diào)研題的一點(diǎn)探究及思考，在課堂教學(xué)中，我們更應(yīng)該通過(guò)小步子、多角度、慢節(jié)奏地引領(lǐng)學(xué)生去思考，提高其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，讓其愛(ài)上數(shù)學(xué)，只有這樣，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)才能真正意義在學(xué)生的心靈深處，生根發(fā)芽.